2020届高三文理科数学一轮复习《函数的单调性和最值》专题汇编(教师版)

1、函数的单调性与最值专题一、相关知识点1. 函数的单调性(1) 增、减函数增函数减函数疋义在函数y= f(x)的疋义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1, x2 A当 X1< X2 时，都有 f(X1) V f(X2),那么, 就称函数y = f(x)在区间A上是增加的， 有时也称函数y= f(x)在区间A上是递 增的当X1 V X2时，都有f(X1 ) > f(X2),那么，就 称函数y = f(x)在区间A上是减少的，有时 也称函数y = f(x)在区间A上是递减的(2)单调区间和函数的单调性如果函数y= f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间.如果函数y

2、= f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y= f(x)在这个子集上具有单调性.(3)单调函数如果函数y= f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数.2. 函数的最值前提函数y= f(x)的定义域为D条件(1)存在 xo D ,使得 f(Xp)= M ;(1)存在 xo D ,使得 f(Xo) = M ;对于任意x D,都有f(x) M对于任意X D ,都有f(x) M结论M为最大值M为最小值求函数最值的五种常用方法及其思路(1) 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2) 图像法：先作出函数的图像，再观察其

3、最高点、最低点，求出最值.(3) 基本不等式法：先对解析式变形，具备一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4) 导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.3. 函数单调性常用结论f(xi V f(X2 )(1)对任意xi, X2 D(x X2),> 0? f(x)在D上是增函数,X1 X2X1 x2D上是减函数.a对勾函数y= x + -(a>0)的增区间为(, a和,a, + ° ),X减区间为a, 0)和(0, a.在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个

4、减函数的和仍是减函数.复合函数f(g(x)的单调性与函数 y= f(u)和U= g(x)的单调性的关系是"同增异减 ”题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间1 .函数f(x) = |x 2|x的单调递减区间是()A . 1,2 B. 1,0 C . 0,2D . 2 , + )答案 Af(x 2 x，x 2,解析：f(x)= |x 2x=作出此函数的图象如下.I 2 xx, x<2.观察图象可知，f(x)= |x 2|x的单调递减区间是1,2.2. 已知函数f(x)= x1 ×2x 一 3x+ 1 所以y= 3在4. 函数y= Iogl |x 3|的单调递减区

5、间是2答案 (3, + ) 2x 3,则该函数的递增区间为()A . ( ,1B . 3 , + ) C. ( , 1D. 1 , + )-5 -解析：选 B 设 t = x2 2x 3,由 t0,即 x2 2x 30,解得 x 1 或 x3.所以函数的定义域为(一, 1 3 , + ).2因为函数t = X 2x 3的图像的对称轴为 X= 1,所以函数t在(, 1上递减，在3,+ )上递增.所以函数f(x)的递增区间为3 , + ).1 2x2 3x+ 13 .,43. 函数y= 1的单调递增区间为A . (1 ,+ ) B.C.| ,+解析：选 B 令 = 2x2 3x+ 1 = 2 x

6、4 2；,因为= 2 x 4 2 1在单调递减，函数y =在R上单调递减.3单调递增.解析：令U=Ix 3|,则在(, 3)上U为X的减函数，在(3,+)上U为X的增函数.1又<2<1, y = log 1 U是减函数，.在区间(3,+ )上, y为X的减函数.25. 若函数f(x)= ax + 1在R上递减，则函数 g(x)= a(x2 4x+ 3)的增区间是()A . (2,+ ) B. ( , 2) C. (4,+ ) D . ( , 4)解析：选B ,因为函数f(x) = ax+ 1在R上递减，所以a<0,所以 g(x)= a(x2 4x+ 3) = a(x 2)2

7、1的增区间是(一, 2).1, x>0,6. 设函数f(x)=i0, X= O, g(x) = x2f(x 1),则函数g(x)的递减区间是 L 1, x<0,2 .X , x>1 ,解析：由题意知g(x)= 0, X= 1 ,函数图象如图所示，其递减区间是0, 1).x2, x<1.命题点2讨论函数的单调性)2D. y= 3x1. 下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(1 A . y= |x| B. y = 3 XC. y = 解析：选A y=|x|在(0,1)上是增函数,1 2y = 3 x, y = , y= 3x在(0,1)上都是减函数. X2. 下列四个

8、函数中，在(0, + )上为增函数的是()2 1A . f(x)= 3 X B . f(x)= X 3x C. f(x) =1 D. f(x) = X|X I 1解析：选C.对于A ,当x>0时，f(x)= 3 X为减函数; 对于B,当x 0, 3时，f(x)= X2 3x为减函数， 当x ；,+ 时，f(x)= X2 3x为增函数；1对于C,当x (0, +)时，f(x)=为增函数；x+ 1对于D ,当x (0, + )时，f(x) = |x|为减函数.3. 已知f(x)在R上是减函数，a, b R且a+ b 0 ,则下列结论正确的是()A . f(a)+ f(b) f(a)+ f(b

9、)B. f(a)+ f(b) f( a)+ f( b)C. f(a)+ f(b) f(a)+ f(b)D. f(a)+ f(b)f( a) + f( b)解析：选Da+ b 0可转化为a b或b a,由于函数f(x)在R上是减函数,所以 f(a)f( b), f(b)f( a),两式相加得 f(a)+ f(b)f( a) + f( b).ax4.试讨论函数f(x) = (a 0)在(一1,1)上的单调性.X 1X 1 + 1 解：解法一：设1<X1<X2<1, f(x)= a = ax 11+X 1 ,则 f(x) f(x2) = a1 +1 a、X1 1.；1+ =a(x2

10、x1)、X2 1J (X1 1'(X2 1 )由于一1<X1<X2<1 ,所以 X2 X1>0 , Xl 1<0 , X2 1<0,故当 a>0 时，f(X1) f(x2)>0 ,即 f(x1)>f(X2),函数 f(X)在(1,1)上单调递减;当a<0时,f(X1) f(X2)<0 ,即 f(X1)<f(X2),函数 f(X)在 ( 1,1)上单调递增.(ax ' (x 1 ax(x 1 'a(x 1 厂 ax(X)=. 2=2(X 1)/ 2(x1)aJ2(X 1)当a>0时,f'

11、(X)<0 ,函数f(X)在(1,1)上单调递减;当a<0时,(x)>0,函数f(X)在(1,1)上单调递增.1 15.已知函数 f(x)= ? X(a>0 , x>0).(1)求证：f(x)在(0 , + )上是增函数;若f(x)在2, 2上的值域是求a的值.解：(1)证明：任取x1 >x2>0,则 f(X1) f(X2) = 1 丄1+ 1= ,aX1a X2X1X2TX1>X2>0,.X1- X2>0 , X1X2>0 , f(XI) f(X2)>0 ,即 f(X1)> f(X2),f(x)在(0 , + )上

12、是增函数.增函数， f 2 =1由(1)可知，f(x)在1 ,2 = 1 , f(2) = a 1= 2,解得2 a=5.6.已知定义在区间(0 , + )上的函数f(x)满足f(X1) f(X2),且当 x>1 时,f(x)>0.判断f(x)的单调性.X1解：设 X1>X2>0 ,则 7>1, T 当 x>1 时，f(x)>O ,f(X1) f(X2)=X2f(X1)>f(X2) , 函数f(x)在区间(0 , + )上为增函数.Il X1 -If(x)<0.7. 已知定义在区间(0 , + )上的函数f(x)满足f疡=f(XI) f(X

13、2),且当x>1时, (1)证明：f(x)为单调递减函数；若f(3) = 1,求f(x)在2,9上的最小值所以f X2 <0解析：证明：任取Xi, X2 (0 , + ),且X1>X2 ,则一>1,由于当x>1时，f(x)<O, ,即 f(xi)- f(X2)<0 ,因此 f(Xi)<f(X2),所以函数f(X)在区间(0, + )上是单调递减函数.解：因为f(X)在(0,+ )上是单调递减函数，所以f(X)在2,9上的最小值为f(9).由 磴y f(Xi)- f(X2)得，fg I= f(9) - f(3),而 f(3) = - 1,所以 f(

14、9) = - 2.所以f(X)在2,9上的最小值为一2.&已知定义在 R上的函数f(x)满足：f(X+ y)= f(X)+ f(y)+ 1 ,当x>0时，f(x)> 1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数.若f(1) = 1 ,解关于X的不等式f(x2+ 2X)+ f(1 - x)>4.解：令 X= y= 0 得 f(0) = - 1在 R 上任取 X1>X2,贝V X1 X2>0, f(X1- X2)> 1.又 f(X1 ) = f(X1 - X2)+ X2)= f(X1 - X2)+ f(X2)+ 1>f(X2),所以，

15、函数f(x)在R上是单调增函数.2 2由 f(1) = 1 ,得 f(2) = 3, f(3) = 5由 f(x + 2x)+ f(1 x)>4 得 f(x + x+ 1)>f(3),又函数f(x)在 R上是增函数，故 X2 + x+ 1>3 ,解得x< 2或x>1 ,故原不等式的解集为xx<- 2 ,或x>1.题型二函数的最值1. 函数f(x) = 2 X2, x 1,2的最大值为 ,最小值为 .解析：f(x)= 2-X2在1,0上是增函数，在0,2上是减函数，f(- 1)= 1 , f(0) = 2, f(2) = - 2,所以最大值为2 ,最小值

16、为-2.2. 函数f(x) = GTog2(x+ 2)在区间1,1上的最大值为 .解析：函数f(x)在区间1,1上是减函数，贝U f(x)max= f(- 1) = 3- log21 = 3.3x- 13函数 f(x) =, X -5, - 3的值域为 .X I 2解析：f(x)= =3- 7 ,则函数f(x)在区间5,- 3上是增加的.X + 2x+ 2x + 2所以 f(x) max= f( 3) = 3 10,f(x)min = f( 5) = 3 5+ 2163 .161因此函数f()的值域为"3", 10 .4. 函数f(x) = x+ "在一2, 3上

17、的最大值是()3 8A. 2 B. 3 C . 2 D . 21 一们13解析：因为函数f(x)= x+ X在 2, 3 _上是减函数，所以f(x)max= f( 2) = 2 = 25. 函数 f(x) = log 2(3x+ 1)的值域为()A . (0,+ ) B . 0,+ )C. (1 , + ) D . 1 , + )解析：由3x> 0,知3x+ 1> 1 ,故log2(3x+ 1) > 0,所以函数的值域为(0, +).6. 函数y = x寸x 1的最小值为.解析:令 t =x 1,则 t 0 且 X= t2+ 1,2 C 1 313所以 y= t + 1 t

18、= t 2 + 4 , t 0,所以当 t= 2时，ymin= 4.7.函数y=2x2 2x+ 3x2 x+ 1的值域为解析:y=22x 2x+ 32X x+ 122 X x+ 1 + 112 = 2+ 2 ,X x+ 1X x+12由 x R 得 X x+ 1 ="3,+,所以12 X x+ 1-15 -/J设函数 f(x)= x+ 3, g(x)= log2x,2x 2x + 3所以y=2的值域是X x+ 1a, a b, & 对于任意实数 a, b,定义min a, b=b, a>b.则函数h(x) = min f(x), g(x)的最大值是 .解析：解法一：在同

19、一坐标系中，作函数 f(x), g(x)的图象, 依题意，h(x)的图象如图所示.易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2) = 1.log2x, 0<x 2, 解法二：依题意，h(x)=当0<x 2时，h(x)= log2x是增函数,x+ 3, x>2.当x>2时，h(x)= 3 X是减函数，所以h(x)在X= 2时取得最大值h(2) = 1.9.已知函数f(x)= X3+ x a(a>O)的最小值为8,则实数a=()A. 1B. 2C. 4D. 8解析：选B.由x a0,得xa,故函数的定义域为a,+).因为函数f(x)在a, + )上单

20、调递增，所以f(x)min = f(a) = a3= 8,解得a= 2故选B.题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小1 11. 已知 f(x)= 2x 2 X, a= 9, b = 9, C= log27,则 f(a), f(b), f(c)的大小为(A. f(b)<f(a)<f(c) B. f(c)<f(b)<f(a) C. f(c)<f(a)<f(b) D. f(b)<f(c)<f(a)1 1 1解析：选 B; a = 74 = 7 4 > 75 >1, C = Iog2；<0,所以 c<b<a.因为 f

21、(x) = 2x 2X= 2x 1 X 在 R 上单调递增，所以 f(c)<f(b)<f(a).2. 已知函数 y= f(x)是 R 上的偶函数，当X1, X2 (0, + ), X1 X2时，都有(X1 X2)f(x1)12厂f(x2)<0.设 a= In , b= (In,) C= In Qn 则()A. f(a)>f(b)>f(c) B. f(b)>f(a)>f(c) C. f(c)>f(a)>f(b) D. f(c)>f(b)>f(a) 解析：选 C;由题意可知 f(x)在(0, +)上是减函数，且 f(a) = f(|

22、a|), f(b) = f(|b|), f(c)= f(|c|), 211又Ial= In ,>b= (In >a, c= n,且 0<尹a< 故b>a>c>O,f(c)>f(a)>f(b), 即 f(c)>f(a)>f(b).3.设偶函数f(x)的定义域为R,当 x 0,+ )时，f(x)是增函数，则 f( 2), f( , f( 3)的大小关系是()A . f( nf( 3) > f( 2)C . f( f( 3)< f( 2)B . f( >f( 2)>f( 3)D . f( <f( 2)&l

23、t; f( 3)解析：选A ;因为f(x)是偶函数，所以f( 3) = f(3), f( 2) = f(2).又因为函数f(x)在0,+)上是增函数，所以f(>f(3)>f(2),lP f( >f( 3)>f( 2).命题点2解函数不等式1.已知函数f(x) =1,A . (0,2 1)解析：选D ,作出函数X+1, x0,则不等式x<0,B . ( 1,2 + 1)f(x)的图象如图所示.f(1C.2 IX )>f(2x)的X的取值范围是()(0,2+ 1) D. ( 1 , . 2 1)22 - x>0，2 1 X >0 , J则不等式f(1

24、 X )>f(2x)等价于丿或 2x>0,2X 0IIl-2>2x,解得一1<x< 2 1.2. 已知函数f(x)= lnx+ X,若f(a2- a)>f(a + 3),则正数a的取值范围是 .解析： 函数f(x)= In X + X的定义域为(0,+ ),且为单调递增函数，2CIa - a>0,f(a2-a)>f(a + 3)同解于 a+ 3>0 ,解得a>3. 所以a的取值范围是(3, + ).2 .a a>a+ 3,命题点3求参数的取值范围1. 若函数f(x)=2x+ a的递增区间是3, + ),贝U a =.2x + a

25、, x-1,解析：f(x) = 2x+ a=Ca2x a, XV 2.函数的递增区间为aI a2, + 卜 2 = 3, a=- 6.b0 ,4.)2. 已知函数f(x)= 2a2+ 4(a 3)x + 5在区间(一, 3)上是减函数，则a的取值范围是()A. 0, 4解析：当a= 0时，f(x) = 12x+ 5,在(, 3)上是减函数;a>03 3当a 0时，由i 4 a 3,得0<a .综上，a的取值范围是 0 a . 344I 4a2k+ 13. 函数y=在(0 , + )上是增函数，贝y k的取值范围是 .X2k+1I解析：因为函数y=在(0 , + )上是增函数，所以

26、2k+ 1<0 ,解得k<-1.X2a 3x , x 0 ,一一4. 设函数f(x)=若函数f(x)有最小值，贝U实数a的取值范围是()2x+ 1 , x>0 ,A . (- , 2 B . (- , 2) C. (1,2 D. 2 , + )解析：当x 0时，f(x) = a 3x单调递减，其最小值为f(0) = a 1,当x>0时，f(x) = 2x+ 1单调递增，f(x)>1 ,无最小值，要使函数f(x)在 R上有最小值，贝U必有a 1 1,即a 2.5. 函数y= log a(2 ax)在区间0,1上是减函数，贝Ua的取值范围是()A . (0,1) B.

27、 (0,2) C. (1,2) D. (2, + )解析：题中隐含a>0,2 ax在区间0,1上是减函数.a>1,y= IogaU应为增函数，且 U= 2 ax在区间0,1上应恒大于零，1<a<2.1.2 a>0,6. 已知函数f(x)=f 3严6 X 1,对于任意X1X2都有f(x1 )-f(x2 <0成立，则实数apa log ax, x>1 ,X1 x2的取值范围是()A . (1,3B. (1,3)C. (1,2D . (1,2)f(x1 fX2 解析：根据题意，由<0,易知函数f(x)为R上的单调递减函数,X1 x2Ia - 3<

28、0,则a>1,解得1<a 2故选C.I a 3 + 5 2a,P x2+ 4x, x 4,7. 设函数f(x)= 若函数y= f(x)在区间(a, a+log 2x, x>4.1)上单调递增，则实数 a的取值范围是 .解析:作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a, a+ 1)上单调递增，需满足 a 4或a+ 1 2 ,即a 1或a 4.X1 X2 都有(X1 X2)f(X2) f(X1)>0 成立,3 (a 3) x+ 2, x 1,&已知函数f(X)= La In x, x>1对任意的则实数a的取值范围是()A . ( , 3 B. ( , 3)C. (3,+ ) D. 1 , 3)解析：由(Xl X2)f(X2) f(X1)>0 ,得(X1 X2) f(X1) f(X2)&l