水环境系统工程PPT课件

1、水环境系统工程1Chapter 1 系统与系统工程系统与系统工程 1.1 系统 自然系统：海洋、大气等 人造系统：工业、给排水、污染监测控制等 复合系统：气象预报等 集合性：2个要素构成集合体 相关性：内在要素的相互作用相互联系 目的性：有规定目的、功能 (不可控自然系统除外) 环境适应性：适应系统外部环境的变化v基本特征 ：v分类 ：v系统：“极其复杂的研究对象，即由相互作用和相互依赖的若干 组成部分组合成具有特定功能的有机整体，它又从属于一个更大系统的组成部分”(钱学森)。第1页/共174页水环境系统工程21.2 系统工程 系统工程的产生发展：4060年代。环境系统工程：净水系统、污水处理

2、系统、水环境系统、生态环境系统等。 系统工程的原则： 1. 整体性原则：全面、整体 2. 综合性原则：目标多样性，方法、方案多样性 3. 优化性原则：实现最佳目标 4. 模型化原则：模拟与仿真 5. 交互性原则：决策者与系统的信息交换 研究步骤： 1. 明确和提出问题 2. 建立数学模型 3. 求解数学模型 4. 模型验证 5. 结果实施.第2页/共174页水环境系统工程31.3 模型化 1.3.1 分类 按基本分类 按问题出发点 按对象可分为 按用途可分为 物理模型 图形模型 数学模型 宏观模型 微观模型 水质模型 大气模型 生态模型 经济模型 预测模型 决策模型 最优化模型第3页/共174

3、页水环境系统工程41.3.2 数学模型分类过程1. 明确建模目的2. 提出要解决的具体问题3. 构思 (构造) 模型系统4. 收集相关资料5. 设置变量和参数6. 建模7. 模型检验8. 模型标准化 (归一化、通用性)9. 模型运行1.3.3 模型化程序静态数值解析数值解析动态确定随机数值解析数值解析确定随机数学模型第4页/共174页水环境系统工程51.4 系统工程的应用 1.4.1 应用领域涉及人类活动的各个领域 (表1.1有误 ) 自然环境保护(生态保护)古迹保护土壤保护水生保护野生保护草原保护森林保护环境管理固体废物管理城市规划管理土地利用管理工企环境管理水资源管理环境监测食品监测生物监

4、测土壤监测水质监测大气监测污染控制废能控制固体废弃污控系统水体污控系统大气污控系统微波辐射热噪声振动环境保护系统 1.4.2 环境系统工程环境系统的构成第5页/共174页水环境系统工程6 （一）大环境系统 水域：排污量，污径比（表1.2 ) 大气：排污 生态：人类活动涉及的各个方面 （二）城市生态：城市建设、生活生产环境与质量提高等等 （三）污染控制典型系统：1. 流域系统 (如河流 ) 2. 城镇给排水系统 (取水、处理、排放等) 3. 污水处理系统 (城市二级)举例：黄浦江上游水源保护、综合治理。第6页/共174页水环境系统工程72.1 概述2.1.1 基本概念获得最优方案的辅助决策方法。

5、2.1.2 环境系统分析 Chapter 2 系统分析 如河流污染（多因素决策）1. 污染源性质2. 排放口位置、形式3. 污水处理程度4. 环境容量5. 河流水文情势6. 稀释扩散与转化7. 水生态，等等 排污决策，实际上就是一个系统优化问题。第7页/共174页水环境系统工程82.1.3 系统分析的准则u 外、内条件相结合：周围环境、能源、交通等u 当前利益与长远利益相结合：处理程度与投资u 局部与整体利益相结合：管网与厂址u 定量与定性分析相结合：定性定量定性2.2 系统分析基本要素 包括1. 目的2. 可行性方案3. 模型如前所述：多种形式4. 费用5. 效果6. 评价标准第8页/共17

6、4页水环境系统工程92.3 系统分析步骤 1. 确定目的（目的与目标关系）2. 收集分析资料3. 系统模型化4. 系统的最优化5. 系统的评价2.4 系统分析的方法 2.4.1 系统最优化v 4个特征1. 目标可定量化2. 关系模型化3. 存在不同解4. 无明显最优解v 一般形式mibxxxgtsxxxfzinin, 2 , 1),(),(. .),(max(min)2121第9页/共174页水环境系统工程10 2.4.2 层次分析法（AHP-Analytical Hierarchy Process)定性与定量相结合、简单易行、行之有效的一种系统分析方法，70年代给出：该法1982年引入，能源

7、、环保也得到应用。层次分析法步骤：v 1. 明确问题v 2. 建立层次分析模型 最高层（目标层） 中间层（准则层） 最低层（方案层）v 3. 建立判断矩阵，求最大特征根及特征向量 判断矩阵构造：逐层逐项两两比较，评出优劣，可从最低层始。（最简单可分为3层） 如Fig2.4层次图第10页/共174页水环境系统工程11（第i个准则）判断矩阵nnnnnnnnibbbpbbbpbbbppppc2122221211211121nnnnnnnnibbbpbbbpbbbppppc2122221211211121nnnnnnbbbbbbbbbB212222111211对准则Ci9/197/175/153/13

8、1ijjiijijjiijijjiijijjiijjiijbppbbppbbppbbppbppb极优甚优优于稍优于劣则反之优劣同亦可采用2，4，6，8等，（专家、分析人员、资料）对i=1,2,m，由上式可得C1的判断矩阵，对目标A，也要建立m个准则的判断矩阵，两两比较，得出判断矩阵。 个别准则可以定量化，如费用。 第11页/共174页水环境系统工程12判断矩阵构造：通常有三种方法：niiiTnnjjiiniinjijinWBWdWWWWWWWcMWbnnibMa1max2111:.,(:.), 1(.最大特征根向量正则化次方根行元素之积方根法niiinjnjjiiijinWBWdWWcnjiW

9、WWbWba1max11:.), 1,(.) 1,(.最大特征根正规化后即为特征向量按行相加得向量每列各元素之和为正规化后按列正规化正规化（则）求和第12页/共174页水环境系统工程13求和法niiinjjiinjijinWBWcVVWVVVbbVa1max1211)(:.),(.最大特征根正规化得特征向量向量按行加v 4. 层次单排序及判断矩阵一致性检验层次单排序：特征向量W为同一层次相应因素对上一层次某一因素相对重要性的权值。判断矩阵一致性： 判断矩阵B应满足具唯一非“0”最大特征根max： CR0.10，具完全一致性，否则需要新调整判断矩阵。), 1,(nkjibbbikjkijRICI

10、CRnnCI1max第13页/共174页水环境系统工程14v 5. 层次总排序和一致性检验层次总排序，见表2.2（以前图2.4为例）Wn1 , Wn2, , Wnmp1 , , , W21 , W22, , W2mP2W11 , W12, , W1m p1a1 , a2 , , am,总排序权值C1 , C2 , , Cm, 层次C层次P jmjjWa11jmjjWa21ijmjjWa1a1 , a2 , , am C对A的单排序权值;P 对单排序为Cj （权值）。Wij（i=1,n）（按列）第14页/共174页水环境系统工程15层次总排序一致性检验P层次对Cj单排序一致性指标CIi,平均随机

11、性指标Rij则CR0.10，满足一致性，否则重新调整判断矩阵。举例2.1：（重点应用方法，注意结果有误。 ）mjjjmjjjRIaCIaCR11 例题电镀厂处理电镀废水，优选处理方案方案：凝聚法、活性炭吸附、离子交换、电解上浮指标：简单可行、费用低、效果好第15页/共174页水环境系统工程16 层次模型电镀废水处理电镀废水处理A简单可行简单可行费用低费用低效果好效果好C1C2C3C凝聚法凝聚法P1离子交换离子交换P2活性炭活性炭P3电解上浮电解上浮P4P第16页/共174页水环境系统工程17AC1C2C3C1 C2C3优劣相等C2 劣于C1C3稍劣于C1C1 优于C2优劣相等C3稍劣于C2C1

12、 稍优于C2C2 甚优于C3优劣相等AC1C2C3C1 C2C311/51/3511/7371第17页/共174页水环境系统工程18C1P1P2P3P4P1 P2P3P411/31/51/6311/31/55311/26521C2P1P2P3P4P1 P2P3P411/511/5515111/511/55151C3P1P2P3P4P1 P2P3P41531/31/511/31/71/3311/53751第18页/共174页水环境系统工程19PCC1C2C3总排序0.1880.7310.081P1 P2P3P40.4660.2670.1080.0760.4170.0830.4170.0830.1

13、180.5550.2460.0550.2090.1570.3450.079第19页/共174页水环境系统工程20v 2.费用效益分析在环保中的应用（后述内容自学）最佳污染点治理程度环境效益费用或效益xy效益费用（金额） 2.4.3 环境问题费用效益分析v 1.基本原理图外应用较多，58年应用于环境污染；图内在环境决策方面的应用较晚（刚起步）。最佳污染点：费用曲线与效益曲线的交点（如下图）。是准优，而非最优第20页/共174页水环境系统工程21Chapter 3 最优化技术最优化技术3.1 线性规划 3.1.1 定义1. 目标函数为线性2. 约束条件线性3. 变量非负TnTnnbbbBXxxxX

14、BAXcccCCXz),(0),(),(),(max212121mnmnaaaaA1111矩阵表示njxmibxaxczjijnjijjnjj, 2 , 10, 2 , 1),(max(min)11数学上可表示为第21页/共174页水环境系统工程22 上述两则形式化为标准型式，引入v 1. 松驰变量约束矩阵方程为“”时，不等式左端加上一个非负变量松驰变量，使不等式约束变为等式约束，目标函数cn+I(i=1,2,m)=0v 2. 剩余变量约束方程“”时，不等式左端减去一个非负变量剩余变量，变不等式约束为等式约束，目标函数同上。v 3. 自由变量变量非负问题目标函数由最大求最小，变量可负 jnjj

15、jnjjxczxcz11minmax第22页/共174页水环境系统工程23 3.1.2 求解方法 1.图解法（二维平面问题）先给出可行域，令f(x1,x2)=0在可行域内平移，直接得出最优解。 2. 单纯形法（simplex method)(1947年，Dantzig)(反应工程，优化）由一基本可行解出发，逐步改进目标点数值，直至求和最优解。基变量变换： 3. 人造基线性规划约束方程中至少有一个为“=”或“”时，松驰变量无法给出一个初始基本可行解，需引入人造基变量。 步骤： （对偶问题）（共轭） 问题化为标准形式 “” “”约束方程左边加一个非负变量 对初始基本解应用人造基变量 按单纯形法进行

16、求解第23页/共174页水环境系统工程243.2 整数规划 3.2.1 定义至少一个变量限定为非负整数整数或混合整数线性规划。 3.2.2 求解方法 1. 圆整法按非整数求解，最优解取整。问题：圆整解并非直正整数规划最优解。（见p71例题） 2. 割平面法压缩可行解集合，割掉部分可行域。 a、按非整法应用单纯形式求解； b、若最优解为整，则完成，若非整转c； c、引入一个附加约束，割去部分可行域，重复上述a,b。第24页/共174页水环境系统工程253.3 非线性规划(Nonlinear Programming) 3.3.1 定义目标函数或约束条件中有一个或多个为非线性函数时的规划问题。 3.

17、3.2 无约束最优化 1. 最速下降法（登山法）（f(x)在x(h)处一阶逼近）的一个极小点。为其中：为正定阵矩阵为正定阵，即，极值存在的充要条件：)()()(0)()(min*2*XFXXFXHXFRXXFPnHessian若目标函数写成操作变量的函数 P=F (x1，x2，xm )，那么 P 与 xh 构成 m+1 维空间。若以图形表示函数，就为曲面，曲面的最高点（或最低点）即极值点所谓“登山”即从曲面上任意点（初始解）出发向峰点逼近的过程。第25页/共174页水环境系统工程26起点、终点 Dm 必须满足（3.31）式，或由该式协调，然而， 都是未知的，需要有一种方法解决这一问题。mkmD

18、X,1（2）快速登山法度度前前进进符符合合由由出出发发点点以以最最大大梯梯使使mDFDm或hkhhmvxFD1单位矢量hv并且 xh 在方向移动距离为hhxFx 为任意常数，相当于步长符号“”，求极大用“”，求极小用“”。（1）搜索矢量与步长搜索矢量表示从出发点前进的矢量，步长则表示求前进步幅大小。若以矢量表示出发点、到达点，则与搜索矢量的关系可表示为mkmmDXX1（3.31）登山方向矢量第26页/共174页水环境系统工程27步长很重要，P 曲面复杂时要选小些，曲面简单时可大些；当存在两个以上极值时，一旦到达其一就不能前进，为此应选择几个出发点；到达是极值点还是鞍点，落入鞍点就无法解脱；变步

19、长方法： 一次成功，下次取3倍步长； 一次失败，下次取1/2步长。为什么搜索失败？ 如从1点出发，因步长太大，超越极值点 2点 P 值小于1点 开始时，步长小些为好，视 P 增加情况而定。01 步长太大改向，说明步长不当mD01 P 增长不多),(改向即表示有问题如极值为极大mD要判别平坦或越过12起止154320注意：如果用解析法求不出 F/xi 值，可用 xi数值法估算（类似定义）得搜索矢量kkiixxxFxxxxFxF,2121第27页/共174页水环境系统工程28 2. 二阶梯度法（ x(h)处的二阶逼近）222212222221221221221222)()(2)()()()()()

20、()()()()()(21)()()()()(nnnnnkkTkkTkkkxFxxFxxFxxFxFxxFxxFxxFxFXFXHHessianXFXXXFXXXXXFXFXXF矩阵为海森其中，如果将最速下降法的搜索方向可看作对目标函数的一种线性逼近或一阶逼近，那么，二阶梯度法则可认为是F(X)在X(k)点处的二阶逼近。将F(X)在其某个近似极小点X(k)处进行二阶Talor 级数展开，有第28页/共174页水环境系统工程29二阶梯度法迭代程序ckkfXXXXeSXXFXFXXdSXFXFckbXakkkkkkkkkkkk，转向第三步、令下一步；，迭代终止，否则进行，则求得最优解、如果、计算搜

21、索矢量、计算、令及、选取初值1)()()()(; 0;)1(*)()1()()()(1)(2)()1()()(1)(2)0(：迭代公式上式变形可得多维牛顿求偏导，展开式对对上页即则应满足极小点的下一个近似点对于)()()()(0)(,)()1()()(2)()1()1(kkkkkkXXXXXFXFXXXXXFk)k)Talor为搜索矢量方向，则，引入步长因子为了保证迭代的收敛性)()()()(1)(2)()1()()(kkkkkkkkkkSSXXFXFXX)()()()()()(1)()(1)(2)()1(kkkkkkkXFXHXXFXFXX第29页/共174页水环境系统工程303.3.3 有

22、约束非线性规划v 1. 线性逼近法非线性目标函数、线性约束：将目标函数在可行域的任一顶点X(0)处展开变为线性函数求解线性规划问题。设目标函数是非线性的，约束条件为线性的，其数学模型为 0,minXbAXXF或s.t.TmTnmnmnbbbbxxxXaaaaA,21211111（3.39）式中第30页/共174页水环境系统工程31约束条件构成的可行域0,XbAXXR或是凸多面体。若F(X)为二次函数，这就是所谓二次规划。 由线性规划的理论可知，其可行点的集合为一凸多面体，它有有限个顶点。现取R的任一顶点 ，将目标函数F(X)在X(0)处展开：RX)0(XXFXXFXFXXXFXFXLXFTTT

23、)()()()()()()()()0()0()0()0()0()0()0(这样，就将F(X)近似表达成X的线性函数L(X)，求以下线性规划问题0min)0()0()0()0(XbAXXXFXXFXFTTs.t.（3.40）第31页/共174页水环境系统工程32上述线性规划的最优解等价于求下述线性规划的最优解（其他为常量）： 由此，非线性最优化问题在X(0)初始点就变成线性规划问题，若其最优解为Y(0)，则Y(0)一定在约束凸集的顶点。线性逼近法迭代步骤为：0min)0(XbAXXXFTs.t.（3.40a）a. 令k=0；给定原问题式（3.39）可行域某一个可行点X(0)和允许误差；b. 求线

24、性规划 的最优解。0min)(XbAXXXFTks.t.第32页/共174页水环境系统工程33c. 检验是否满足收敛准则 )()()(kkTkXYXF 如满足，则X*= X(k) ，迭代终止；否则，执行d；d. 求一维极值问题kkkkXYXF的最优解)()()(mine. )()()(1kkkkkXYXX令 k=k +1，转向b。v2. 罚函数法 建立一新的函数，将有约束非线性规划转化为无约束问题求解。计算：由最优解k第33页/共174页水环境系统工程34构成 对不满足约束时函数 值越大（求极小）（其中Mk为任意大的正数“罚因子”）则偏离最优（小）值越远，以示惩罚；当满足约束时，其值为“0”，

25、无惩罚。 对于引入函数 ，当X不在可行域时，取正值构成罚函数，因而也称为外点罚函数法。miikMXgMxP1)()(外点法 对引进函数 ，当X不在可行解集合时，取正值以构成罚函数。)(Xgi 0)()(minxgxfi2212)()(0)()(0)(0)()()(),(XgXgXgXgXgXgXgMXfMXFiiiiiimiikkmiikMXgMxP1)()()(Xgi第34页/共174页水环境系统工程35内点法 罚函数为 式中 为内点罚函数。 miikkXgrXfrXF1)()(),(miikrXgrxp1)()()(ln)(1)(0)(XgXgXgXgiiii若 rk0时，极小值点为最优解

26、。 例3-18 说明，内、外点罚函数法应用。)(ln)(1)(0)(XgXgXgXgiiii第35页/共174页水环境系统工程363.4 动态规划一个系统的最优决策含有多阶段决策。3.4.1 几个概念v 1. 阶段：若干互相联系阶段。v 2. 状态与状态变量：xk出发位置：本段起点，前段终点，一阶段含多个状态。描述状态的变量：可为一个数、数组、向量等。v 3. 决策与决策变量：uk(xh) 某阶段状态给定后，从该状态演变到下阶段某状态的选择。 描述决策的变量称为决策变量。v 4. 策略：ui(xi) 决策函数序列v 5. 指标函数和最优指标函数：Vk,n 最优fk(xk） 第36页/共174页

27、水环境系统工程373.4.2 动态规划方法（反应工程例子，动态规划法）v 1. 河流水污染控制系统规划v 2. 资源分配问题以河流水污染控制系统规划说明应用（逆序法求解）一条河流可分为多个河段串联系统，如下图：前一级的输出即为后一级输入。120 x1x2x1u2u2C1C1ixixiuiiC1nxnxnunCimiiiuuuu21为第i级的m维决策向量（如：Q，等）第37页/共174页水环境系统工程38imiiixxxx21为第i级的n维状态向量（如：BOD，COD， TOC，DO，SS等）第i级的状态方程 n维状态向量函数求满足每一级状态方程约束条件下，使目标最优的决策序列： 。以费用为目标

28、，则规划问题写为：), 1(,1niuxfxiiiiiiiniiiiiiiiiuxfuxfuxfuxf,112111wuuu,21niuxfuxxCZiiiniiiii, 2 , 10,min111第38页/共174页水环境系统工程39 以Streeter-Phelps水质模型为例，研究对象：BOD5 ，DO决策为各河段污水处理程度：目标为总费用，即在各沿程i为何值时（满足各段水质约束条件下），总费用为最小？逆序法从最后一级开始（下图）nn-1nnC00OLnnOL1n11nnOL1nCiiCiiiOL22OLi11OL1C1水质约束断面此时：状态变量xi为：Li，Oi 决策变量ui为：iL0

29、,L1 ,L2 ,Ln各级输出BOD5 值；O0,O1 ,O2 ,On各级输出DO值；1,2 ,3 ,n各污水处理厂处理程度；C1,C2 ,C3 ,Cn各级污处费用。 Ci=f(i)（Q等一定）第39页/共174页水环境系统工程40 第一个子问题（最后一级）对给定的输入 ，选择 1使C1(L1,O1,L2,O2, 1)最优以Z1表示C1最优值，则当 给定时，1、Z1 、L1、O1确定，均为输入 之函数，而L1,O1为河流断面水质约束。状态方程：水量连续；水质（物料）连续；S-P方程 第二个子问题（最后两级）对最后两级，输入为 ，最优目标Z3第一级最优值代入，则有22OL1221111221,o

30、ptOLOLCOLZ22OL233222122111212,optOLOLCOLOLCZ33OL2223322212332,),(optOLOLZOLZOLZ22OL第40页/共174页水环境系统工程41由状态方程 为第2级输入 和该级决策变量2之函数故 (L2,O2) T=f2 (L3,O3 ,1) 代入上式可见，最初两级，若给定 ，最优值Z2仅决定于第2级的决策2。依次类推，第n 个子问题解：目标函数最优值Zn注意区别：最后一级，最初一级。可见：河流串联系统（总费用） Zn，只是最上游污水处理效率 n的函数，求Zn最大 值，可用单变量最优化方法求解。解得 和 ，再返回依次求 ,即为系统最优

31、决策，或称 为系统的最优决策序列。22OL33OL3332332223322332,),(optOLOLfCOLfOLZ33OLnoonoonnnoonnnnOLOLfCOLfZZ,1opt*1*1,n*nZ*nZ*n*1*1,n第41页/共174页水环境系统工程42第一子问题决策关系第i子问题决策关系（递推）第n子问题决策关系（递推）由已知输入求第n的由递推关系求得各级决策对目标函数非线性；约束非线性的多级串联系统优化问题，动态规划比线性规划优越，但对高难的2个以上状态变量时应用较困难。2. 资源最优化配问题（自学）简言之，n个河段分为n个子问题后，每一问题仅对一个i进行决策，从而由逆序推求

32、的决策序列。即：*n第42页/共174页水环境系统工程43Chapter 4 水质模型 4.1 数学模型概述 4.1.1 定义及基本理论v 1. 定义应用数学语言与方法描述污染过程中的物理、化学、生物化学、生物生态、社会、经济等间内在及相互关系的数学方程。v 2. 应用分为三大类：水质规划管理水质预测与环境评价水资源保护与污染源治理第43页/共174页水环境系统工程44v 3. 基本理论（1）黑箱理论（模型） 由实验和实测数据研究规律，建立模型。 （2）白箱理论（模型） 内部规律、机理、相互关系已知，由已知理论建立 系统模型。（3）灰箱理论（模型） 介于上述两种之间，部分已知，部分未知，由已知

33、组建模型，由实验或实测数据对模型补充、修正。（4）统计理论 为“黑箱”，但无法实测，要应用统计理论建模。 如“蒙特卡罗”、“马尔克夫”方法，各种分布如“高斯正态”等等。该种理论在环境预测中应用较多。第44页/共174页水环境系统工程45 4.1.2 模型分类v 1. 变量类型v 2. 时间变化 v 3. 维数变化 v 4. 物质运动形式v 5. 反应过程确定性模型非确定性模型稳态模型（静态）动态模型（动态）一维模型（零维模型）二维模型三维模型输移模型（移流）扩散模型(输)移流扩散模型纯输移（无反应）纯反应模型输移+反应模型生态模型第45页/共174页水环境系统工程46举例： 考虑城市排污条件下

34、，污染物在某宽浅河流中的迁移问题确定性（水力、自净）稳态（连续排污）二维（宽浅河流）移流、扩散（同二维）输移+反应（生物降解、化学吸附、挥发、沉积等） 突然污染事故，污染物迁移问题确定性（水力、自净）非稳态（与t有关）二维（宽浅河流）（输）移移+扩散（反应短时间可忽略，除非吸附强烈）第46页/共174页水环境系统工程47 4.1.3 建模步骤 A.资料收集、实验设计 B.建模及模型结构识别 C. 参数估计 D. 验模及灵敏度分析 E. 模型应用新数据第47页/共174页水环境系统工程48 4.2 河流水质模型基本方程及其解析解 4.2.1 零维模型完全混合状态：如湖泊、水库、局部水域。CVKS

35、QCQCtCV10dd入流浓度源汇 化简（当S=0时）：CICICVVKQVQCtC10dd00CCt积分上式IICCte )(0出流浓度VQCI0VkQV1第48页/共174页水环境系统工程49tkkCkkCCCkAtkCkCAtCkCAkCCtCkCCCkCCkCtCt11011001110101001010101exp1111exp11ln11d1d11dd或者：以Q=V/代入书中解，可直接得上式VkCkCCtC10101,0dd代入当在稳态时，关于水力停留时间的意义QV第49页/共174页水环境系统工程50对于划分为n个河段的完全混合串联情况：iiiiuxkCtkCVkCC101010

36、111111 4.2.2 一维河流水质模型及其解析解xFuC VCk 1xxxFxFxxxCuuCdd)(费克定律xCEFxx进入：流出：反应：时间累积：AFuCx)(AxFxFxxCuuCxxxCAkVCk11xAtCVtCxAFuCxAFuCxxd)()(第50页/共174页水环境系统工程51= 即 xACkxAxFxCuxAtCx1)(:122122水质模型一维方程即CkxCuxCEtCCkxCExCutCxx对于难降解物质k1=0，则反应项为“0”。 同理可推得，一般通式三维： CkzCwyCvxCuzCEyCExCEtCzyx1222222xCuxCEtCx22Ex为纵向离散系数 E

37、x= Em+ Et 第51页/共174页水环境系统工程52v 1.稳态模型0tC二阶常微分方程定解问题解的形式) 1(41,)1 (2212, 1)1(22)1(212211uEkEuAAAACxxxxEuxxEuxxeeee由边界条件0000122xxxxCCCCEkxCEuxCddd)0(022210AAAACxEuCCx)1 (20exp第52页/共174页水环境系统工程53非潮汐河流，离散作用忽略Ex 0 CkxCutC1（书有误）方程形式CkxCutCtxxCtCtCuttx1)(dddddd)(exp11)(exp)()(ln)()(100000111txxuxkCCCAACCtx

38、uxkACutxktxACutxktxxCdCdC第53页/共174页水环境系统工程54v 2. 瞬时源一维水质模型解析解利用Laplace变换求解tEutxtktEAWtEutxtktEuCtxCxxxx4)(exp)exp(44)(exp)exp(4),(21210对于难降解物质k1=0tEutxtEAWtxCxx4)(exp4),(21)(0ttuAWQWCd0),()(), 0(0)0 ,(0122tCtCtCxCCkxCuxCEtCx第54页/共174页水环境系统工程55例5.1 某点瞬时释放污染源，求下游某点处浓度随时间的变化关系：突然事故发生后，某控制断面的浓度变化例5.2 同样

39、问题，考虑化学反应时的某断面浓度变化已知半衰期。 第55页/共174页水环境系统工程563. 连续源一维方程解析解 当源连续排放时，C0(x0 , t)可视为一系列瞬时点源叠加。 在x= x0处有C=C0(x0 , t)，原方程 解析解 初始条件可求得方程解析解（5.20）（表达式复杂）ttxxftxCtxCd),(),(),(000tttxCttCtxC0),()(0),(000连续排污注意方程中t，即为上式中的)erf(1)erfc(:2)erf(:02xxtxxt余误差函数误差函数de)(4)()(exp)(4),(200tEtuxxtEutxxfxx数理方程中的卷积xCuxCEtCx2

40、2第56页/共174页水环境系统工程57 4.2.3 二维稳态河流水质模型及解析解二维模型基本方程（非稳态难以求得解析解）CkyCExCEyCxCuyx12222一般顺道河道0（横流），022xCEx（与纵向移流项相比）CkyCExCuy122v （一）无限水体稳态点源排放00yyC（边界无通量）（无限宽河流，无岸边影响）即：xEuyuxEuhMyxCyy4exp4),(2)(uuv变为断面平均流速后，忽略横向流速第57页/共174页水环境系统工程58v （二）有岸边界影响的点源 1. 单边界反射向边界扩散，再反射回来（y=b)，边界上净通量为“0”0)(byyyyCEbFtEybtEytEu

41、hWyxCyyy4)2(exp4exp4),(22(y=b，边界外的虚拟反射源)此类污染源扩散：河流中浓度=实际源扩散+像源扩散即：y=b时，对面边界扩散浓度为tEbtEuhWbxCyy4exp42),(2y=b C为无反射时的二倍xEuyuxEuhMyxCyy4exp4),(2第58页/共174页水环境系统工程59例5.3 求扩散距离x到达对岸浓度C(x ,b)= C(x ,0)5%（占断面最大浓度5%）摩阻流速u *by2bbb20ybyby2by nyytEynbtEuhWyxC4)2(exp4),(22.双边界反射 中心排污，多次反射第59页/共174页水环境系统工程60岸边一次反射中

42、心排污点源分布（上式展开）：xEybuxEybuxEyuuxEuhWyxCyyyy4)2(exp4)2(exp4exp4),(222 3.岸边排污（同1） 即排污时的一次反射0 xbyxEybuxEyuuxEuhWyxCyyy4)2(exp4exp4),(22无反射 右边界反射 左边界反射 岸边排污对岸一次反射二维稳态河流水质模型 第60页/共174页水环境系统工程61 4.3 河流水质模型最早的水质模型为BOD-DO模型，1925年Streeter-Phelps提出。 4.3.1 S-P模型前提条件两个：v1. BOD降解符合一级动力学v2. DO的降低仅由BOD降解引起（还原不考虑），与B

43、OD降解速率相同；此外，复氧与氧亏成正比。由前述扩散方程：BOD-DO可表示为（CL，O）OOkLkxOExOuLkxLExLuOOkLkxOExOuLkxLExLusxxsxx(dddddddd(21221222122122第61页/共174页水环境系统工程62sxxxxOOOOLLL00000边界条件微分方程组之解析解为)e(ee)(e212121010 xxxossxkkLkOOOOLL式中2222114112,4112ukEEuukEEuxxxx当忽略离散时，上述方程组变为边界条件同上书中有误！）OOkLkxOuLkxLus(211dddd四个条件第62页/共174页水环境系统工程63

44、解析解为xukxukuxkossuxkkkLkOOOOLL212101210)(eeee溶解氧方程以氧亏D表示为xukxukxukokkLkDD2121012eee令dD/dx=0，可求得临界距离x和临界氧亏Dc10121212)(1lnkLkkOOkkkkuxosc以自净速率f=k2/k1代入得01) 1(1ln) 1(LOOfffkuxosc第63页/共174页水环境系统工程64代入Oc、Dc方程可得出临界Oc、Dc表达式。（书中方程解Oc、Dc可能有误，请自行推导。） 当L0相当大时， Oc可能为负值（不合理），原因是其假定氧亏消耗速度与溶解氧浓度无关，低溶氧时有问题！ 自净系数（自净速

45、率）f=k2/k1代表了水体自净速率的大小，f值越大，则说明水体的自净能力越强。对天然水体其近似取值： 水池（小型人工湖）及滞水 f = 0.51.0缓流的河流、大型湖泊 f = 1.02.0低流速大河 f = 1.52.0一般流速大河 f = 2.03.0急陡河流 f = 3.55.0险流与瀑布 f 5.0第64页/共174页水环境系统工程65第65页/共174页水环境系统工程66 4.3.2 Thomas的BOD-DO模型 在S-P方程中，引入沉浮系数k3，即）OOkLkxOuLkkxLus(dd)(dd21310000OOLLxx)(0)(033增加冲刷再悬浮减少表示沉积kk边界条件ux

46、kuxkkkkkLkuxkOOOOuxkkLLoss231231012310exp)(expexp)()(exp解得：书中有误！第66页/共174页水环境系统工程67 4.3.3 Dobbins-Camp模型Thomas式基础上考虑底泥耗氧与光合作用增氧(常数R、p表示) ,即pOOkLkxOuRLkkxLus）(dd)(dd2131相同边界条件下，上述方程的解为：R底泥中有机物释放及再悬浮或地表径流增加的BOD速度；p 底泥有机物降解（DO减少）、地表径流汇入或光合作用（增加）等引起的溶解氧的变化速率。 )1 ()()()()1 (231212213102311213110FkkkRkkpF

47、FkkRLkkkkFOOOOFkkRFLLossuxkFxukkF22311expexp第67页/共174页水环境系统工程68 4.3.4 OConnor模型假设BOD由CBOD和NBOD两部分组成（Thomas模型基础上）)(ddOdd)(dd2131OOkLkLkxuLkxLuLkkxLusNNCNNNcC即000000OOLLLLxNxNCxC边界条件往往速率系数ki最难求得，若对某一河流而言，各河段ki值已知，各指标值就很易于求得例5.5 。第68页/共174页水环境系统工程69 4.3.5 一维河流有限差分水质模型条件：非稳态；方程中参数如E，k并非常数； 无法求得解析解v 1. 显

48、式差分中心差分后向差分tCCtCortCCtCCtxCCkxCuxCEtCjijijijijiji2),(111122近似代替211221122xCCCxCxCCxCjijijijiji2212212xCCCxCxCCxCjijijijiji代入微分方程后，可得出差分方程（过程自行推导）。第69页/共174页水环境系统工程70v 2. 隐式差分)(2112中心差分xtExtu有时无法选取合适x、t满足左式。2211112111112211jijijijijijijijijiCCkCkxCCCxCxCCxCtCCtC代入微分方程采用显式差分，可能会出现解的不稳定，须满足约束。第70页/共174页

49、水环境系统工程71jijiiiiiCkxuCxutxExEktxE11221221221代入微分方程构成以下混合差分方程CkxCuxCEtC1222211121111111jijijijijijijijijiCCkxCCCxCCutCC（书中有误）11132101111113121111133322211jnnnnjjnjnjjjnnnnnCCCCCCC差分方程化简整理可得以下的三对角矩阵方程第71页/共174页水环境系统工程72关于边界条件1111122102?0,1jnjnjnjCCCxCniCi传递边界条件时为已知上游边界时该种差分体系为无条件稳定，为避免离散，取用追赶紧法求解（自行计算

50、）。 1xtu第72页/共174页水环境系统工程73SyCHEyxCHExyHCvxHCutHCyx)()()( 4.3.6 二维河流水质模型有限元解法宽浅河流：纵向、横向（x，y）窄深河流：纵向、垂向（x，z）SzCHEzxCHExzHCwxHCutHCzx)()()(第73页/共174页水环境系统工程74有限元解法：ijjijiiiSDGtCVdd输移扩散源（汇）其中移流项：)1 (ijijjijijiCCQGj到i的流量0.51.0比例常数j单元浓度i单元浓度扩散项：ijjijiCCED混合系数第74页/共174页水环境系统工程75123456798101112二维有限单元网格划分第75

51、页/共174页水环境系统工程76可写出非稳态离散方程：认为Si与Ci无关，则稳态方程可写为ijijjiijijjijiiiSCCECCQtCV)()1 (dd，即为稳态方程0tCiddSiijjjijijijijijijifCQECQE)1 (), 3 , 2(1,111111111111331221111njEQajQEajfCaCaCaCaijjjjnjjjjnn，对，对对111第76页/共174页水环境系统工程77ijjiijjiijjiEEQQ,由于则上式可改写为：11313212111fCaCaCaCann同理，对于其它单元 ，可得出线性方程组ni, 3 , 2nnnnnnnnnnn

52、fCaCaCaCafCaCaCaCafCaCaCaCa3322112232322212111313212111矩阵表示 AC=F，则：C=A1F其中nnnnnnnnfffFCCCCaaaaaaaaaA2121212222111211第77页/共174页水环境系统工程78 4.4 水质模型参数估计参数估计是水质模拟的核心工作。一般分为：单参数估计多参数估计 经验公式模型参数估计后，要用另一组独立数据对模型进行检验。 4.4.1 水文参数估计 水力学计算方法、经验公式等 （大河=0.4，=0.6） 4.4.2 耗氧系数k1估计线性最小二乘法上下游断面两点法 DO平衡模型法第78页/共174页水环境

53、系统工程79(1) 线性最小二乘法 由方程求解后，取对数将非线性方程化为线性，利用最小二乘法求k1(2) 上下游断面两点法 已知上下游断面浓度L1 和L2，根据断面间的流行时间，确定出k1值（同反应工程方法）(3) DO平衡模型法 由氧亏方程 利用临界氧亏条件 即氧垂曲线求得k1值LktL1dd211ln1LLtkDkLktD21dd0ddtD第79页/共174页水环境系统工程80 4.4.3 硝化系数kN估计（两点法） 4.4.4 复氧系数k2估计 DO夜间测定法（R0）不进行光合作用 无藻类作用下k2 微分变为差分求得示踪剂法 4.4.5 弥散系数的估计v 1. 河流纵向弥散系数经验公式D

54、ktD2dd放射性（原理）：氪 Kr/O比值低分子烃（原理）公式ElderghiuhuD*93. 5第80页/共174页水环境系统工程81Holley，Harleman，Fisher公式n 糙率；u 流速；h 平均水深。6572. 8nuhD 式中：一般求出的是河流D的最小值另外，(5.91)、(5.92) Fisher公式，精确计算方法但以断面推求，复杂。 书中公式(5.90)、 (5.91)有误！v 2. 河口纵向离散系数实测水体盐度或氯根含量惰性物质，迁移方程为0dddd22xSuxSEx0exp000 xEuxSSxSSxO 河口S0SxxEuxSSexp0利用测得的S、u即可求得Ex

55、第81页/共174页水环境系统工程82非线性关系式的一般形式为：),;,(2121mpbbbxxxfy),(),;,(2121bxsmspssfbbbxxxfn 4.4.6 多参数同时估计的非线性最小二乘法 高斯牛顿法和麦夸尔特法f已知非线性函数；x1, x2, , xp 为 p 个自变量;b1, b2, , bm为 m 个待估未知参数。对y和x1, x2, , xp通过 N次观测，得到 N 组数据 (xs1, xs2, , xsp ; ys ) s =1, 2, , N将自变量的第 s 次观测值代入(5.1)式得:(1)第82页/共174页水环境系统工程83f (xs , b)仅为 b1,

56、b2, , bm的函数。给 b 一个初始值 b(0) = (b1(0) , b2(0), ,bm(0) )，将 f (xs , b)在 b(0)处按泰勒级数展开，并略去二次及二次以上高阶无穷小项，得： 000000),(),(),(,),(2221110mmmsssssbbbfbbbfbbbfffbbbbbbbxbxbxbxbx(2)第83页/共174页水环境系统工程84其中，d 为阻尼因子(d 0)： 若d = 0，则为高斯牛顿法； 若d 0 ，则为麦夸尔特(Marquarlt)法。 ), 2 , 1(2),(),(,200000110mkbbdbfbbbffybQkkksNsiimiiss

57、skbbbbbxbxbx使Q最小，则应满足Q对 b1, b2, , bm的一阶偏导等于零，则有方程组：上式为b1, b2, , bm的线性函数。根据最小二乘原则，定义函数Q (残差平方和)： 211210000),(,miiiNsiimiisssbbdbbbffyQbbbxbx(3)第84页/共174页水环境系统工程85方程(3)等价于以下方程组 ), 2 , 1;, 2 , 1(),(),(),(),(0001)0()0(1)0(1mkmibffybbdbbbfbfNskssskkmiiiksNsis bbbbbbbxbxbxbx简记 mkmibffyaabfbfaksNssskykiksN

58、sisik, 2 , 1, 2 , 1),(),(),(),(000101；bbbbbbbxbxbxbx(4)(5)(5)代入 (4)可给出方程组(6), 2 , 1;, 2 , 1()0(1)0(mkmiabbdbbakykkmiiiik(6)第85页/共174页水环境系统工程86方程组(6)可展开为： mymmmmmmymmmymmmabbdabbabbaabbabbdabbaabbabbabbda00000000022211122222211211122121111从而可解得： myyymmmmmmmmaaadaaaadaaaadabbbbbb2110212022211120112211

59、000)()()( myyymmmmmmmmaaabbbbbbdaaaadaaaada212211021202221112011000)()()(方程组(7)可化为矩阵方程：(7)(8)第86页/共174页水环境系统工程87矩阵方程 (8)也可表示为 (9)的形式myyymmmmmmmmaaadaaaadaaaadabbbbbbb2110212022211120110020211)()()()()()(9)初值 b(0)： 方程 (9) b 的解与初值 b(0)有关，故迭代过程中必须满足： bb(0) 1km2，2800多个，约占全国总面积0.82%； 污染加重：人为污染及富营养化、天然有机污

60、染物(NOM)； 水力停留时间长：1年以上； 风力、温差为主要混合动力：风力和温度差引起湖水的混合：l 风引起环状运动：水平环向和垂向环向(大而深的湖);l 温度引起翻转混合：春秋两季翻转混合。斜温层秋季春季冰融后温度低 (变温层)斜温层温度高(均温层)结冰前温度低 (变温层)温度高(均温层)深湖、水库的温度翻转混合第120页/共174页水环境系统工程121kCCVQVWtC0dd流入流出释放不同W0（W(t)）有不同形式的解 4.7.2 完全混合水质模型v 1.营养物积存过程水质模型（湖、库水位变化）(零维模型) )exp()exp(100tCtVWtC(5.174) )exp()exp(1