直线和圆的极坐标方程

1、1.3.21.3.2简单曲线的极坐标简单曲线的极坐标方程方程目标：目标：1、理解曲线的极坐标方程的概念，明、理解曲线的极坐标方程的概念，明确极坐标方程和直角坐标方程的区别确极坐标方程和直角坐标方程的区别2、掌握圆和直线的极坐标方程，并会、掌握圆和直线的极坐标方程，并会转化为直角坐标方程。转化为直角坐标方程。3、了解圆锥曲线的极坐标方程。、了解圆锥曲线的极坐标方程。 .,;,:.,上上在曲线在曲线的点都的点都的解为坐标的解为坐标以方程以方程的解的解上点的坐标都是方程上点的坐标都是方程曲线曲线下关系下关系满足如满足如曲线与方程曲线与方程表示表示方程方程可以用可以用线线平面曲平面曲系中系中标标在平面

2、直角坐在平面直角坐CyxfyxfCyxfC02010 ?,表示呢表示呢方程方程平面曲线是否可以用平面曲线是否可以用在极坐标系中在极坐标系中那么那么0 f曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程一、定义：一、定义：如果曲线上的点与方程如果曲线上的点与方程f( , )=0有如下关系有如下关系()曲线上任一点的坐标曲线上任一点的坐标(所有坐标中所有坐标中至少有一个至少有一个)符合方程符合方程f( , )=0 ；()方程方程f( , )=0的所有解为坐标的点都的所有解为坐标的点都在曲线上。在曲线上。 则曲线的方程是则曲线的方程是f( , )=0 。新课引入：新课引入：思考：在平面直角坐标系中思考：在平面直角坐

3、标系中1、过点、过点(3,0)且与且与x轴垂直的直线方程轴垂直的直线方程为为 ;过点过点(3,3)且与且与x轴垂直的直轴垂直的直线方程为线方程为 x=3x=32、过点（、过点（a,b）且垂直于）且垂直于x轴的直线轴的直线方程为方程为_x=a特点：所有点的横坐标都是一样，特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。纵坐标可以取任意值。答：与直角坐标系里的情况一样，求答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点的坐标点的坐标 与与 之间的关系，然后列之间的关系，然后列出方程出方程 ( , )=0 ，再化简并讨论。，再化简并讨论。怎样求曲线

4、的极坐标方程？怎样求曲线的极坐标方程？例题例题1：求过极点，倾角为：求过极点，倾角为 的射线的射线的极坐标方程。的极坐标方程。4 oMx4 分析：分析：如图，所求的射线如图，所求的射线上任一点的极角都上任一点的极角都是是 ，其，其/ 4 极径可以取任意的非负数。故所求极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为直线的极坐标方程为(0)4 新课讲授新课讲授1、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的射线的极的射线的极坐标方程。坐标方程。54 易得易得5(0)4 思考：思考：2、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的直线的极的直线的极坐标方程。坐标方程。4 544 或或的一条直线。表示极角为的一

5、条射线。表示极角为)()0(R例题例题2、求过点求过点A(a,0)(a0)，且垂直，且垂直于极轴的直线于极轴的直线L的极坐标方程。的极坐标方程。解：如图，设点解：如图，设点( , )M 为直线为直线L上除点上除点A外的任外的任意一点，连接意一点，连接OMox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA即即cosa 可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；、根据题意画出草图；2、设点、设点 是直线上任意一点；是直线上任意一点；( , )M 3、连接、连接MO；4、根据几何条件建立关于、根据几何条件

6、建立关于 的方的方 程，并化简；程，并化简；, 5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。练习：练习：设点设点A的极坐标为的极坐标为A ，直，直线线L 过点过点A且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求求直线直线 的极坐标方程。的极坐标方程。(a0) ( ,0)a l解：如图，设点解：如图，设点( , )M 为直线为直线 上异于上异于A的点的点l连接连接OM， oMx A在在 中有中有 MOA sin()sin()a 即即sin()sina显然显然A点也满点也满足上方程。足上方程。例题例题3设点设点P的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过点过点P且与极轴所成的角为且与

7、极轴所成的角为 ,求直线求直线 的极坐标方程。的极坐标方程。 11(,) lloxMP 1 1 解：如图，设点解：如图，设点( , )M 点点P外的任意一点，连接外的任意一点，连接OM为直线上除为直线上除则则 由点由点P的极坐标知的极坐标知 ,OMxOM1OP 1xOP 设直线设直线L与极轴交于点与极轴交于点A。则。则在在MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理由正弦定理得得11sin()sin() 11sin()sin()显然点显然点P的坐标的坐标也是它的解。也是它的解。小结：直线的几种极坐标方程小结：直线的几种极坐标方程1、过极点、过极点2、过某个定点，且垂直或平行、过某个定点，且垂直或平

8、行于极轴于极轴3、过某个定点，且与极轴成一定、过某个定点，且与极轴成一定 的角度的角度平行于极轴的直线。、求过点练习)4, 2(1AOHMA)4, 2( , )(2,)42 sin24sin ,sin2(2,)4sin2lMAMHRt OMHMHOMA 解：在直线 上任意取点在中，即所以，过点平行于极轴的直线方程为的直线的极坐标方程。且斜率为、求过2)3 , 2(2A程这就是所求的极坐标方得代入直线方程将为直线上的任意一点，设角坐标系内直线方程为解：由题意可知，在直07sincos2072sin,cos),(072yxyxMyx表示的曲线是、极坐标方程)(31sin3RA、两条相交的直线、两条

9、相交的直线B、两条射线、两条射线C、一条直线、一条直线D、一条射线、一条射线所以是两条相交直线两条直线即所以得可得解：由已知042:, 042:4242tan322cos31sin21yxlyxlxy4cos24cos2,sin2sin2,2sinABCD 、直线关于直线 对称的直线方程为、 ( )B2sin22化为极坐标方程为即的对称直线的问题关于线解：此题可以变成求直yxyx练习n12页例4n13页习题例例1、已知圆、已知圆O的半径为的半径为r，建立怎样的极坐，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？标系，可以使圆的极坐标方程简单？xOrM简单。上比式合时的极坐标方程在形显然，使极点

10、与圆心重即为圆上任意一点，则设都等于半径何特征就是它们的极径几图），那么圆上各点的为极轴建立坐标系（如出发的一条射线为极点，从解：如果以圆心) 1 (,),(.rrOMMrOO探 究如图，半径为如图，半径为a的圆的圆心坐标为的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标圆上任意一点的极坐标( , )满足满足的条件？的条件？xC(a,0)O) 1 ()0 ,2(),2, 0() 1.(.cos2cos),(,2的坐标满足等式可以验证，点即中。在以外的任意一点，那么，为圆上除点设，那么是交点。设圆与极轴的另一个解：圆经过极点aAOaMOAOAOMAM

11、ORtAMOMAOMaOAAO的圆的极坐标方程。为半径就是圆心在所以，aaaCa),0)(0 ,(cos2的点都在这个圆上。等式，可以验证，坐标适合满足的条件，另一方面坐标就是圆上任意一点的极所以，等式) 1 (),() 1 (题组练习题组练习1 1求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程()中心在极点，半径为中心在极点，半径为2；()中心在中心在(a,0)，半径为，半径为a；()中心在中心在(a, /2)，半径为，半径为a；()中心在中心在( 0, )，半径为，半径为r。 2 2acos 2asin 2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2练习2以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,

12、1)为圆心，为圆心，1为为半径的圆的方程是半径的圆的方程是 .2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC5 3cos5sin已知一个圆的方程是 求圆心坐思考：标和半径。222225 3cos5sin5 3 cos5 sin5 355 35()()25225 35(,),522xyxyxy解： 两边同乘以 得即化为直角坐标为即所以圆心为半径是你可以用极坐标方程直接来求吗？你可以用极坐标方程直接来求吗？3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化为所以圆心为半径为Oaaaa此圆过极点圆的极坐标方程为半径为圆心为)cos(2)0)(,(方程是什么？化为直角坐标

13、、曲线的极坐标方程sin414)2(22 yx圆的圆心距是多少？的两个和、极坐标方程分别是sincos21cos( ,0)2sincos()cos()2212sin( ,),2 22解：圆 圆心的坐标是圆圆 的圆心坐标是所以圆心距是题组练习题组练习2 23cos()4、极坐标方程所表示的曲线是（ ）A、双曲线、双曲线 B、椭圆、椭圆 C、抛物线、抛物线 D、圆、圆D为半径的圆。为圆心，以解：该方程可以化为21)4,21()4cos(41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即解：410cos()3、圆 的圆心坐标是)0 , 5( 、A)

14、3, 5(、B)3, 5(、C)32, 5(、D（ ）C5(2,)2A、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。222224cos()4sin24 sin4(2)4xyyxy解： 化为直角坐标系为即2126:2cos ,:2 3 sin20,CC、已知圆圆试判断两圆的位置关系。所以两圆相外切。半径为，圆心半径为圆心坐标方程为解：将两圆都化为直角21)3, 0(1)3(:1)0 , 1 (, 1) 1( :2122221221OOOyxCOyxC78cosOCONON、从极点 作圆 ： 的弦，求的中点的轨迹方程。ONMC(4,0)(4,0),4,4cosCrOCCMMON

15、CMONM解：如图，圆 的圆心半径连结，是弦的中点所以，动点的轨迹方程是 化为直角坐标方程。把极坐标方程练习cos241648316844)4(4424cos22222222yxxxxyxxx两边平方得：即解：方程可化为练习4曲线曲线 关于极轴对关于极轴对称的曲线是：称的曲线是： sin5cos35 6 61 10 06 61 10 06 61 10 06 61 10 0cos.Dcos.Ccos.Bcos.AC3cos3cos33sin33sin)6sin(125、直线的极坐标方程是的，则过圆心与极轴垂直一个圆的方程为、在极坐标系中，已知DCBA( )C4cos, 4cos2cos, 2sinsin46、直线的方程是相切的一条、在极坐标系中，与圆DCBA( )B2cos24)2(04sin4222