第二章2.4.1抛物线及其标准方程

1、 2. 4.1抛物线及其标准方程 【学习目标】1掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念2掌握抛物线的标准方程及其推导.3. 明确抛物线标准方程中P的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题. 问题导学 知识点一抛物线的定义 思考到立点的距离与到泄直线的距离相等的点的轨迹是什么？ 答案抛物线. 梳理（1）平面内与一个左点F和一条定直线1（1不经过点F）距离逍的点的轨迹叫做抛物 线.点F叫做抛物线的焦点,直线/叫做抛物线的准线. （2）泄义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M： 个泄点F（抛物线的焦点）；一 条左直线（抛物线的准线）：一个泄值（即点M到点F的距离与它到泄直线/的距离之比等于

2、1 : 1）. 知识点二抛物线的标准方程 思考抛物线标准方程有何特点？ 答案 点在抛物线上；（2）对称轴为坐标轴：“为大于0的常数，苴几何意义表示焦点到 准线的距离；（4）准线与对称轴垂直， 垂足与焦点关于原点对称：（5）焦点、 准线到原点的距离 都等于纟 梳理 一条抛物线，由于它在平而内的位置不同，所以方程也就不同，故抛物线的标准方程 有以卜几种形式：y2=2pA（p0）,2/?X（/90）, x2=2/?y（/?0）, JT= 2py（/）0） 现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下： 图象 标准方程 焦点坐标 准线方程 I K 打=2/?x(p0) 6, 0)

3、x=2 k F )0) (-纟，0) x=2 _ L V K1 x2=2/?y(/?0) (0, f) y=l 密型探究 x2= 2py(j0) (0, -f) 类型一抛物线定义理解及应用 例1 (1)动点M的坐标满足方程5?+y = I3A-4-4v 121,则动点M的轨迹是() A. 椭圆B.双曲线 C.抛物线D.以上都不对 (2)已知点P(x, y)在以原点为圆心的单位圆/+护=1上运动，则点0(x+y,卩)的轨迹所在 的曲线是 _ (在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答). 答案(DC (2)抛物线 ( _ _ I3r+4v121 解析(1)把方程 5y/x2-l-)2=I3x+4

4、y 121 转化为 yjx2i = , 设动点上式可看作动点M到原点的距离等于动点M到直线3A+4V-12=0的距离， 所以动点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3A+4V-12=0为准线的抛物线. (2)设动点 Q(xf , y),则有 x =x+y,y =xyt 又有 x2+y2=l,即(x+y)22xy=t 所以 x 22， =1,故0(x+y, xy)的轨迹所在的曲线是抛物线. 反思与感悟拋物线的判斷方法 (1) 可以看动点是否符合抛物线的定狡，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离. (2) 求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程. 跟踪训练1平而上动点P到立点F(10

5、)的距离比点P到y轴的距离大L求动点P的轨迹 方程. 解方法一设点P的坐标为(儿y), 则有 p(xl)2+y2 = HI+l, 两边平方并化简得护=5+21x1. 4x, XMO, 0, .v0. 方法二 由题意，动点P到定点F(1.0)的距离比到y轴的距离大1, 由于点F(l,0)到y轴的距离为1, 故当x0)且孑=一3, =6,抛物线的方程为V2 = -12A (2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=2/zx(/0)M(/n, 3),由抛物线定义得5 = LV1 又(一3)2=2，/p=l 或 p= 9, 故所求抛物线方程为y2=lx或y2= 18x. 反思与感悟 抛物线标准方程的

6、求法 定狡法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定艾列出动点满足的条件，列出方程，进行化简, 根据定狡求出厂最后写出标准方程.即点P的轨迹方程为尸= 4x, AO, .0, x0. 故所求动点P的轨迹方程为尸= 4x, 0, A 0, x0), 则焦点仝0),由题意， 卩=4, m=2y/6. 或 故所求的抛物线方程为r=-8x, m=2y/6 抛物线的焦点坐标为(一2,0),准线方程为x=2. 类型三抛物线的实际运用 例3 种卫星接收天线的轴截而如图所示，卫星波束呈近似平行状态 射入轴截而为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天 线的口径(直径)为4.8 m,深度为0.5 m,试建立适当

7、的坐标系，求抛物 线的标准方程和焦点坐标. 解 如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立宜角坐标系，使接收 天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合. 设抛物线的标准方程为=2px(p0), 由已知条件可得， 点A的坐标是(0.5,2.4), 代入方程， 得 2.42=2pX0.5, 即 p=5.76. 所以所求抛物线的标准方程是y2=11.52r, 焦点坐标是(2.88.0). 反思与感悟把实际问题转化为数学问题，利用抛物线的知识来解决实际问题.在建立拋物 线的标准方程吋，常以拋物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可 使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项

8、，形式更为简单，便于应 用. 跟踪训练3喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最髙点B髙5 im且与 OA所在的直线相距4 m,水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？ 2焦点在直线x=l上的抛物线的标准方程是() A =2x B x2=4y C. y2=4x D. y2=4x 答案D 解析 由焦点在直线x=l上，故焦点坐标为(1.0), 抛物线开口向右且马=1, “=2, 方 程为 y=2px=4x. 3已知抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为() A. W=-28y C =-28.v 答案B 解析 抛物线开口向右，方程为y2=2px(p0)的形式

9、，又$=7,所以2”=28,方程为)必=28工 4. _过(2,4)点，顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线的标准方程为 _ . 答案W=y 解析 由已知可设抛物线方程为A-2=V代入点(2,4) 得4=4加， 故方程为工=),. 5抛物线，=42上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是 _ 姣案 d 5 16 解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为F = -2py(p0), 因为点C(5, 5)在抛物线上，所以25 = 2卩(一5),因此2p=5,所 以抛物线的方程为”=一5)，点A(-4,血)在抛物线上， 所以 16= 5y(),即 yo= 一学， 所以OA的长为5y=

10、 1.8(m). 所以管柱OA的长为l8m 当堂训练 1. 抛物线y=2F的焦点坐标是() A. (1,0) B.(0, 答案D 解析 由y=2x2,得=芬，所以P B.尸=28x D ”=28y 解析 抛物线方程化为=卜，准线为，=一令，由于点M到焦点的距离为1,所以M到准 线的距离也为1,所以M点的纵坐标等于1 一=曙. | - 规律与方法 - ) (1) 焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y1 2 3=mx(mO)，此时焦点为F(% 0),准 线方程为尸一牛 焦点在y轴上的抛物线，英标准方程可以统设为以=巧(加工0),此时焦点 为 F(0,等),准线方程为)=一牛 (2) 设M是

11、抛物线上一点，焦点为F,则线段MF叫做抛物线的焦半径.若M(M),內)在抛物 线)=2px(p0)上，则根据抛物线的立义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以 相互转化，所以焦半径IMFI=K+ 对于抛物线上的点，利用泄义可以把英到焦点的距离转化为准线的距离，也可以把英到准 线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题. 40分钟课时作业 强化训练拓展提升 故方程为护=8斗 = 一8. 一、选择题 2 对抛物线y=4W,下列描述正确的是() A. 开口向上，焦点为(0,1) B. 开口向上，焦点为(0，寻) C. 开口向右，焦点为(1.0) D. 开口向右，焦点为(0,召丿

12、 答案B 解析 由y=4.2得尤2=“，开口向上，焦点坐标为(0,召). 3 若抛物线尸=心的焦点与椭圆+号=1的左焦点重合，则“的值为() A. -4 B. 2 C. -8 D. 4 答案C 解析由椭圆可知左焦点坐标为(-2.0), 抛物线开口向左且後=2,p=4, 3. 已知抛物线尸=2刃90)的准线与圆(X3)2+2=16相切，则“的值为() A.* B. 1 C. 2 D. 4 答案C 解析 抛物线y=2px的准线方程为x=纟 它与圆相切，所以必有3( )=4, “=2. 4. 在同一坐标系中，方程trx2+Z?y=l与血+少=0(%0)的曲线大致是() 答案D 解析亦+狞=1,可化为

13、+琴=1, 因为“b0,所以0)的准线经过点(-1.1),则该抛物线焦点坐标为() A. (-L0) B. (1,0) C. (0, -1) D. (0,1) 答案B 解析 抛物线尸=2网0)的准线方程为尸一与 由题设知一 即p=2、故焦点坐 标为(1，0).故选B. 二、填空题 7. 以坐标原点为顶点，(一 1,0)为焦点的抛物线的方程为 _ 答案护=一铁 解析由题意可设抛物线的方程为f=-2p.x(p0)t 则有一=-1,得卩=2, 所以抛物线的方程为y2=-4x. &以双曲线召一 =1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 _ 答案尸=1& 解析双曲线的方程为召一 =1， 右

14、顶点为(4,0). 设抛物线的标准方程为尸=2宀0), 则$=4,即”=&抛物线的标准方程为护=1&. 9.已知抛物线=2x上一点P(也2),则,点P到抛物线的焦点F的距离为 答案2 | 解析 将伽,2)代入抛物线中得4=2z”， 得 m=2, 由抛物线的定义可知点P到抛物线的焦点F的距离为2+|=|. 10 已知抛物线尸=4丫上有一条长为6的动弦AB,则初的中点到y轴的最短距离是 答案2 解析 设AB中点为M,准线为x=-l, 焦点F(l,0),过M作准线的垂线MN, 作AC垂直准线于C, 3D垂直准线于D, 由拋物线的性质:AC=AF9 BD=BF, AF+BF2AB, 当

15、AB过F点时， 满足 所以，MN2丁，又 AB=69 所以、MNP3、设M到y轴的距离为d,显然有:d=MNl,所以，心 2、 即AB中点M到y轴最短距离为2.则: MN= 所以MN= AF+BF 2 三、解答题 11已知抛物线的顶点在原点，它的准线过缶一話=1的一个焦点，而且与X轴垂直.又抛物 线与此双曲线交于点G，前)，求抛物线和双曲线的方程. 解因为交点在第一象限，牠物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程 为y2=2px(p0),将点(号，&)代入方程得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.准线方程为A= 1,由此知道双曲线方程中c=l,焦点为(一1,0), (1,

16、0),点(|, &)到两焦点距离之差加=1, 所以双曲线的标准方程为=1. 4 4 12.某河上有一座抛物线形的拱桥，当水而距拱顶5米时，水面宽8 _ L _ 米.一木船宽4米，髙2米，载货的木船铮在水面上的部分为0.75米， _ 二 _ 当水而上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航? 解 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系 / (如图) 设抛物线的方程是/ =一2py(p0), 由題意知(4, 一5)在抛物线上， 故：16= 2/?X(5), Q 所以p=, 则抛物线的方程是 x2=号(4 xW4), 设水面上涨，木船两侧面与抛物线拱桥接触于B,刃时，木船开始不能通航， 设 B(2, )， 所以 22=学$， =_ 即水面与拱顶相距为0.75+壬=2(米)， 故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2米时，木船不能通航. 13.已知抛物线C的顶点在原点， 焦点F在x轴的正半轴上， 设A, B是抛物线C上的两个 动点(AB不垂直于x轴)，且L4FI + IBFI=8,线段AB的垂直平分线恒经过点0(6.0),求抛物线 的方程. 解 设抛物线