球的体积和表面积推导过程实用教案

1、学习(xux)目标 1、了解球体(qit)的体积公式和表面积公式的推导过程. 2、掌握球体(qit)的体积公式和表面积公式。第1页/共14页第一页，共14页。R3324:,.33VRVR半半球球猜猜测测从从而而?V 半半球球313VR 圆圆锥锥333VR 圆圆柱柱高等于底面半径高等于底面半径(bnjng)的旋转体体积对比的旋转体体积对比球的体积球的体积(tj)第2页/共14页第二页，共14页。 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来(q li)所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法 我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是.RR 和和 的的

2、矩矩形形2.R 那那么么圆圆的的面面积积就就近近似似等等于于第3页/共14页第三页，共14页。当所分份数不断增加时，精确(jngqu)(jngqu)程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式下下面面我我们们就就运运用用上上述述方方法法导导出出球球的的体体积积公公式式即先把半球分割成n n部分，再求出每一部分的近似(jn s)(jn s)体积，并将这些近似(jn s)(jn s)值相加，得出半球的近似(jn s)(jn s)体积，最后考虑n n变为无穷大的情形，由半球的近似(jn s)(jn s)体积推出准确体积分割(fng)求近似和化为准确和第4页/共14页第四页，共14页。问题问题

3、:已知球的半径已知球的半径(bnjng)为为R,用用R表示球表示球的体积的体积.21,rRR 222() ,RrRn2232() ,RrRnAOB2C2AO第5页/共14页第五页，共14页。OR(1)Rin i第第 层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的半半径径：22(1) ,1,2, .iRrRiinnirOA第6页/共14页第六页，共14页。32211() ,1,2,iiRRiVrinnnn 22(1) ,1,2,iRrRiinn12nVVVV 半半球球3222212(1)Rnnnn 321(1)(21)6Rnnnnnn 321(1)(21)16nnRn 第7页/共14页第七页，共14页。3

4、11(1)(2)16nnVR 半半球球1,0.nn 当当时时3324.33VRVR半半球球 从从而而343VRR 定定理理：半半径径是是 的的球球的的体体积积为为：第8页/共14页第八页，共14页。若每小块表面看作(kn zu)一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.球的表面(biomin)是曲面,不是平面,但如果将表面(biomin)平均分割成n个小块,每小块表面(biomin)可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面(biomin)积.当n趋近于无穷大时

5、,这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面(biomin)积. 球面不能展开成平面(pngmin)图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式球的表面积球的表面积第9页/共14页第九页，共14页。第一步：分割第一步：分割(fng)(fng)球面被分割球面被分割(fng)成成n个网格，表面积分个网格，表面积分别为：别为：123,nSSSS，则球的表面积：则球的表面积：123nSSSSS 则球的体积则球

6、的体积(tj)(tj)为：为：iV 设设“小小锥锥体体”的的体体积积为为iV123nVVVVV iSO OO O第10页/共14页第十页，共14页。第二步：求近似第二步：求近似(jn s)(jn s)和和ih 由第一步得：由第一步得：123nVVVVV 11223311113333nnVShShShSh13iiiVShO OiS iV O O第11页/共14页第十一页，共14页。第三步：化为准确第三步：化为准确(zhnqu)(zhnqu)和和13iiVS R 如果如果(rgu)(rgu)网格分的越细网格分的越细, ,则则: : “小锥体小锥体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥2311113333inVS RS RS RS R2311(.)33inRSSSSRS 343VR 又又球球的的体体积积为为：RiS O OiV 23441,33RRSSR 从从而而ihR 的的值值就就趋趋向向于于球球的的半半径径ih O OiS iV 第12页/共14页第十二页，共14页。1. 球的表面积球的表面积设球的半径设球的半径(bnjng)为为R, 则球的表面积则球的表面积S_ .2. 球的体积球的体积设球的半径