高等数学教学课件：Lecture 05-Infinities and Operations of Limits

1、复习复习函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx 函数极限的性质函数极限的性质唯一性，局部有界性，唯一性，局部有界性， 保号性，保号性， 子列的收敛性子列的收敛性定理定理 1 .0lim( )xxf xA 00lim( )lim( )xxxxf xf xA利用函数极限利用函数极限的的 定义（或者定义（或者 定义）定义） 证明证明 的一般步骤：的一般步骤： X 0lim( )xxf xA (lim( )xf xA 或或者者对于任给的对于任

2、给的 , ,由不等式由不等式 ，经过，经过一一系列适当放大系列适当放大可得可得0 |( )|f xA 0|( )|f xAc xx |( )|(|)f xAcx （或或者者解不等式得到解不等式得到 0(|( )| xx |xc 或或者者取取 （或取正数（或取正数 ) )，则当，则当c ( )X 00 |xx 时时( (或当或当 时时), ), 总有总有 。xX |( )|f xA 但要注意这种限制必须按自变量但要注意这种限制必须按自变量 本身的变化过程本身的变化过程来确定，不能随意限制。来确定，不能随意限制。x说明：说明：010 |xx 0|( )|f xAc xx02|.xx 为了证明的方便

3、，也可以限制为了证明的方便，也可以限制 以方便进行不等式的放大，得到以方便进行不等式的放大，得到再由此得到再由此得到最后取最后取 即可。即可。12min, 最终给出的邻域还应该考虑其是否在定义域中。最终给出的邻域还应该考虑其是否在定义域中。证明证明: 当当证证:时时( )f xA 0 xx00 xxxx 001xxx0, 欲使欲使( ),f xA 只要只要00,xxx 而而可用可用保证保证 .0 x 00 xxx则当则当时时,00 xx 因此因此00lim.xxxx 00min,xx 故取故取00 x 00lim.xxxx 0.x 且且0,xx 必有必有第四节第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大

4、二、二、 无穷大无穷大 三三 、 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、 无穷小无穷小 00 xx 当当 时，有时，有 0 , 一、无穷小一、无穷小1. 1. 极限为零极限为零的的变量变量称为称为无穷小无穷小. .0lim( )0,xxf x 如如lim( )0.xf x 定义定义10, ( )f x (0)X()xX 则称则称 为为 时的无穷小，记为：时的无穷小，记为：( )f x0 xx()x 0lim( )0.xxf x (lim( )0).xf x 例如例如, ,注意注意 1. 无穷小无穷小是变量是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆; 2. 除除 0 以外任何很小的

5、常数都不是无穷小以外任何很小的常数都不是无穷小 !3. 不要不要将无穷小与负无穷混为一谈将无穷小与负无穷混为一谈.函数函数 是当是当 时的无穷小时的无穷小sin x0 x 1lim0,xx 0limsin0,xx 函数函数 是当是当 时的无穷小时的无穷小1xx ( 1)lim0,nnn 数列数列 是当是当 时的无穷小时的无穷小( 1)nn n 2. 无穷小无穷小与函数极限的关系与函数极限的关系:0lim( )( )( ),xxf xAf xAx 定理定理1其中其中 是当是当 时的无穷小时的无穷小.( )x 0 xx( 时也成立时也成立)x 证证 必要性必要性设设0lim( ),xxf xA 0

6、, 0, ( ).f xA 有有当当 时，时，00 xx ( )( ),xf xA 令令则则( )0( ),xf xA0lim( )0,xxx ( )( ).f xAx 且且充分性充分性2. 无穷小无穷小与函数极限的关系与函数极限的关系:0lim( )( )( ),xxf xAf xAx 定理定理1其中其中 是当是当 时的无穷小时的无穷小.( )x 0 xx( 时也成立时也成立)x 设设( )( ),f xAx ( )( ),f xAx 则则当当 时，时，00 xx 0lim( )0 xxx ( ).x 有有0 lim( ),xxf xA0, 0,从而有从而有( ).f xA 意义意义1. 将

7、将一般极限问题转化为特殊极限问题一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);2. 无穷小无穷小与函数极限的关系与函数极限的关系:0lim( )( )( ),xxf xAf xAx 定理定理1其中其中 是当是当 时的无穷小时的无穷小.( )x 0 xx( 时也成立时也成立)x 2. 给出了函数给出了函数 在在 附近的近似表达式附近的近似表达式( )f x0 x( ),f xA ( ).x 误差为误差为二、无穷大二、无穷大1. 1. 绝对值无限增大绝对值无限增大的的变量变量称为称为无穷大无穷大. .称称 为为 时的无穷大时的无穷大.1x0 x 00 xx 当当 时，有时，有 0 , 定义定义2

8、0,M( )f xM (0)X()xX 则称则称 为为 时的无穷大，记为：时的无穷大，记为：( )f x0 xx()x 0lim( ).xxf x (lim( ).xf x 例如：例如： 时时，1,x 0 x 特殊情形：特殊情形：正无穷大，正无穷大， 负无穷大负无穷大注意注意 1. 无穷大是无穷大是变量变量,不能与不能与很大的很大的数混淆数混淆;3. 说无穷小或无穷大，要指明自变量的变化过程说无穷小或无穷大，要指明自变量的变化过程.00 ()()lim( )(lim( )xxxxxxf xf x 或或 2. 切勿将切勿将 认为是极限存在认为是极限存在0lim( )xxf x 1: x例例如如

9、时是时是无穷大；无穷大；0 x 时是时是无穷小无穷小. .x 4. 无穷大无穷大无界变量无界变量4. 无穷大无穷大无界变量无界变量定义定义比较二者定义比较二者定义: :00 xx 当当 时，有时，有 0 , 0,M( )f xM 则称则称 为为 时的无穷大时的无穷大.( )f x0 xx定义定义0,( ),MxXf xM 有有成成立立 则称则称 在在 上有界上有界. 否则称无界否则称无界.( )f xX000,()MxXf xM有有无界：无界：,22)( kxyk无无界界11sinyxx 例例: : ().ky xM 当当k 充分大时，充分大时，不是无穷大不是无穷大1(1)(1,2,3,)22

10、kxkk 取取1(2)(1,2,3,)2kxkk 取取当当 充分大时，充分大时，k ,kx ()2sin2ky xkk 但但0.M结论：在结论：在(0,1上无界，但当上无界，但当 时，不是无穷大时，不是无穷大.0 x 证证11 xy11lim.1xx 例：证明例：证明0.M1,1Mx 要要使使11,xM只只要要1,M 取取当当 时，时，101xM 1.1Mx 就就有有11 lim.1xx 若若 则则直线直线 为曲线为曲线的铅直渐近线的铅直渐近线 .说明说明:0lim( ),xxf x 0 xx ( )yf x 三、三、 无穷小与无穷大的无穷小与无穷大的关系关系:定理定理2证证 (1)设设0li

11、m( ),xxf x 0, 0,M ( ).f xM 当当 时，时，00 xx 10, ,M 取取 00()()1(1) lim( )lim0;( )xxxxxxf xf x 00()()1(2) lim( )0,( )0lim.( )xxxxxxf xf xf x 且且11( )( )f xf x 故当故当 时，时， 为无穷小，为无穷小， (1) 证毕证毕.0 xx1( )f x00()()1(2) lim( )0,( )0lim.( )xxxxxxf xf xf x 且且(2) 设设0lim( )0,( )0.xxf xf x且且0, 0, ( ).f x 当当 时，时，00 xx 10,

12、 ,MM 取取 1( )( )f xMf x 故当故当 时，时， 为无穷大，为无穷大， (2) 证毕证毕.0 xx1( )f x意义：意义： 关于关于无穷大的讨论无穷大的讨论, ,都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论. .内容小结内容小结1. 无穷小无穷小与无穷大的定义与无穷大的定义2. 无穷小无穷小与函数极限的关系与函数极限的关系3. 无穷小无穷小与无穷大的关系与无穷大的关系几点注意几点注意:1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的无穷小和无穷大是相对于过程而言的;2. 无穷小无穷小(大大) 是变量，不能与很小是变量，不能与很小(大大)的数混淆的数混淆;3. 零零是是唯一可唯一

13、可作为无穷小的数；作为无穷小的数；4. 无无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx 函数极限的统一定义函数极限的统一定义? ? ?AAA 0lim( )xxf x 的定义的定义 (04(04期中期中) )当当 时，数列时，数列 是无穷大的定义是无穷大的定义 (05(05期中期中) )n nx0lim( )xxf xA 的定义的定义 (06(06期中期中) )010100,0,(, ),()oxxf xA 使使得得110,()MxIf

14、 xM有有( )f x在区间在区间I I上无界的定义上无界的定义 (07(07期中期中) )叙述叙述 的定义的定义 (10(10期中期中) )lim( )0 xf x lim( )xf x (2011期中期中)命题命题1命题命题20,0,MX 满足满足 的的 , 使得使得1|xX 1x1|()|f xM 则命题是命题的则命题是命题的(A)充分条件充分条件 (B)必要条件必要条件(C)充分必要条件充分必要条件 (D)非充分也非必要条件非充分也非必要条件 函数函数 在在 处连续处连续, 用用 定义定义描述就是描述就是: 当当 时时, 恒有恒有 成立成立. 那么此时取那么此时取 2( )f xx 2

15、x 0, 0, |2|x |( )(2)|f xf (2011期中期中)第五节第五节极限的运算法则极限的运算法则二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1. 有限有限个无穷小的和还是个无穷小的和还是无穷小无穷小.证证: 仅考虑仅考虑两个无穷小的两个无穷小的和和. 设设22 因此因此0lim()0.xx0lim0 ,xx 0lim0 ,xx 0, 10, 当当 时时 , 010 xx 有有2 20, 当当 时时 , 020 xx 有有2 取取 12

16、min, 时时, 有有则当则当00 xx (同一过程中同一过程中)说明说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如，例如，类似可证类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小无穷小之和仍为无穷小 . 不是无穷小不是无穷小当当 时，时， 是无穷小是无穷小1nn 111limnnnn但但n 个个定理定理1. 有限有限个无穷小的和还是个无穷小的和还是无穷小无穷小.1, 定理定理2 有界函数有界函数与无穷小的乘积是无穷小与无穷小的乘积是无穷小.证证 设函数设函数 在在 内有界，内有界，( )f x 01(,)oU x 10, 以以及及当当 时，时，010 xx 又设又设

17、 是当是当 时的无穷小，时的无穷小， 0 xx20, 当当 时，时，020 xx 12min, 取取当当 时，时，00 xx ( )f x ( )f x MM 从而，当从而，当 时时,0 xx( )f x 为无穷小为无穷小.0,M即即( ).f xM 恒有恒有 0, 即即.M 恒有恒有恒有恒有 定理定理2 有界函数有界函数与无穷小的乘积是无穷小与无穷小的乘积是无穷小.都是无穷小都是无穷小.例如，当例如，当 时，时，0 x 211sin, arctanxxxx推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘乘 积积是无穷小是无穷小.推论推论2 常数常数与无穷小

18、的乘积是无穷小与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限有限个无穷小的乘积也是无穷小个无穷小的乘积也是无穷小.无限无限个无穷小的个无穷小的乘积？乘积？ 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 . 1 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 . 1 2! 1 1/2 1/3 1/4 1/5 . 1 1 3! 1 1/2 1/3 1/4 . 1 1 1 4! 1 1/2 1/3 . 1 1 1 1 5! 1 1/2 . 1 1 1 1 1 6! 1 . . 结论？结论？2. 极限极限运算法则运算法则定理定理3设设lim( ), lim ( ),f xAg xB则则(1)lim ( )

19、( );f xg xAB(2)lim ( )( );f xg xA B( )(3)lim,0.( )f xABg xB其其中中 lim( ), lim ( ),f xAg xB分析：分析： ( ),( ).0,0.f xAg xB其其中中0lim( )( )( )xxf xAf xAx 定理定理1( )( )()()f xg xAB()()AB利用极限与无穷小的利用极限与无穷小的关系定理关系定理 , 知定理结论成立知定理结论成立 .(2) 证证( )( )( )f x g xAB()()ABBA (3) ( )( )f xAg xB AABB ()BAB B ( )BABg x 无穷小无穷小无

20、穷小无穷小无穷小无穷小(1) 的保号性的保号性 局部有界性，局部有界性，( )g x推论推论1 如果如果 存在，而存在，而 c 为常数，则为常数，则 lim( )f xlim( )lim( ).cf xcf x 推论推论2 如果如果 存在，而存在，而 n 为正整数，则为正整数，则 lim( )f xlim ( )lim( ) .nnf xf x 推论推论3( P46 定理定理 5 )若若lim( ), lim ( ),f xAg xB且且( )( ),f xg x .AB 则则利用保号性定理证明利用保号性定理证明 .提示提示: 令令( )( )( ),xf xg x 定理定理4 . 则有则有提

21、示提示: 因为数列是一种特殊的函数因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理故此定理 可由可由定理定理3 直接直接得出结论得出结论 .若若lim, lim,nnnnxAyB(1) lim()nnnxy AB(2) limnnnx yAB 当当 时，时，(3) 00nyB且且limnnnxAyB 说明说明: 定理定理3、4可推广到有限个函数、数列的情形。可推广到有限个函数、数列的情形。sin1limlimlimsin0.xxxxxxx注注： 例例1. 求求sinlim.xxx解解: 利用定理利用定理 2 可知可知Oxysin1x 1lim0 xx sinlim0 .xxx sinxyx 说明说明 :

22、 y = 0 是是的渐近线的渐近线 .sinxyx 证证:例例2. 试证试证设设 n 次多项式次多项式01( ),nnnP xaa xa x00lim( )().nnxxP xP x 0lim( )nxxP x 0a01limxxax 0limnnxxax0001nnaa xa x0()nP x 证证: 0lim( )xxR x 00lim( )lim( )xxxxP xQ x00()()P xQ x 0()R x 其中其中( )( ),( )P xR xQ x ( ),( )P xQ x为多项式为多项式 ,试证试证: 00lim( )() .xxR xR x 0()0,Q x 若若例例3.

23、设有分式函数设有分式函数例例4解解531lim232 xxxx3221lim.35xxxx 求求22lim(35)xxx30,3222lim1lim(35)xxxxx 7.3 分子分母都不等于零时，直接代入即得极限。分子分母都不等于零时，直接代入即得极限。例例5. x = 3 时分母为时分母为 0 !说明说明: 若若不能直接用商的运算法则不能直接用商的运算法则 .0()0,Q x 22343lim9xxxx 3(3)(1)lim(3)(3)xxxxx 31lim3xxx 13 26 先约去不为零的无穷小因子，然后再求极限。先约去不为零的无穷小因子，然后再求极限。消消去零因子去零因子法法0()0

24、适适用用于于型型例例6 . 解解: x = 1 时时,分母分母 = 0 , 分子分子0 , 但由于但由于求求2123lim.54xxxx 2154 lim23xxxx 0 2123lim54xxxx 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得分母为零，分子不为零时，极限为无穷大分母为零，分子不为零时，极限为无穷大.例例7 . 求求22439lim.521xxxxx解解: x 时，时，分子分子 , 分母分母 ; 同除以同除以 2,x原式原式224391li1m5112xxxxx 45 无穷小无穷小因子分出因子分出法法() 适适用用于于型型分子分母同除以最高次幂，分出无穷小，然后再求分子分

25、母同除以最高次幂，分出无穷小，然后再求极限。极限。例例8例例8*例例8*3232235lim741xxxxx求求23235lim741xxxx 求求322235lim41xxxx 求求2.7 . 一般有如下结果：一般有如下结果：( 如如 P47 例例5 )( 如如 P47 例例6 )( 如如 P47 例例7 )为非负常数为非负常数 )101nnnb xb xb 101limmmmxa xa xa 00(0,a bm n 00,ab0 , nm 若若nm 若若nm 若若三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理7(复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则)设设( ) ,u

26、x 又又 时，时，00lim( )()oxxxaxU x ，且且( )xa ，若若lim( )uaf uA ，则则0lim ( )lim( ).xxuafxf uA 意义：求极限的意义：求极限的“变量代换变量代换”法法.0lim ( )xxfx 0lim( )xxxa ( )ux 令令lim( )uaf u证明证明综合上述两步综合上述两步: Auf)(Axf )( lim( ),uaf uA 0,0,当当 时时,0ua ( ).f uA 当当 时时,00 xx 0,0,. 成成立立0lim ( )xxfxA ( ),ux 又又 时，时，00lim( )()oxxxaxU x ，且且( )xa ，0,0,对于对于当当 时时, 恒有恒有00 xx 0( ).xaua 0lim ( )xxfx 0lim( )xxxa ( )ux 令令lim( )uaf u例例9. 解解: 原式原式 =求求233lim.9xxx 令令2)9(3xuxx 3(im)lxx 311lim36xx 16limuu16 66 11lim.1xxx 例例10 . 求求解解: 方法方法 1 原式原式方法方法 2令令,ux 则则1lim1,xu 21111xuux 1u1lim(1)uu2 11lim1xxx 1(1)(1)lim1xxxx 1lim(1)x