二次型的概念

1、线性代数下页结束返回定义定义1 含有含有n个变量的二次齐次多项式个变量的二次齐次多项式叫做叫做n元二次型元二次型，当二次型的系数，当二次型的系数aij ( i, j=1,2, ,n)都是实数时都是实数时,称为实二次型称为实二次型. .二次型的定义二次型的定义21211 1121213 131122222323222( ,)22222nnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x 特别地特别地, 只含有平方项的只含有平方项的n元二次型称为元二次型称为n元二次型的标准形元二次型的标准形.222121 122( ,).nnnf x xxd xd xd

2、 x下页第第3 3节节 二次型的概念二次型的概念 线性代数下页结束返回 练习：练习：下页22121223244fxxx xx x131423248228fx xx xx xx x 22221234131423241476442fxxxxx xx xx xx x52248x x47x线性代数下页结束返回二次型的矩阵形式二次型的矩阵形式令令下页),.,2 , 1.(njiaajiij得得21211 1121213 131122222323222( ,)22222nnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x 21211 1121213 131122

3、1212222323222112233( ,)nnnnnnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa x xa x xa x线性代数下页结束返回下页21211 1121213 1311221212222323222112233( ,)nnnnnnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa x xa x xa x12111 11221331221 122223321 12233( ,)()()()nnnnnnnnnnnnf x xxx a xa xa xa

4、xx a xa xa xa xx a xa xa xa x11 1122133121 1222233212121 12233( ,)nnnnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xf x xxx xxa xa xa xa x线性代数下页结束返回下页11 1122133121 1222233212121 12233( ,)nnnnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xf x xxx xxa xa xa xa x111211212222121212( ,)nnnnnnnnnaaaxaaaxf x xxx xxxaaa 12( ,)Tnf x xxX

5、 AX，其中，其中nnnnnnaaaaaaaaaA21222211121112,.nxxXx线性代数下页结束返回实对称矩阵称实对称矩阵称A为二次型为二次型系数矩阵系数矩阵, A的秩称为的秩称为二次型的秩二次型的秩. .若二次型若二次型f是是标准形标准形,即其系数矩阵是对角阵即其系数矩阵是对角阵. .下页12( ,)Tnf x xxX AXnnnnnnaaaaaaaaaA21222211121112,.nxxXx,其中其中12(,)ndiag d dd ,其中其中222121 122( ,),nnnf x xxd xd xd x则则 f 的矩阵形式为的矩阵形式为XXxxxfTn),(21TXX1

6、1221200000 0nnndxdxx xxdx 121122.nnnxxd xd xd xx2221 122nnd xd xd x12( ,).nf x xx线性代数下页结束返回例例1. 写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩.323121232221321484363),(xxxxxxxxxxxxf(1)23223214),(yyyyyf(2)324262 ,423A 123(,)f y yy(2)二次型二次型系数矩阵为系数矩阵为000010 ,004B因因r(A)=3, 故二次型的秩等于故二次型的秩等于3.因因r(B)=2, 故二次型的秩等于故

7、二次型的秩等于2.解解: (1)二次型二次型下页系数矩阵为系数矩阵为123( ,)f x xx线性代数下页结束返回由变量由变量y1, y2, yn到到x1, x2, xn的线性的线性变换变换 若若|P|0，则上述线性变换称为可逆，则上述线性变换称为可逆(满秩满秩)线性变换线性变换. .记作记作 X=PY.问题问题：如何找一个可逆线性变换如何找一个可逆线性变换X=PY，使得将其代入二次型使得将其代入二次型后，得到新的二次型只含变量的平方项的形式后，得到新的二次型只含变量的平方项的形式(标准标准形形) . .化二次型为标准形化二次型为标准形 1111211221222212nnnnnnnnxppp

8、yxpppyxpppy11111221221122221122nnnnnnnnnnxp yp yp yxp yp yp yxp yp yp y下页线性代数下页结束返回现将现将X=PY代入二次型，得代入二次型，得( )()()() ,X PYTTTTf XX AXPYA PYYP AP Y 上式右端是关于变量上式右端是关于变量y1, y2, yn的二次型的二次型. . 如果其为标准形为如果其为标准形为2221122nnd yd yd y比较上式两端得比较上式两端得 那么，这个那么，这个P 存在吗？存在吗？下页TP AP 11221200000 0nnndydyy yydy ,TYY 分析：分析：若若A有有n个线性无关个线性无关的特征向量的特征向量x x1, x x2, x xn，令，令 Q=(x x1, x x2, x xn), 则有则有 Q-1A