向量内积的坐标运算与距离公式

1、教 案授课日期授课班级授课课时授课形式授课章节名 称向量内积的坐标运算与距离公式使用教具教学目的1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力教学重点向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用教学难点向量内积的坐标表达式的推导，即 a·b| a | | b | cosa，b与 a·ba1b1a2b2两个式子的内在联系内容更删课外作业教学后记本节课采用启发式教学和讲练结合

2、的教学方法向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成授课主要内容或板书设计教 学 过 程环节教学内容师生互动设计意图导入1已知非零向量a 与 b ，则a与b的内积表达式是怎样的？由内积表达式怎样求cosa，b？2 ab Û ；3 | a | 与a·a有何关系？教师提出问题学生回忆解答师生共同回忆旧知识师：对平面向量的内积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示引出探究问题为知识迁移做准备新课新课新课

3、新课已知e1，e2 是直角坐标平面上的基向量，a(a1，a2)，b(b1，b2)，你能推导出a·b 的坐标公式吗？ 探究过程a·b(a1e1a2e2)·(b1e1b2e2)a1b1e1·e1a1b2e1·e2a2b1e1·e2a2b2e2·e2，又因为 e1·e11，e2·e21，e1·e20，所以a·ba1b1a2b2定理 在平面直角坐标系中，已知e1，e2 是直角坐标平面上的基向量，两个非零向量 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则a·ba1b1a2b2 这就是说，两个

4、向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和我们还可以得到以下结论：(1)向量垂直的充要条件为 abÛ a1 b1a2 b20；(2)两向量夹角余弦的计算公式为cosa，ba12a22b12b22a1b1a2b2问题：(1)若已知a(a1，a2) ，你能用上面的定理求出| a | 吗？解 因为| a |2a·a(a1，a2)·(a1，a2)a12a22，所以| a |a12a22这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式(2)若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出| AB| 吗？解 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 AB(x2x1，y2y1)因为|

5、a |a12a22，所以| AB|(x2x1)2(y2y1)，这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式例1 设a(3，1)，b(1，2)，求：(1) a·b； (2) | a |；(3) | b |； (4)a，b解 (1) a·b3×1(1)×(2)325；(2) | a |32(1)210；(3) | b |12(2)25；(4) 因为cosa，b1055 ×22，所以a，b4例2 已知A(2，4)，B(2，3)，求|AB|解 因为A(2，4)，B(2，3)，所以AB(2，3) (2，4)(4，7)，所以| AB|72(4)265例3 已知

6、A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)，求证：ABC 是等腰三角形证明 因为AB(31，42)(2，2)，AC(51，02)(4，2)，BC(53，04)(2，4)，|AC|42(2)220，|BC|22(4)220，所以|AC|BC|因此ABC是等腰三角形例4 已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，求证：ABAC证明 因为AB(21，32)(1，1)，AC(21，52)(3，3)，可得AB·AC(1，1)·(3，3)0所以AB AC练习1已知 A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，求证： ÐBAC=22已知点P的横坐标是7，点P到点N(1，5)的距

7、离等于10，求点P的坐标学生讨论并回答，教师再提出的下列问题：（1）(a1e1a2e2)·(b1 e1b2 e2)是怎样进行运算的？（2）e1·e1，e2·e2 ，e1·e2的内积是怎样计算的？教师针对学生的回答进行点评师生共同写出详细的探究过程教师给出向量内积的直角坐标运算公式并引导学生用文字叙述在教师的引导下学生讨论得出教师提出问题，稍加点拨学生讨论解答教师总结得出这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式 教师提出问题学生讨论解答教师总结得出这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式学生尝试解答教师针对学生的回答进行点评教师点拨，学生解答教师针对学生的

8、回答进行点评教师点拨，学生讨论解答小组讨论时教师巡视，并针对学生的回答给予补充、完善最后师生共同完成此题教师给出具体的解题步骤教师点拨，学生解答教师针对学生的回答进行点评 师生合作共同完成问题为复习向量的线性运算和向量的内积而设计通过学生的探究给出结论，比直接给出更符合学生的特点，容易被学生接受通过结论的探究，让学生初步感受到无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终都归结为直角坐标运算通过对问题的详细探究得到性质，比直接给出结论更容易被学生接受同时加深对a·ba1b1a2b2的理解从而提高学生的思维能力 使刚刚学过的知识及时得到应用通过例1可让学生加深对向量内积的直角坐标运算公式及向量的长度公式的理解和记忆巩固公式，形成技能在板书证明的过程中，突出解题思路与步骤通过学生讨论，老师点拨，可以突出解题思路，深化解题步骤，分解难点顺利帮助学生完成学习新知后紧跟练习，有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容有利于教师检验学生的掌握情况小结本节课我们主要学习了平面向量内积的坐标运算与距离公式，常见的题型主要有：(1)直接用两向量的坐标计算内积；(2)根据