高等数学：6-1 元素法VIP

1、6-1 6-1 定积分的元素法定积分的元素法一、问题的提出一、问题的提出二、小结二、小结 思考题思考题回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(一、问题的提出一、问题的提出曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间）把区间,ba分成分成n个长度为个长度为ix 的小区间，的小区间，相应的曲边梯形被分为相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形， 第个小窄曲边梯形， 第i 小窄曲边梯形的面积为小窄曲

2、边梯形的面积为iA ，则，则 niiAA1.（2）计算）计算iA 的近似值的近似值iiixfA )( iix （3） 求和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA ab xyo)(xfy （4） 求极限，得求极限，得A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的面积，则则 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面积元素面积元素当所求量当所求量U符合下列条件：符合下列条件：（1）U是是与与一一

3、个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（2）U对于区间对于区间 ba,具有可加性，就是说，具有可加性，就是说，如果把区间如果把区间 ba,分成许多部分区间，则分成许多部分区间，则U相相应地分成许多部分量，而应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之等于所有部分量之和；和；（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf )( ；就可以考虑用定积分来表达这个量就可以考虑用定积分来表达这个量U元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：1）根根据据问问题题的的具具体体情情况况，选选取取一一个个变变量量例例如如x为为积积分分变变量量，并并确确定定它它的的变变化化区区间间

4、,ba；2）设设想想把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，取取其其中中任任一一小小区区间间并并记记为为,dxxx ，求求出出相相应应于于这这小小区区间间的的部部分分量量U 的的近近似似值值.如如果果U 能能近近似似地地表表示示为为,ba上上的的一一个个连连续续函函数数在在x处处的的值值)(xf与与dx的的乘乘积积，就就把把dxxf)(称称为为量量U的的元元素素且且记记作作dU，即即dxxfdU)( ；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfU)(，即即为为所所求求量量U的的积积分分表表达达式式.这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等元素法的提出、思想、步骤元素法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）（注意微元法的本质）二、小