信号与系统奥本海姆课件(周期信号的傅里叶级数表示)第3章

1、fourier series representation of periodic signals第第3章章 周期信号的傅里叶级数表示周期信号的傅里叶级数表示fourier series representation of periodic signals第第3章章 周期信号的傅周期信号的傅里叶级数表示里叶级数表示本章内容：本章内容：. . 周期信号的频域分析周期信号的频域分析. . lti系统的频域分析系统的频域分析. . 傅立叶级数的性质傅立叶级数的性质3.0 引言引言 introduction 时域分析方法的基础时域分析方法的基础 ： 1)1)信号在时域的分解。信号在时域的分解。2)lt

2、i系统满足线性、时不变性。系统满足线性、时不变性。从分解信号的角度出发，基本信号单元从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：必须满足两个要求： 1.1.本身简单，本身简单，lti系统响应能简便得到。系统响应能简便得到。 2.2.具普遍性，能用以构成广泛的信号。具普遍性，能用以构成广泛的信号。 3.1历史的回顾历史的回顾 （a historical perspective）任何科学理论任何科学理论, , 科学方法的建立都是经科学方法的建立都是经过许多人不懈的努力而来的过许多人不懈的努力而来的, , 其中有争论其中有争论, , 还有人为之献出了生命。还有人为之献出了生命。 历史的经验告

3、诉历史的经验告诉我们我们, , 要想在科学的领域有所建树，必须要想在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。 17681768年生于法国年生于法国 18071807年提出年提出“任何任何周期信号都可以用周期信号都可以用正弦函数的级数来正弦函数的级数来表示表

4、示” 拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表 18221822年首次发表年首次发表“热的分析理论热的分析理论” 18291829年狄里赫利第年狄里赫利第一个给出收敛条件一个给出收敛条件傅里叶生平傅里叶生平17681830傅里叶的两个最重要的贡献傅里叶的两个最重要的贡献 “周期信号都可以表示为成谐波关系周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和的正弦信号的加权和”傅里叶的傅里叶的第一个主要论点第一个主要论点 “非周期信号都可以用正弦信号的加非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示权积分来表示”傅里叶的第二傅里叶的第二个主要论点个主要论点 复指数函数复指数函数 、 是一切是一切lti系统的特系统

5、的特征函数。征函数。 、 分别是分别是lti系统与复指系统与复指数信号相对应的特征值。数信号相对应的特征值。( )h s( )h zstenz( )( )sth sh t edt( )()nkhzh n z 结论：结论：3.2 lti系统对复指数信号的响应系统对复指数信号的响应 设离散时间系统的单位脉冲相应是设离散时间系统的单位脉冲相应是hn, 它对复指数信号它对复指数信号xn=zn 的响应可的响应可按前述卷积和来就求得：按前述卷积和来就求得：zhzkhzzkhzkhknxnhnxnynkknkknk 类似地，若设连续时间系统的单位脉类似地，若设连续时间系统的单位脉冲相应是冲相应是h(t),

6、它对复指数信号它对复指数信号 x(t)=est 的响应可按卷积积分来就求得：的响应可按卷积积分来就求得：)()()()()()()()()(shedehedhedhtxthtxtystsstts 对对lti系统如果系统输出系统如果系统输出可表示为输入乘以一系数，可表示为输入乘以一系数，这时的输入称为系统的这时的输入称为系统的特征特征函数函数。该系数就是相应特征。该系数就是相应特征函数的函数的特征值特征值。v只有复指数函数才能成为一切只有复指数函数才能成为一切lti系统系统的特征函数。的特征函数。对时域的任何一个信号对时域的任何一个信号 或或 , ,若能将其表示为下列形式：若能将其表示为下列形式

7、：( )x t( )x ntststseaeaeatx321321)(nnnzazazanx332211tskkkkeshaty)()(利用系统的齐次性与叠加性利用系统的齐次性与叠加性tststseshaeshaeshatytx321)()()()()(332211tskkkeatx)(所以有所以有即：即：nkkkzanx)(nkkkkzzhany)()(* *问题：问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线性组合来表示？信号的线性组合来表示？111( )s ts teh s e222()s ts teh s e333()s ts teh se由于由于一组成

8、谐波关系的周期复指数信号集一组成谐波关系的周期复指数信号集: : 1 1、连续时间情况、连续时间情况 定义：由周期复指数信号组成的集合，定义：由周期复指数信号组成的集合，该集合内的全部信号都是周期的，且该集合内的全部信号都是周期的，且有一个公共周期有一个公共周期 对一个复指数信号对一个复指数信号 ，要成为具有周，要成为具有周期为期为 的周期信号的必要条件：的周期信号的必要条件： ，即，即tje0t0t10tje)2, 1, 0(20kkt02tkif if 定义定义 ，则，则 即一组成谐波关系的复指数信号的集合即一组成谐波关系的复指数信号的集合就是一组其基波频率是某一正频率就是一组其基波频率是

9、某一正频率 的整数倍的周期复指数信号。记为：的整数倍的周期复指数信号。记为： 各次谐波的周期分别为各次谐波的周期分别为 ，它们，它们的公共周期是的公共周期是 。002t0k00( )jktkte,0, 1, 2k 002t02ktkfourier series representation of continuous-time periodic signals一一. . 连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数成谐波关系的复指数信号集成谐波关系的复指数信号集: : 其中每个信号都是以其中每个信号都是以 为周期的，它们为周期的，它们的公共周期为的公共周期为 ，且该集合中所有的信，且该集合中所有的信号

10、都是彼此独立的。号都是彼此独立的。 0( )jktkte02k023.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示连续时间周期信号的傅里叶级数表示如果将该信号集中所有的信号线性组合起如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，有来，有 显然显然 也是以也是以 为周期的。该级数就为周期的。该级数就是是傅里叶级数傅里叶级数， 为傅立叶级数的系数。为傅立叶级数的系数。 这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，即期信号，即: : 连续时间周期信号可以分解成连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量无数多个复指数谐波分量。02( )x t0( )jktkkx ta e

11、ka0( )cosx tt001122jtjtee显然该信号中，有两个谐波分量，显然该信号中，有两个谐波分量， 为相应分量的加权因子为相应分量的加权因子112a00( )cos2cos3x ttt00003312jtjtjtjteeee在该信号中，有四个谐波分量，即在该信号中，有四个谐波分量，即, 3, 1 k时对应的谐波分量。时对应的谐波分量。傅里叶级数表明：傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按连续时间周期信号可以按傅立叶级数被分解成无数多个复指数谐波分傅立叶级数被分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。量的线性组合。二二. .连续时间傅里叶级数的系数确定连续时间傅里叶级数的系数确定如果周

12、期信号如果周期信号 可以表示为傅里叶级数可以表示为傅里叶级数0( )jktkkx ta e( )x t则有则有00()( )jntj kntkkx t ea e对两边同时在一个周期内积分，有对两边同时在一个周期内积分，有0000()00( )ttjntjkntkkx t edtaedt 0000( )tjntnx t edta t00001( )tjntnax t edtt即即 在确定此积分时，只要积分区间是一个周在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为因此可表示为01( )jktktax t edtt01(

13、)tax t dtt 是信号在一个周期的平均值，通常称直是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。流分量。0a 设设x(tx(t) ) 是周期函数。周期是是周期函数。周期是t t0 0。0( )jktkkx ta e01( )tax t dtt01( )jktktax t edtt三三. .频谱频谱（spectral）的概念的概念 信号集信号集 中的每一个信号，除了成谐波中的每一个信号，除了成谐波关系外，每个信号随时间关系外，每个信号随时间 的变化规律都是的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。一样的，差别仅仅是频率不同。 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分在傅里叶级数中，各个信号分量（谐

14、波分量）量） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，和频率不同。因此，可以用一根线段来表示可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率频率。t( )kt121200001分量分量 可表示为可表示为0jte因此，当把周期信号因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数表示为傅里叶级数 时时，就可以将就可以将 表示为表示为( )x t( )x t0( )jktkkx ta e这样绘出的图称这样绘出的图称为为频谱图频谱图0001cos()2jtjttee 频谱图其实就是将频谱图其实就是将 随频率的分布随频

15、率的分布表示出来，表示出来，即即 关系。由于关系。由于信号信号的频谱完全代表了信号的频谱完全代表了信号，研究它的频谱，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为信号的方法称为频域表示法频域表示法。ka四四.傅里叶级数的其它形式傅里叶级数的其它形式 kkaa或或*kkaa 若若 是实信号是实信号, ,则有则有)()(txtx，于是，于是( )x tktjkkktjkkktjkkktjkkeaeaeaeatxtx0000*)()( 傅里叶级数的三角函数表示式傅里叶级数的三角函数表示式 傅里叶级数的另一种三角函数形式傅里叶级数的另一种三角函数形式3

16、.4 连续时间傅里叶级数的收敛连续时间傅里叶级数的收敛 这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数。以表示为傅里叶级数。一一. . 傅里叶级数是对信号的最佳近似傅里叶级数是对信号的最佳近似convergence of the fourier series01( )jktktax t edtt对任何周期信号对任何周期信号 代入左式都可求得傅里叶代入左式都可求得傅里叶系数系数 。某些情况下，左式的积分可能不收。某些情况下，左式的积分可能不收敛，即求得的敛，即求得的 无穷大。无

17、穷大。0( )jktkkx ta e ifif求得的全部求得的全部 都是有限值，代入左式所都是有限值，代入左式所得的无限项级数也可能不收敛于得的无限项级数也可能不收敛于 。二二. . 傅里叶级数的收敛傅里叶级数的收敛傅里叶级数收敛的两层含义傅里叶级数收敛的两层含义： 是否存在是否存在? ? 级数是否收敛于级数是否收敛于 ? ?ka2.2.if周期信号周期信号 在一个周期内具有有限的在一个周期内具有有限的能量，能量，then 可以用傅里叶级数表示可以用傅里叶级数表示（平方可积条件）即（平方可积条件）即02( )tx tdt 1.1.对于全部连续的周期信号都有一个傅里叶对于全部连续的周期信号都有一

18、个傅里叶级数表示级数表示三组条件：三组条件：3.3.if周期信号周期信号 满足满足dirichlet条件，条件，then 可以用傅里叶级数表示。可以用傅里叶级数表示。 dirichlet条件：条件：1 1、在任何周期内信号绝对可积，即、在任何周期内信号绝对可积，即2 、在任何单个周期内，只有有限个极值点，、在任何单个周期内，只有有限个极值点，且极值为有限值。（最大值和最小值数目且极值为有限值。（最大值和最小值数目有限）有限）0( )tx tdt 0000011( )( )jktkttax t edtx t dttt 因此，信号绝对可积就保证了因此，信号绝对可积就保证了 的存在。的存在。ka3、

19、 在任何单个周期内，只有有限个第一类在任何单个周期内，只有有限个第一类间断点，且在间断点上的函数值为有限值间断点，且在间断点上的函数值为有限值 后两组条件并不完全等价。它们都是傅后两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛的里叶级数收敛的充分条件充分条件。相当广泛的信号。相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性。几个不满足几个不满足dirichlet条件的信号条件的信号三三. .gibbs现象现象 满足满足 dirichlet 条件条件的信号，其傅里的信号，其傅里叶级

20、数是如何收敛于叶级数是如何收敛于 的。特别当的。特别当 具有间断点时，在间断点附近，如何收具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于敛于 ? ?( )x t( )x t( )x t1n 3n 7n 19n 100n 用有限项傅里叶级数表示有间断点的用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近会不可避免的出信号时，在间断点附近会不可避免的出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少从而使它所占有的能量减少

21、。gibbs现象表明：现象表明：例例1 1：周期信号：周期信号)cos(cossin)(4323231ttttx)()()()()(432432333321211tjtjtjtjtjtjeeeeeejtxtjjtjjtjtjeeeeejej3243243321212112111)()()()(试确定试确定 的傅里叶级数系数。的傅里叶级数系数。解：解： 由题由题 的基波周期为的基波周期为 jjajjaa2112112112111110，kajeajeakjj，其余，0)1 (4221)1 (4221424221212501111100arctgarctgaaa，；，44212222，aa例例2

22、2：对称周期方波信号：对称周期方波信号1001110 100 00 02sin11tjktjkt tkttktaedtetjktkt10t0tt( )x t确定确定 的傅里叶级数系数。的傅里叶级数系数。110100211ttttdtta根据根据 可绘出可绘出 的频谱图。的频谱图。 称为占空比称为占空比ka( )x t102tt0( )sa x1xsinsa( )xxx其中其中10212tt10214tt10218tt不变不变 时时0t1t 10212tt10214tt10218tt1t不变不变 时时0t 周期周期 和脉冲宽度和脉冲宽度 改变时频谱的变化：改变时频谱的变化：1.1. 当当 不变，

23、改变不变，改变 时，随时，随 使占空比减使占空比减小，小，谱线间隔变小，幅度下降谱线间隔变小，幅度下降。但。但频谱包频谱包络的形状不变络的形状不变，包络主瓣内包含的谐波分，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。量数增加。2.2. 当当 改变，改变， 不变时，随不变时，随 使占空比使占空比减小，减小，谱线间隔不变，幅度下降谱线间隔不变，幅度下降。频谱的频谱的包络改变包络改变，包络，包络主瓣变宽主瓣变宽。主瓣内包含的。主瓣内包含的谐波数量也增加。谐波数量也增加。0t12t1t1t 0t0t 1t0t周期性矩形脉冲信号的频谱特征：周期性矩形脉冲信号的频谱特征： 1. 离散性离散性 2. 谐波性谐波性 3.

24、 收敛性收敛性properties of continuous-time fourier series3.5 连续时间傅里叶级数的性质连续时间傅里叶级数的性质学习这些性质，有助于对概念的理解和学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进行级数展开。对信号进行级数展开。一一. . 线性：线性：若若 和和 都是以都是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )x t( )y tt则则二二. .时移时移: :三三. .反转反转: :若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )x tt则则02t若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )x tt则则四四. .尺度变换尺度变换: :若信

25、号 以 为周期，且( )x tt则则 周期为周期为 ，且，且()x at/t a令令 ,当当 在在 变化时，变化时， 在在 变化变化att0 /t a0t于是有：于是有：01( )jkkktbxedat 五五. 相乘相乘: 若若 和和 都是以都是以 为周期的信号为周期的信号( )x t( )y tt则则也即也即且且:0()1( )j k ltkllk ltllcay t edtabt六六. .共轭对称性共轭对称性: :若信号若信号 的周期是的周期是 且：且：( )x tt则则由此可推得，由此可推得，对实信号有对实信号有： 或或kkaakkaa七七. .parseval 定理：定理：kktadt

26、txt22)(1表明：表明：一个周期信号的平均功率就等于它一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和所有谐波分量的平均功率之和. .* * 掌握表掌握表3.1对实信号对实信号,当当 时，时，( )()x txtkkaa（实偶函数）（实偶函数）当当 时，时，( )()x txt kkaa （虚奇函数）（虚奇函数）例例1：如图周期为：如图周期为 的冲激串的冲激串kktttx)()(-t1tt0)(tx0/ 2/ 211( )tjktktat edttt01( )jktkx tet 02tt求其傅里叶级数表示。求其傅里叶级数表示。解：解：例例2：周期性矩形脉冲：周期性矩形脉冲)(tg1

27、01t1t-ttt解：将其微分后可利用例解：将其微分后可利用例1表示为表示为)()()(11ttxttxtg求其傅里叶级数系数。求其傅里叶级数系数。)(tg1t01t1t设设由时域微分性质有由时域微分性质有0kkbjk c由例由例1知知1/kat根据时移特性，有根据时移特性，有0 10 10 12sinjktjktkkkbaeejakt0 10 11000 12sinsin2kkbktkttcjkkttkt02/t0k 考察成谐波关系的复指数信号集考察成谐波关系的复指数信号集: : 该信号集中每一个信号都以该信号集中每一个信号都以 为周期，为周期，且该集合中只有且该集合中只有 个信号是彼此独立

28、的。个信号是彼此独立的。 fourier series representation of discrete-time periodic signalsn一一. .离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数（dfs） discrete-time fourier seriesn3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间周期信号的傅里叶级数表示 将这将这n n个独立的信号线性组合起来，一定个独立的信号线性组合起来，一定能表示一个以能表示一个以n n为周期的序列。即：为周期的序列。即：其中其中k k为为n n个相连的整数个相连的整数这个级数就称为这个级数就称为离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数(

29、(dfs)，其中其中a ak k也称为周期信号也称为周期信号xnxn 的频谱。的频谱。二二. . 傅里叶级数系数的确定傅里叶级数系数的确定给给 两边同乘以两边同乘以 ，得，得2jrnne显然显然 仍是以仍是以 为周期的为周期的n而而 rknrkeeeenrkjrkjnnnrkjnnnrkjnn011/2)(2)(10)()(22 显然上式满足显然上式满足 即即 也是以也是以 为为周期的，或者说周期的，或者说 中只有中只有 个是独立的个是独立的。即即或或knkaakaka对实信号同样有对实信号同样有：kkaakkaarerekkaaimimkkaa nn离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数设有设

30、有周期为周期为n的的离散时间离散时间xn，那么定义：，那么定义：nnnknjkenxna/21nknknjkeanx/2kdfsnxa 记为：定义的合理性说明，在下式中带入定义的合理性说明，在下式中带入xn ：10/ )(211010/210/2110/2/2nxemxeemxeaeanknmnkjnnmnknknjnmnkmjnnknknjknknknjk例例1 1：考虑信号：考虑信号nnx52sin555221kkkn)(njnjeejnx525221基波周期基波周期0212111kakjaja，其余， 的频谱图的频谱图三三. .周期性方波序列的频谱周期性方波序列的频谱112121()()

31、221jkjknjknnnnjkjkjknnneeeneee211112(1)22111jknnjnknnjknnkjknnneeaenne121knankrn 显然显然 的包络具有的包络具有 的形状。的形状。kasinsinxx时时1sin(21)1sinknnnkn0, 2 ,knnu 当当 不变、不变、 时，频谱的时，频谱的包络形状不变包络形状不变，只是只是幅度减小，谱线间隔变小幅度减小，谱线间隔变小。u 当当 改变、改变、 不变时，由于不变时，由于 的包络具的包络具有有 的形状，而的形状，而 ，可知其包络可知其包络形状一定形状一定发生变化。当发生变化。当 时，包络的第一时，包络的第一个

32、零点会远离个零点会远离原点从而使原点从而使频谱主瓣变宽频谱主瓣变宽。这。这一点也与连续时间周期矩形一点也与连续时间周期矩形脉冲的情况类似。脉冲的情况类似。1n1nnn kasinsinxx121n1n kkk1220nn1110nn1210nn周期性方波序列的频谱周期性方波序列的频谱四四. . dfs的收敛的收敛 dfs 是一个有限项的级数，确定是一个有限项的级数，确定 的关系式也是有限项的和式，因而的关系式也是有限项的和式，因而不存在不存在收敛问题收敛问题，也不会产生，也不会产生gibbs现象现象。ka 周期序列的频谱也具有周期序列的频谱也具有离散性、谐波性离散性、谐波性，当在当在 区间考查

33、时区间考查时，也具有也具有收敛性收敛性。不同的是，离散时间周期信号的频谱具有不同的是，离散时间周期信号的频谱具有周周期性期性。 1. 相乘相乘 2. 差分差分周期卷积周期卷积properties of discrete-time fourier series 3.7 dfs的性质的性质dfs有许多性质，这里只选几个加以讨论。有许多性质，这里只选几个加以讨论。3. 时域内插时域内插若若 以以n为周期，为周期，则则 以以mn为周期。为周期。令令令令 ,则有则有nrm时时0 nmn0 rn4. paseval定理定理左边是信号在一个周期内的平均功率，右左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是信号的各

34、次谐波的总功率。边是信号的各次谐波的总功率。上式表明：上式表明：一个周期信号的平均功率等于它一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的功率之和。的所有谐波分量的功率之和。也表明：也表明：周期周期信号的功率既可以由时域求得，也可以由频信号的功率既可以由时域求得，也可以由频域求得。域求得。3.8 傅里叶级数与傅里叶级数与lti系统系统复指数函数是复指数函数是lti的特征函数的特征函数与与x(t)=est和和xn=zn相应的特征值分别为：相应的特征值分别为：其中其中h(t)和和hn分别是连续时间和离散时间分别是连续时间和离散时间lti系系统的单位冲激相应。统的单位冲激相应。如果上面的如果上面的s和和z是一般的复数变量，则有是一般的复数变量，则有h(s)和和h(z)分别称为分别称为系统函数。系统函数。kkszkhzhdehsh)()()(如果如果 s=j和和 z=ej,系统函数系统函数h(j)和和h(ej)就称为频