高等数学教学课件：Lecture 18-L'Hopital's Rule

1、复习复习1. 微分中值定理的条件、结论及关系微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理)()(afbf xxF )()()(afbf xxF )(2. 微分中值定理的应用微分中值定理的应用(1) 证明恒等式证明恒等式(2) 证明不等式证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论关键关键: 利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数费马引理费马引理第二节第二节洛必达法则洛必达法则 三三、 其他其他未定式未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式00 微分中值定理微分中值定理函数的性态函数的性态导数的

2、性态导数的性态函数之商的极限函数之商的极限导数之商的极限导数之商的极限 转化转化本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则( )lim( )f xg x( 或或 型型)00 ( )lim( )fxg x 定义定义例如例如, , ()( )0lim( )()( )0 xaxf xF x 如如果果或或 ()( )lim( )xaxf xF x那那么么可可能能存存在在、也也可可能能不不存存在在通常把这种极限称为通常把这种极限称为 00 或或型型未定式未定式0tanlim,xxx0()00lnsinlim(0,0),lnsinxaxabbx () 一、定理定理 1.型未定式型未定式(洛必达法则洛必达法则)

3、 在一定条件下通过分子分母分别求导再求在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限极限 来来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。确定未定式的值的方法称为洛必达法则。1) lim( )lim( )0 xaxaf xF x2)( )( )( )f xF xU a 与与在在内可导，且内可导，且( )0Fx 00存在存在 (或为或为 )( )3) lim( )xafxFx ( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 证证:故故定理条件定理条件1) lim( )lim( )0 xaxaf xF x内可导，且内可导，且存在存在 (或为或为 )( )3) lim( )xafxFx 2)(

4、)( )( )f xF xU a 与与在在( )0Fx 无妨假设无妨假设( )( )0,f aF a在指出的邻域内任取在指出的邻域内任取,xa 则则在以在以 x, a 为端点的区间上为端点的区间上满足柯西定理条件满足柯西定理条件,( ),( )f xF x( )( )( )( )( )( )f xf xf aF xF xF a ( )( )fF ( )lim( )xaf xF x( )lim( )afF 3)( )lim( )xafxFx ( 在在 x , a 之间之间)洛必达法则洛必达法则( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 当条件满足时，洛必达法则可以反复多次使

5、用。当条件满足时，洛必达法则可以反复多次使用。推论推论 2. 足定理的足定理的 1 条件条件, 若若 仍属仍属 型型, 且且 满满 ( )lim( )fxFx ( ),( )fxFx00则则( )( )limlim( )( )f xfxF xFx ( )lim( )fxFx 条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理定理 1 仍然成立仍然成立.定理定理 1 中中换为下列过程之一换为下列过程之一:xa,xa ,xa ,x ,x x 推论推论1.例例1解解)00(解解)00(0tanlim.xxx求求0(tan )lim( )xxx 原原式式20seclim1xx 1. 例例20(1)1l

6、im.xxx 求求10(1)lim1xx 原原式式. 例例3. 求求解解: 原式原式注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则 !332132lim.1xxxxxx0(0型型) )1 limx 2321xx233x 16lim62xxx 32 16lim62xxx 16lim16x 注：注：用洛必达法则用洛必达法则一定要验证条件，特别是一定要验证条件，特别是条件条件(1);(1);若用一次法则后仍是未定式，可继若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦不是未定式立刻停止使用续使用，一旦不是未定式立刻停止使用; ;注：注：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，洛必达法则是求未

7、定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例4. 求求解解: 原式原式 arctan2lim.1xxx lim x 211x 21x 22lim1xxx 21lim11xx 1 0(0型型) )( 型型) )思考思考: 如何求如何求 ( n 为正整数为正整数) ?arctan2lim1nnn 0sinlimsintanxxxxx 0sinlimsintanxxxxx 例例5. 求求解：解：202lim02xxx01coslim2xxx 20sinlimxxxx 若直接用洛必达法则，则有若直接用洛必达法则，则有0sinlimsintanx

8、xxxx 201coslimcostansinsecxxxxxx 运算过程中有非零极限运算过程中有非零极限因子因子，可先算出极限。，可先算出极限。例例63011sinlimsinxxxx30sinlim( 11sin)xxxxxx 30sin1lim.212xxxx 例例620tan lim.tanxxxxx 求求30tanlimxxxx 原原式式220sec1lim3xxx 202sectanlim6xxxx 01tanlim3xxx 1.3 定理定理 2.(洛必达法则洛必达法则)型未定式型未定式 二、二、1) lim( )lim( )xaxaf xF x 2)( )( )( )f xF x

9、U a 与与在在内可导，且内可导，且( )0Fx 存在存在 (或为或为 )( )3) lim( )xafxFx ( )lim( )xaf xF x( )lim( )xafxFx 证证: 仅就极限仅就极限存在的情形加以证明存在的情形加以证明 .( )lim( )xaf xF x1)的情形的情形( )lim0( )xaf xF x ( )lim( )xaf xF x limxa 1( )F x1( )f x limxa 21( )( )FxFx 21( )( )fxfx 2( )( )lim( )( )xaf xFxF xfx 2( )( )limlim( )( )xaxaf xFxF xfx (

10、 )( )1limlim( )( )xaxaf xFxF xfx ( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 可用可用 1) 中结论中结论取常数取常数0 ,k ( )lim( )xaf xkF x ( )( )lim( )xaf xkF xF x ( )( )lim( )xaf xkF xF x 0,k( )( )lim( )xafxkFxFx ( )lim( )xafxkFx ( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 的情形的情形.( )lim0( )xaf xF x 2)3)时时, 结论仍然成立结论仍然成立. ( 证明略证明略 )说明说明: 定

11、理中定理中ax 换为换为之一之一, 条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理仍然成立定理仍然成立., ax, ax, x x,x( )lim( )xaf xF x 解解例例80lnsinlim(0,0).lnsinxaxabbx 求求() 0cossinlimcossinxaaxaxbbxbx 原原式式0coslimcosxaxbx 1. 0cossinlimcossinxaaxaxbbxbx 例例9. 求求解解: 原式原式解解: (1) k 为正整数的情形为正整数的情形.原式原式lnlim(0).kxxkx ( 型型) )11limkxxkx 1limkxkx 0 ( 型型) )例

12、例10. 求求lim(0 ,0).ekxxxk 122(1)limlimeekkxxxxkxk kx !limekxxk 0 (2) k 不为正整数的情形不为正整数的情形.由由(1)知知1lim0, lim0eennxxxxxx 用夹逼准则用夹逼准则lim0ekxxx 例例10. 求求lim(0 ,0).ekxxxk 存在正整数存在正整数 n , 使当使当 x 1 时时, 有有1.nknxxx 从而从而1eeenknxxxxxx 说明说明:1) 例例9 , 例例10 表明表明时时,x 指数增长指数增长 快于幂增长快于幂增长(0)xe (0),kxk 幂增长幂增长 快于对数增长快于对数增长(0)

13、,kxk ln(0).kx k lnlim0 xxx lim0 xxxe 特别地，特别地，2) 某些情况下某些情况下, 虽然定理条件满足，但洛必达法虽然定理条件满足，但洛必达法则并不能解决计算问题则并不能解决计算问题 . 21limxxx 事实上事实上用洛必达法则用洛必达法则21limxxx 2lim1xxx 21limxxx 21lim1xx1 21 3990(2)lim100 xxexx 21 10202lim100 xxex 211000limxxex 例例211000limxxex 50limttet 解解：原原式式50limttte 4950lim0ttte3) 若若则不能使用则不能

14、使用洛必达法则洛必达法则 ! ( )lim() ,( )fxFx 不不存存在在即由即由 不存在，不能确定不存在，不能确定 不存在不存在. ( )lim( )f xF x( )lim( )fxFx 例如例如,sinlimxxxx 1coslim1xx 极限不存在极限不存在sinlim(1)xxx 1 三、其他未定式三、其他未定式:0, 00 , 1 , 0 型型解决方法解决方法:gfgf1 取倒数取倒数000 ,1 , 型型0 型型 型型00型型 型型1111gffggf 通分通分lneggff 取对数取对数例例11. 求0limln(0).nxxxn 0lnlimnxxx 101limnxxn

15、x 0lim()nxxn 0 原式原式解解:(0型型) )例例12. 求求2lim(sectan ).xxx ( 型型) )解解: 原式原式21sinlim()coscosxxxx21sinlimcosxxx 2coslimsinxxx 0 例例13. 求求0( 0 型型 ) )解解: 0lim.xxx 0limxxx ln0limexxx 1 0e 000021lnlimlnlimlimlim011xxxxxxxxxxx 例例14111lim.xxx 求求(1 ) 解解:1ln11limxxxe 原原式式1lnlim1xxxe 11lim1xxe 1.e 解解:例例151ln0lim(cot

16、 ).xxx 求求0() 11ln(cot)lnln(cot )xxxxe 01 limln(cot )lnxxx 2011cotsinlim1xxxx 0limcossinxxxx 1, 1 .e 原原式式利用罗必达法则及数列极限与函数极限的关系利用罗必达法则及数列极限与函数极限的关系定理定理可可求出一些数列极限。求出一些数列极限。解：解：lim.nnn例例16 求求0() 考察函数极限考察函数极限1limlimxxxxxx lnlimxxxe 01 lnexp( lim)exp( lim)1,1xxxxex limlim1nxnxnx例例17. 求求解：解：lim(1).nnnn (0 型

17、型) )1211limxxxx 原原式式21ln11limxxxex 121llimnxxxx 21limlnxxx0 2000() )() limxf xxxf xx 例例18. 设设可导可导, 求求解法一解法一: (凑导数定义凑导数定义) 原式原式=( )f x2000() )()lim.xf xxxf xx 2()xx 2()xx 0()fx 0 lim x 解法二解法二: (洛必达法则洛必达法则) 原式原式=20() )(12)fxxxx 10()fx 例例19. 若若且且可导可导 , 求求(1)0f ( )f x20(sincos )lim.(e1)tanxxfxxx 20(sinc

18、os )lim(e1)tanxxfxxx 解：解：022(sincos )limxfxxx 20(sincos )(2sincossin )lim2xfxxxxxx 20(sincos )(2cos1)sinlim2xfxxxxx (1)2f 内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则gfgf1 000 ,1 , 型型lneggff 0 型型 型型1111gffggf 00型型 型型思考与练习思考与练习原式原式32分析分析:2013sincos1. lim(1cos )ln(1)xxxxxx 2013sincos1lim2xxxxx 201cos13sinlim2xxxxxx1(30)2ln(1)

19、xx 1cos2x20 cos (sin )lim sinxxxxxx 分析分析:2.原式原式011limcotsinxxxx16sinxx0limcos1xx 30 limxx sinxx 201coslim3xxx 211cos2xx 2201lim32xxx 16 0 lim2tt 解解:原式原式33220(12 )(1)lim212ttt 32lim221xxxxx则则令令1,tx 20122 11limtttt 12(12 ) t 12(1) t 14 3. 求求14 111 2(1) ,0( ),0 xxxxf xeex 4. 讨论函数讨论函数 的连续性的连续性. . ( ),0( )(0), 0f xxg xxfx 5. 设设 的二阶导函数连续，的二阶导函数连续， 定义定义( )f x(0)0,f 证明证明 的导函数连续。的导函数连续。( )g x作作 业业 P138. 1(6)(7)(9)(12)(13)(16), 3，4作业提交时间：作业提交时间：2013年年11月月20日上午日上午10:00am.求下列极限求下列极限 :解解:备用题备用题211) limln(1);xxxx21100