高中数学选修1-11-24-4重要知识点

1、第一部分简单逻辑用语1、命题： 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题： 判断为真的语句. 假命题： 判断为假的语句. 2、 “若p，则q”形式的命题中的p称为命题的 条件 ，q称为命题的 结论 . 3、原命题：“若p，则q”逆命题：“若q，则p”否命题：“若p，则q”逆否命题： “若q，则p”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系5、若pq，则p是q的充分条件 ，q是p的必要条件 若pq，则p是q的充要条件 （充分必要条件） 利用集合间的包含关系：例如：若ba，则 a 是 b

2、的充分条件或b 是 a 的必要条件；若a=b ，则 a 是b 的充要条件；6、逻辑联结词：且 (and) ：命题形式pq；或（ or） ：命题形式pq；非（ not） ：命题形式p. pqpqpqp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真7、全称量词“所有的”、 “任意一个”等，用“”表示；全称命题 p：)(,xpmx； 全称命题p 的否定p：)(,xpmx。存在量词“存在一个”、 “至少有一个”等，用“”表示；特称命题 p：)(,xpmx； 特称命题p 的否定p：)(,xpmx；第二部分圆锥曲线1、平面内与两个定点1f，2f的距离之和等于常数（大于12f f）的点的轨迹称为椭圆 即：|)|2

3、( ,2|2121ffaamfmf。这两个定点称为椭圆的焦点 ，两焦点的距离称为椭圆的焦距2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210 xyabab222210yxabab范围axa且bybbxb且aya顶点1,0a、2,0a10, a、20,a10, b、20,b1,0b、2,0b轴长短轴的长2b长轴的长2a焦点1,0fc、2,0fc10,fc、20,fc焦距222122f fc cab对称性关于x轴、y轴、原点对称离心率22101cbeeaa3、平面内与两个定点1f，2f的距离之差的绝对值等于常数（小于12f f）的点的轨迹称为双曲线 即：|)|2( ,2

4、|2121ffaamfmf。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距4、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210,0 xyabab222210,0yxabab范围xa或xa，yrya或ya，xr顶点1,0a、2,0a10, a、20,a轴长虚轴的长2b实轴的长2a焦点1,0fc、2,0fc10,fc、20,fc焦距222122f fc cab对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称离心率2211cbeeaa渐近线方程byxaayxb5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线 6、平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线

5、定点f称为 抛物线的焦点 ，定直线l称为抛物线的准线7、抛物线的几何性质：标准方程22ypx0p22ypx0p22xpy0p22xpy0p图形顶点0,0对称轴x轴y轴焦点, 02pf, 02pf0,2pf0,2pf准线方程2px2px2py2py离心率1e范围0 x0 x0y0y8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的 “通径”，即2p9、焦半径公式 ：若点00,xy在抛物线220ypx p上，焦点为f，则02pfx；若点00,xy在抛物线220 xpy p上，焦点为f，则02pfy；第三部分导数及其应用1、函数fx从1x到2x的平均变化率：2121fxfxxx2

6、、导数定义：fx在点0 x处的导数记作xxfxxfxfyxxx)()(lim)(00000； 3、函数yfx在点0 x处的 导数的几何意义是曲线yfx在点00,xfx处的切线的斜率4、常见函数的导数公式：c0；1)(nnnxx；xxcos)(sin；xxsin)(cos；aaaxxln)(；xxee)(；axxaln1)(log；xx1)(ln5、导数运算法则：1fxg xfxgx；2fxg xfx g xfx gx；320fxfx g xfx gxg xg xg x6、在某个区间,a b内， 若0fx，则函数yfx在这个区间内单调递增；若0fx，则函数yfx在这个区间内单调递减7、求函数yf

7、x的极值的方法是：解方程0fx当00fx时：1如果在0 x附近的 左侧0fx，右侧0fx，那么0fx是极大值；2如果在0 x附近的 左侧0fx，右侧0fx，那么0fx是极小值8、求函数yfx在,a b上的最大值与最小值的步骤是：1求函数yfx在, a b内的极值；2将函数yfx的各极值与端点处的函数值fa，fb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。第四部分复数1概念：(1) z=a+birb=0 (a,br)z=zz20 ；(2) z=a+bi 是虚数b0( a,br)；(3) z=a+bi 是纯虚数a=0 且 b0( a,br)z z 0（z

8、0 ）z20 时，变量yx,正相关；r0 时，变量yx,负相关；|r越接近于1，两个变量的线性相关性越强；|r接近于 0 时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。3回归分析中回归效果的判定：总偏差平方和：niiyy12)(残差：iiiyye；残差平方和：21)(niyiyi；回归平方和：niiyy12)(21)(niyiyi；相关指数niiiniiiyyyyr12122)()(1。注： 2r得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；2r越接近于1， ，则回归效果越好。4独立性检验（分类变量关系）：随机变量2k越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。第六部分推理与证明一推理：合情推

9、理：归纳推理和类比推理 都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。归纳推理 ：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注： 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。类比推理： 由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。注： 类比推理是特殊到特殊的推理。演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段

10、论” 是演绎推理的一般模式，包括：大前提 - 已知的一般结论；小前提 - 所研究的特殊情况；结论- 根据一般原理，对特殊情况得出的判断。二证明直接证明综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。2间接证明 - 反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说

11、明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。选修 4-4 数学知识点一、选考内容 坐标系与参数方程 高考考试大纲要求：1坐标系： 理解坐标系的作用. 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程. 通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2参数方程： 了解参数方程，了解参数的意义. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的

12、参数方程. 二、知识归纳总结：1 伸缩变换： 设点),(yxp是平面直角坐标系中的任意一点，在变换).0( , yy0),(x,x:的作用下， 点),(yxp对应到点),(yxp，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称 伸缩变换 。2. 极坐标系的概念：在平面内取一个定点o，叫做 极点 ；自极点o引一条射线ox叫做 极轴 ；再选定一个长度单位、一个角度单位( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向) ，这样就建立了一个极坐标系 。3点m的极坐标： 设m是平面内一点，极点o与点m的距离| om叫做点m的极径 ，记为；以极轴ox为始边，射线om为终边的xom叫做点m的极角 ，记为。有序

13、数对),(叫做 点m的极坐标 ，记为),(m. 极坐标),(与)z)(2,(kk表示同一个点。极点o的坐标为)r)(, 0(. 4. 若0, 则0, 规定点),(与点),(关于极点对称，即),(与),(表示同一点。如果规定20,0， 那么除极点外， 平面内的点可用唯一的极坐标),(表示；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。5极坐标与直角坐标的互化：6。圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是r；在极坐标系中，以)0 ,(ac)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是cos2a；在极坐标系中，以)2,(ac)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是sin2a；

14、7. 在极坐标系中，)0(表示以极点为起点的一条射线；)r(表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0 ,(aaa，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是acos. 8 参数方程的概念： 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数),(),(tgytfx并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxm都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程 ，联系变数yx,的变数t叫做 参变数 ，简称 参数 。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 。9圆222)()(rbyax的参数方程可表示为)(.sin,cos为参数rbyr

15、ax. 椭圆12222byax)0(ba的参数方程可表示为)(.sin,cos为参数byax. 抛物线pxy22的参数方程可表示为)(.2,22为参数tptypxx. 经过点),(oooyxm，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为.sin,cosootyytxx（t为参数） . 10在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使yx,的取值范围保持一致.高中数学联赛几何定理梅涅劳斯定理一直线截 abc 的三边 bc,ca,ab 或其延长线于d,e,f 则1bdcdecaefabf。逆定理：一直线截 abc的三边 bc,ca,ab或其延长线于d,e,f 若

16、1bdcdecaefabf，则 d,e,f 三点共线。塞瓦定理在 abc内任取一点o,直线 ao 、bo 、co分别交对边于d、e、f，则fbafeacedcbd=1。逆定理：在abc 的边 bc ，ca ，ab 上分别取点d，e，f，如果fbafeacedcbd=1，那么直线ad ，be，cf 相交于同一点。)0(nt,sin,cos,222xxyayxyx复习寄语：托勒密定理abcd为任意一个圆内接四边形，则bdacbcadcdab。逆定理：若四边形abcd 满足bdacbcadcdab，则 a、b、c、d四点共圆西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线

17、。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。相关的结果有：（1）称三角形的垂心为h。西姆松线和ph 的交点为线段ph 的中点，且这点在九点圆上。（ 2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。(3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点p 对应两者的西姆松线的交角，跟p 的位置无关。（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。斯特瓦尔特定理设已知 abc及其底边上b、c两点间的一点d ，则有 ab2dc+ac2bd-ad2bc bc dc bd 。三角形旁心1、旁切圆的圆心叫做三角

18、形的旁心。2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。费马点在一个三角形中，到3 个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。(1)若三角形abc 的 3 个内角均小于120 ，那么 3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。(2)若三角形有一内角不小于120 度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。判定（ 1）对于任意三角形abc ，若三角形内或三角形上某一点e,若 ea+eb+ec 有最小值 ,则 e 为费马点。费马点的计算（2）如果三角形有一个内角大于或等于120 ，这个内角的顶点就是费马点；如果3 个内角均小于120 ，则在三角形内部对3 边张角均为120 的点，是三角形的费马点。九点圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point