高等数学教学课件：Lecture 38-Reducible Higher Order Ordinary Differential Equations

1、复习复习齐次方程齐次方程齐次方程的解法齐次方程的解法可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程d().dyyfxx .yux 令令化为可分离变量的方程然后求解化为可分离变量的方程然后求解.xXhyYk 令令其它情况其它情况, 令令 .zaxby化为齐次方程化为齐次方程;111d()dyaxbycfxa xb yc d( )( )dnyP x yQ x yx(0,1)n 伯努利方程伯努利方程1,nzy 令令d(1) ( )(1) ( )dzn P x yn Q xx化为线性方程化为线性方程 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程注意用变量代换将方程化为已知类型的方程d( )( )dyP x yQ

2、xx一阶线性微分方程一阶线性微分方程 的通解的通解: :( )d( )d( )dP xxP xxyeQ x exC 三三、 型型的微分方程的微分方程 可降阶高阶微分方程可降阶高阶微分方程 第五节第五节一、一、 型型的微分方程的微分方程 ( )( )nyf x 二二、 型型的微分方程的微分方程 ( ,)yf x y ( ,)yf y y 一、一、 型型微分方程微分方程( )( )nyf x 微分方程微分方程( )( )nyf x (1)1( )d,nyf xxC (2)12( )dd;nyf xxCxC 222131sin.8xyexC xC xC例例1.2cos .xyex 211sin,2x

3、yexC 2121cos,4xyexC xC 以此继续，便得到含有以此继续，便得到含有n个任意常数的通解个任意常数的通解.解：解：二、二、 型型微分方程微分方程( ,)yf x y 特点特点：不显含未知函数：不显含未知函数 y令令,yP 则则d,dPyPx代入原方程代入原方程, 得得( ,).Pf x P 1( ,),Px C 求得求得1d ( ,),dyx Cx 即即积分积分可可得得通解通解12( ,)d.yx CxC 解法：解法：例例2. 求解求解200(1)21,3.xxxyxyyy 方程为方程为 型型( ,)yf x y 解：解：令令,yP 则则d,dPyPx代入方程，得代入方程，得2

4、d(1)2dPxxPx2d2d ,1PxxPx 21lnln(1)PxC21(1),PCx于是于是),1(21xCy 1033xyC 2 3(1)yx 323,yxxC201 1,xyC 为所求特解为所求特解.331yxx解法：解法：),()1()()( nknyyxfy一般地，对于一般地，对于 型方程型方程 特点特点：不显含未知函数：不显含未知函数(1) ,.kyyy 及及( )( ),kyP x 令令(1)( )(),.knn kyPyP 则则代入原方程代入原方程，得，得()(1)( ,( ),( ).n kn kPf x P xPx 的的 阶阶方程方程( )P x()nk ( )P x求

5、出求出 . 将将 连续积分连续积分 次，即次，即可得到通解可得到通解. .( )( )kyP x k例例3. 求方程求方程 的通解的通解.(5)(4)0 xyy解：解：代入原代入原方程方程,得到得到(5)( ).yP x 则则(4)( ),yP x 令令0,xPP 0P （）解线性方程，得到解线性方程，得到1,PC x (4)1,yC x 即即两端积分，得到：两端积分，得到：2121,2yC xC , 53231245,12062CCCyxxxC xC53212345yd xd xd xd xd原方程通解为：原方程通解为：三、三、 型型微分方程微分方程( ,)yf y y 特点：特点：右端不显

6、含自变量右端不显含自变量 . x解法：解法：,yp 令令ddd,dddpypypyxy 则则代入原方程代入原方程, 得得关于关于 y, p 的的一阶方程一阶方程d( , ).dppf y py 1( ,),py C 求得求得1d( ,),dyy Cx 即即21,( ,)yxCy C 积分，积分，可得通解可得通解.例例4. 求方程求方程 的通解的通解.20yyy,yp 令令ddd,dddpypypyxy 则则解：解：.12xCeCy 积分得积分得原方程原方程通解为通解为代入原方程得代入原方程得 2d0,dpy ppyd()0,dpp ypy即：即：d0dpypy1,pC y即：即：1ddyC y

7、x 例例4. 求方程求方程 的通解的通解.20yyy解解法二法二：两端同乘非零因子两端同乘非零因子 得到：得到： 21,y22d()0,dyyyyyxy 1,yCy 即：即：1ddyC yx .12xCeCy 积分得积分得原方程原方程通解为通解为注意注意:这一段技巧性较高这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程关键是配导数的方程.恰当导数方程恰当导数方程 例例4. 求方程求方程 的通解的通解.20yyy解解法三法三：两端同除以两端同除以 得到：得到： ,yy 两边积分两边积分,得得,yyyy 1lnlnlnyyC 即：即：1ddyC yx .12xCeCy 积分得积分得原方程原方程通解为通解为例

8、例5. 求方程求方程 的通解的通解.20yyy,yp 令令ddd,dddpypypyxy 则则解：解：212.yC xC积分得积分得原方程通解为原方程通解为代入原方程得代入原方程得 d()0dpp ypyd0dpypy1Cpy即：即：1d.dCyxy 注意：本题也可直接配导数的方程注意：本题也可直接配导数的方程()0.yy |Cepy例例6. 解初值问题解初值问题解解:200e00 , 1yxxyyy 代入方程得代入方程得根据根据初始条件初始条件,dedyypx得得( ),yp y 令令d,dpypy 则则2de dyp py 22111e22ypC10,C 根据根据0010,yxpy 积分得

9、积分得2e,yxC 故所求特解为故所求特解为1eyx 21C 00 xy 提高题：提高题：设函数设函数 二阶可导二阶可导, 且且( ) (0)y xx ( )0,y x (0)1,y 过曲线过曲线 上任一点上任一点 作该曲线作该曲线( )yy x ( , )P x y的切线及的切线及 x 轴的垂线，轴的垂线， 上述两直线与上述两直线与 x 轴围成的三轴围成的三角形面积记为角形面积记为 区间区间 上以上以 为曲边的曲为曲边的曲 边梯形的面积记为边梯形的面积记为 且且 求求( )y x( ).y x1221,SS2,S1,S0, x( 1999 考研考研 )yP1xxy2S1S 211cot2Sy

10、 22yy 20( )dxSy tt 1221SS20 ( )d1xyy tty 两边对两边对x 求导求导, 得得2()yyy (0)1,(0)1yy 定解条件为：定解条件为：.12xCeCy 由例由例 4 知，知， 原方程原方程通解为通解为利用定解条件得利用定解条件得.xye yP1xxy2S1S 211cot2Sy 22yy 20( )dxSy tt 内容小结内容小结可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 通过引入变换进行降阶通过引入变换进行降阶( )1.( )nyf x 2.( ,)yf x y 令令( ) ,yp x 3.( ,)yf y y 令令( ) ,yp y ddpyx 则则

11、ddpypy 则则逐次积分逐次积分但但有时有时用后者方便用后者方便.注意：注意： 对于方程对于方程(),yf y 令令( )yp x 或或( )yp y 均可均可. 一般来说一般来说, 用前者方便些用前者方便些. 3()yyy 例如例如, 本次作业的本次作业的 1(10):一般情况下，解二阶可降阶微分方程初值问题一般情况下，解二阶可降阶微分方程初值问题 时，时，边解边定常数计算简便，遇到开平方时边解边定常数计算简便，遇到开平方时, 要根据题要根据题意确定正负号意确定正负号.高阶线性微分方程高阶线性微分方程 第六节第六节二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构

12、三、线性非齐次方程解的结构 *四、降阶法与常数变易法四、降阶法与常数变易法 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 解解:受力分析受力分析xxo一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 置置附近作上下振动附近作上下振动. 例例: 设有设有一弹簧下挂一重物质量一弹簧下挂一重物质量为为m, 如果如果使使物体具物体具有初始有初始速度速度 物体将离开物体将离开平衡位置平衡位置, 并并在平衡位在平衡位00,v ( )xx t 试确定物体的振动规律试确定物体的振动规律1. 恢复力恢复力;fcx d;dxRt 2. 阻阻力力 ,Fma 22dd ,ddxxmcxtt 物体自由振动的微分方程

13、物体自由振动的微分方程强迫振动的强迫振动的方程方程串联电路的振荡方程串联电路的振荡方程222dd20ddxxnk xtt22dd2sind1dccmcuuELcutttLLCLCR 222dd2sinddxxnk xhptttsin,Fhpt 铅直干扰力铅直干扰力二阶线性微分方程二阶线性微分方程称为线性齐次微分方程称为线性齐次微分方程称为线性非齐次微分方程称为线性非齐次微分方程n 阶阶线性微分方程线性微分方程22dd( )( )( )ddyyP xQ x yf xxx( )(1)11( )( )( )( ).nnnnyP x yPx yP x yf x 当当 时，时，( )0f x 当当 时，

14、时，( )0f x 二、线性齐次方程的解的结构二、线性齐次方程的解的结构( )( )0(1)yP x yQ x y定理定理1 如果函数如果函数与与是方程是方程(1)的两的两个个解解,也是也是(1)的的解解.那么那么1( )y x2( )yx1122yC yC y12,CC为常数为常数,问题问题:1122yC yC y一定是通解吗？一定是通解吗？对于二对于二阶线性微分方程阶线性微分方程故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都线性相关上都线性相关.个不全为零的常数，个不全为零的常数，定义定义：设：设为定义在区间为定义在区间 内内的的 个函个函 数数, 如果如果存在存在 区间区间内时有恒等式成立内

15、时有恒等式成立 使使得当得当 在该在该12,nyyyInnx11220nnk yk yk yIn个函数在区间个函数在区间 那么称这那么称这 内内 线性相关线性相关In否则称这否则称这线性无关线性无关.个函数在区间个函数在区间 内内nI例如，例如， 在在( , )上都有上都有221, cos, sinxx221cossin0 xx则根据二次多项式至多只有两个零点可知则根据二次多项式至多只有两个零点可知,特别地特别地:又如，又如，21,x x若在某区间若在某区间 I 上上21230,kk xk x必需全为必需全为 0 ,123,kkk在任何区间在任何区间 I 上都线性无关上都线性无关.2 1,x

16、x若若 中中有一个恒为有一个恒为 0, 12( ),( )y xyx必线性必线性 相关相关12( ),( )y xyx则则 若在若在 I 上有上有常数常数12( )( )y xyx 在在 I 上上线性无关线性无关.则则1( ),y x2( )yx推论推论. 的的 n 个线性无关解个线性无关解, 为任意常数为任意常数, 则方程的通解为则方程的通解为若若 是是 n 阶齐次方程阶齐次方程 12,nyyy( )(1)11( )( )( )0nnnnya x yax yax y 11.nnyC yC y,1,2,kCkn 定理定理2：如果：如果与与是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程1( )y x2(

17、)yx( )( )0yP x yQ x y的两个线性无关的的两个线性无关的 特解特解, 即为即为该该方程的方程的通解通解.1122yC yC y为任意常数为任意常数, 那么那么 12,C C例如例如0,yy 12cos ,sin ,yxyx21 tanyxy常数常数,12 cossinyCxCx为该方程的通解为该方程的通解.例如例如(4)0,yy1234cos , sin , , , xxyxyxyeye 1342 cossinxxyCCxCCexe 为该方程的通解为该方程的通解.三、非齐次线性方程的解的结构三、非齐次线性方程的解的结构:定理定理3*y是二阶非齐次线性是二阶非齐次线性方程方程的

18、一个特解的一个特解, ( )( )( )yP x yQ x yf x设设Y 是二阶是二阶齐次线性方程齐次线性方程( )( )0yP x yQ x y的通解；的通解；为为该二该二阶非齐次线性阶非齐次线性微分方程的通解微分方程的通解.则则*yYy定理定理3, 定理定理4 均可推广到均可推广到 n 阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程. 定理定理4的的特解特解.是方程是方程则则*1nkkyy 1( )( )mkkyP x yQ xfxy 的特解的特解, ( )( )( ) ( =1,2,)kyP x yQ x yfxkm*ky分别是分别是方程方程 设设 (非齐次方程解的叠加原理非齐次方程解的叠加原理)因

19、此该方程的通解为因此该方程的通解为例如例如, 方程方程有特解有特解yyx 1*yx 方程方程有特解有特解2xyye 2*xye 则则 是方程是方程 的特解，的特解， *xyxe2 xyyxe 对应齐次方程对应齐次方程有通解有通解0yy 12cossinYCxCx12cossin2xyCxCxxe11122*( )( )( )( )nnknkyC y xC yxCyxyx 则非齐次方程则非齐次方程(2)的通解为的通解为定理定理给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程( )(1)11( ) (2) ( )( ) mknknnya x yax yfx 设设 是是对应齐次方程的对应齐次方程的 n

20、 个个12( ),( ),( )ny xyxyx线性无关特解线性无关特解, 的特解，的特解， 是是非非齐次方程齐次方程*( )kyx( )(1)1( )( )( )nnnkya x yaxfxy ( )( )Y xyx 常数常数, 则该方程的通解是则该方程的通解是 ( )设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐都是二阶非齐次线次线性性方程方程 的的解解, 是任意是任意123,yyy( )( )( )yP x yQ x yf x12,C C例例1.D11223(A);C yC yy1122123(B)();C yC yCCy1122123(C)(1);C yC yCCy1122123(D)(1)

21、.C yC yCCy解解: :因而线性无关因而线性无关, 故原方程通解为故原方程通解为 已知微分方程已知微分方程有三个解有三个解求此方程满足初始条件求此方程满足初始条件的特解的特解.( )( )( )yP x yQ x yf x2123,e ,e,xxyx yy(0)1,(0)3yy 例例2.是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,2131yyyy与常数常数且且21231eexxyyxyyx 212(e)(e)xxyCxCx x(0)1,(0)3yy 121,2,CC 故所求特解为故所求特解为22ee .xxy *四、常数变易法四、常数变易法复习复习: 常数变易法常数变易法: ( )( )yp

22、x yf x 对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解: 1( )yC y x 1( )d( )ep xxy x 设非齐次方程的解为设非齐次方程的解为 1( )( )yC x y x 代入原方程确定代入原方程确定 ( ).C x对二阶非齐次方程对二阶非齐次方程 情形情形1. 已知已知对应齐次方程通解对应齐次方程通解: 设设(3)的解为的解为 (3) 由于有两个待定函数由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程所以要建立两个方程(4)( )( )( )yP x yQ x yf x1122( )( )yC y xC yx12( ) ( )yvxvx1( )y x2( )yx12( ),( )vx vx待

23、定待定1122yy vy v1122y vy v12,vv为使为使 中不含中不含y 令令1 1220y vy v(5)2222()( )yP yQy vf x1111()yP yQy v于是于是将以上结果代入方程将以上结果代入方程 (3) : 1122yy vy v1122y vy v1 1220y vy v11221122yy vy vy vy v 1 122y vy v 是对应是对应齐次方程的解齐次方程的解12,yy得得(6)1 122( )y vy vf x (5)由于由于 线性无关，可以证明线性无关，可以证明12,yy(5),(6)联立的方程组有唯一解联立的方程组有唯一解12,v v积

24、分得积分得: 代入代入(4) 即得非齐次方程的通解即得非齐次方程的通解: 说明说明: 将将(3)的解设为的解设为 只有一个必须满足的条件即只有一个必须满足的条件即因此必需因此必需再附加一个条件再附加一个条件, 方程方程(5)的的引引入可以入可以简化简化计算计算. 方程方程(3), 111222( ),( )vCgxvCgx11221122( )( )yC yC yy gxy gx1212( )( )( )( )yy x vxyxxv仅仅知对应齐次知对应齐次方程的一个非零特解方程的一个非零特解 1( ).y x情形情形2.对二阶非齐次方程对二阶非齐次方程 (3) ( )( )( )yP x yQ

25、 x yf x1( )( ),yu x y x 设设代入代入(3) 化简得化简得111(2)y uyP y u111()yPyQyuf 0zu 令令111(2( )y zyP x yzf设其通解为设其通解为 (一阶线性方程一阶线性方程)积分得积分得11211( )( )( )( )( ).yC y xC U x y xux y x (3)的通解为：的通解为：2( )( )zC Z xzx 12( )( )uCC U xux 解解:利用利用(5)(6)建立方程组建立方程组: 积分得积分得 1111xyyyxxx12( )e( ),xyxvxvx令令12e0 xxvv12e1xvvx121,e,xvvx 1324,(1)exvCxvCx 故所求通解为故所求通解为