扩充复平面上的无穷远点性质探讨(常超)v

1、乐山师范学院毕业论文（设计） 本科生毕业论文（设计）（院）数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 论文题目扩充复平面上的点性质探讨学生姓名 常超 指导教师 罗世尧（副教授）班 级 07级数应2班 学 号 07128037 完成日期：二0一一 年 四 月扩充复平面上的点性质探讨常 超数学与信息科学学院 数学与应用数学 07128037【摘 要】复平面中引入无穷远点后就是扩充复平面，无穷远点它既具有点的一般性质，更具有其独特的性质，为了更好的研究无穷远点的性质我们引入了复球面。本文主要是研究无穷远点的性质，并且对这些性质作出具体的说明，然后总结了无穷远点的三种性质并加以推广。【关键词】无穷远点

2、 几何性质 拓扑性质 极限1 复球面的两种引入模型1： 在复球面）取定球面上一点，称为北极。作连接与平面上任一点的直线，并且设这条直线与球面的交点是，这样就建立起球面上的点（不包括北极点）与复平面上的点间的一一对应。考虑平面上一个以原点为中心的圆周，在球面上对应的也是一个圆周（即是纬线）。当圆周的半径越大时，圆周就越趋近于北极。所以，北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点之间的对应，而这个假想点我们就称为无穷远点，记为。复平面上加上点后称为扩充复平面，常记作，.与它对应的就是整个球面，称为复球面。复球面是研究无穷远点的模型。模型2：无穷远点的引入，拓宽了复平面的范围，从而拓宽了后续知识

3、在复平面上的讨论范围。无穷远点的引入除了引言中的方法外还有常见的半球面引入，以下作出简要说明。在复球面）取定球面上一点，称为北极。做连接与平面上任一点的直线，并且设这直线与球面的交点是，这样就建立起球面上的点（不包括北极点）与复平面上的点间的一一对应。如果一点的模愈大，那么它的球极射影就愈接近于球极。由于在球上只有一个球极，我们约定复平面上有一个理想的点，称为无穷远点，记为。复平面上加上点后称为扩充复平面，常记作，.与它对应的就是整个半球面，称为复球面。复球面是研究无穷远点的模型。2 无穷远点的性质21 无穷远点的运算规定及几何性质文献1对无穷远点的数值运算做出了以下规定：加减法：乘法： 除法

4、：在此定义下，没有意义。的实部、虚部及幅角都没有意义，。在扩充复平面上，无穷远点是一个很抽象的点。我们为了更加清晰的分析无穷远点所以建立了复球面模型。有了复球面，我们可以更加直观的了解无穷远点的来历，把无穷远点具体化。对于无穷远点和复平面上的某个点之间的运算是可以像如上那样运算的。无穷远点实质上是一个假想的点，但是这个点却非常特殊，它不可能具体刻画出它的具体位置，所以无穷远点的实部、虚部、以及幅角均是没有意义的。实际上就是无穷远点的实部、虚部、以及幅角都存在但是无法确定。无穷远点除了以上规定的几何运算性质外，在实际应用中它还有其他非常重要的几何性质。性质2.1 复平面上每一条直线都通过无穷远点

5、（）。直线是由上的一个点以及直线的方向向量决定的，而且直线具有无限延伸性。我们可以如图2所示，建立复平面上任意一条直线上的点与复球面之间的一一对应关系。直线上的每一点与北极点连接后并与复球面相交，最后这些连续的点在复球面上形成一个旋转的曲线。 由于直线的无限延伸性，我们可以把直线看成是过复平面上以原点为圆心的圆周的直径。根据无穷远点的定义，当圆周的直径越大，在球面上所对应的圆周就越趋近于北极。所以，直线上的无穷远处，必然存在点与无穷远点重合，直线经过复球面的无穷远点（）。图2性质2.2 在复平面上，任何半平面不包含无穷远点（）。文献2对半平面做出如下定义：是直线上的任意一点，是直线的方向向量，

6、那么，由于，是实数，这就对于上的有， 即直线可以表示成，那么集合及就表直线的右半平面和左半平面。即在复平面上一条直线把复平面划分成的某个部分就称为半平面。 从半平面的定义中可以知道，任何一个半平面都不包含一条完整的直线。而从性质1可以知道任何一条直线都通过，而半平面上没有一条直线可以肯定半平面上不包含。图32.2无穷远点的拓扑性质扩充复平面实际上是一个拓扑结构，那么无穷远点在扩充复平面上具有特殊的拓扑性质。无穷远点的邻域是指复球面上以北极为圆心的一个圆，即满足的点z（包括无穷远点在内）的集合。引理2.3 若复平面上一点 (不必属于点集)的任意邻域都有的无穷多个点，则称为的聚点；若属于，但非的聚

7、点，则称是的孤立点；若不属于又非的聚点，则称是的外点。引理2.4 若在点的任意邻域内，同时有属于点集和不属于点集的点，则称为的边界点。性质2.5复平面上以为其唯一的边界点；扩充复平面上以为内点，且它是唯一的无边界区域。证明： 复平面不包含，但是的任意邻域内都有复平面的点和不包含在复平面上的，所以复平面上以为边界点。假设复平面上存在点是它的边界点，根据边界点的定义可以知道，点必然不在复平面上，而这与复平面定义矛盾。所以是复平面是唯一边界点。扩充复平面上包含，即是扩充复平面的内点。根据引理知道是唯一的无边界区域。定义得证。引理2.6 设为复平面上的区域，若在内无论怎样画简单闭曲线，其内部全含于，则

8、称为单连通区域。这是复平面上单连通区域的定义，它可以一字不差的推广到扩充复平面上来：设为扩充复平面上的区域，若在内无论怎样画简单闭曲线，其内部全含于，则称为单连通区域。然而，由于扩充复平面中的引入，使得许多在复平面上是多联通区域在扩充复平面上变成了单连通区域。例如：在复平面上定义的区域就是一个多联通区域；当在扩充复平面上定义区域就是一个单连通区域，因为属于扩充复平面，此时满足单连通的定义。所以，在探究一个无界区域是否是单连通时，需要考虑是否在这个平面上。波尔查诺·维尔斯特拉斯定理：每一个有界无穷点集，至少有一个聚点。闭集套定理：设无穷闭集列。至少一个为有界且，则必有唯一的一点。海涅&

9、#183;波莱尔覆盖定理：设有界闭集的每一点都是圆的圆心,则这些圆中必有有很个圆把盖住，即: 的每一点至少属于这有限个圆中的一个。在扩充复平面上，上述四个定理可以推广为：命题2.7扩充复平面上每一个无穷点集，至少有一个聚点。证明：若无穷点集无界，则无穷远点就是其聚点。命题2.8设扩充复平面上无穷闭集列，则至少有一点。证明：若每一个闭集无界，则无穷远点属于每一个。命题2.9设扩充复平面上闭集的每一点都是圆的圆心。则这些圆中必有有限个圆把盖住。即：的每一点至少属于这有限个圆中的一个。证明：若闭集无界。则至少有一个圆的圆心是无穷远点 ，设这个圆为，因为圆是开集。故是有界闭集，由海涅·波菜尔

10、覆盖定理知命题成立。由点集拓扑得知上述三个命题成立。事实上，复平面不是紧致空间，而扩充复平面(拓扑学上称为复平面的一点紧化)是紧致空间。因为每一个紧致空间都是列紧空间，而列紧空间中的每一个无限子集都有聚点，故命题l成立；紧致空间上每一个具有有限交性质的闭集族都有非空交可知，命题2成立，因为紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集。而且紧致子集的任意开覆盖都有有限子覆盖，故命题3成立。2.3复变函数在无穷远点的极限性质引理2.10 (点列的收敛)如果对于，一个下标数，使得当时都有，那么点列向无穷远点收敛，记为。这种说法可以理解为，序列的点列在复球面上的投影点是不断向球面的北极靠拢的。在复球面上除去无

11、穷远点外的任意一点都可以找到另外一点比它还要大，直到无限趋近于北极点，即无穷远点。引理2.11设函数于复平面上的点集上有定义，为的聚点。如果存在一复数，使对任给的，有，只要，就有，则称函数沿于有极限，并记为。引理5是定义在复平面上的，这个引理可以推广到无穷远点上来。引理2.12无穷远点的极限定义) 设函数于扩充复平面上的点集上有定义，为的聚点。如果存在一复数，使对任给的，有，只要，就有，则称函数沿于有极限，并记为关于无穷远点的极限的几何意义，可以这样来理解。当进入的充分小的邻域时，它们的像点就落入的一个给定邻域内。根据引理5，可以知道为的聚点，也就是说函数的定义域既可以包含，也可以不包含。而且

12、，函数在无穷远点的极限还有以下性质。性质2.13 (唯一性) 若极限存在，则此极限是唯一的证 设M、N都是当时的极限，则对任给的，分别存在正数与，使得：当时有， (1) 当时有 ， (2) 取，则当时，(1)式与(2)式同时成立，故有 由的任意性得M=N，这就证明了极限是唯一的.性质2.14 若存在，则在的某去心邻域内有界 证 设，的去心邻域为,取，则存在使得对一切有 ，这就证明了在U内有界 性质2.15 在的极限存在，那么其和、差、积、商（分母不为0）在的极限任然存在，而且满足：（1）（2）（3）若，那么证明：设（1） 由可知当时有，可知当时有所以即减法运算是加法运算的逆运算，故可以用以上的

13、逆运算既可以证明。(2) 由可知当时有，可知当时有所以 即得证，（3）由可知当时有，可知当时有所以3总结 无穷远点是复数函数中的重要概念。引入无穷远点拓宽了我们研究复数函数的范围。本文总结了常见的无穷远点的引入原理以及说明了无穷远点的性质来历。讨论了无穷远点的几何性质、拓扑性质以及极限的性质。当然，还有许多无穷远点的性质需要我们去探讨。【参考文献】【1】 余家荣.复变函数（第四版）M.天津理工学院学报,2007，810.【2】 钟玉泉.复变函数论(第三版)M.北京:高等教育出版社,2009,203209，231234.【3】 M.A.拉夫连季耶夫。复变函数论方法（第六版）M高等教育出版社，20

14、06,6567【4】钟玉泉.复变函数学习指导书M.高等教育出版社1988【5】马忠军.复变函数中的无穷远点J.桂林电子科技大学学报，2007,318320【6】白鸿武.无穷远点的邻域问题J.咸阳师范专科学校学报，2001.7374【7】王韶丽.极限过程的统一J.邢台师范高专学报，2002.56【8】戴勇.关于射影直线上的无穷远点J.黔南民族师范学院学报。2010,47Properties of Infinite Point in Extended Complex PlaneChang Chao【Abstract】The infinite point in the complex plane is the extended complex plane, infinite point, has the common properties of point, and also its distinctive properties. In order to research properties of infinite point, we introduce the complex sphere. The major research of this paper is to study pro