球面距离实用实用教案实用教案

1、 平面(pngmin)上两点间的最短距离是连 结这两点的线段的长度，而球的表面(biomin)(biomin)是曲面，球面上P P 、Q Q 两点间的最短距离显然不是线段PQPQ的长度，那是什么呢？ 第1页/共23页第一页，共23页。 假如你要乘坐从上海直飞好莱坞的飞机, 设想一下,它需要沿着怎样的航线飞行呢?航程(hngchng)大约是多少呢? (1)在某一高度上，上海和好莱坞间的距离(jl) 是一条线段的长吗?(2)经过球面经过球面(qimin)上的这两点有多少条弧呢上的这两点有多少条弧呢? (3)这无数条弧长哪条最短?为了解决这个问题我们这节课就来研究一下地球上两点之间的最短距离（球面距

2、离）答：不是，是一段圆弧的长。答：无数条。第2页/共23页第二页，共23页。球面距离：球面上两点A、B之间的最短距离，就是经过A、B两点的大圆在这两点间的一段劣弧AB的长度，我们(w men)把这个弧长叫做两点的球面距离A AB BO一一. .定义定义(dngy)(dngy)球面(qimin)距离距离公式距离公式： （其中R为球半径， 为A,B所对应的球心角的弧度数 ）lRRR第3页/共23页第三页，共23页。球面(qimin)距离ABOA、B两点的球面两点的球面(qimin)距离：距离：过A、B两点的大圆在A、B间的劣弧(lih)长度。注意：注意：球面距离是球面上两球面距离是球面上两点间的最

3、短距离点间的最短距离 RA的弧长的弧长B)(弧弧度度制制若若设设球球心心角角 AOB第4页/共23页第四页，共23页。 经度PP点的经度，也是 或 的度数，即：某地点的经度就是经过这点(zh din)(zh din)的经线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴确定的半平面所成二面角的平面角的度数 A AO OB BO OA AB BP P地地轴轴赤赤 道道本本初初子子午午线线北北极极第5页/共23页第五页，共23页。ABO1O如图，AOBAOB的大小即为B B点所在(suzi)(suzi)的纬度。纬度(wid)B(wid)B点的纬度(wid)(wid)，即经过这点的球半径和赤道平面所成的角度 第

4、6页/共23页第六页，共23页。 例1、 我国首都北京靠近北纬40度，求北纬40度纬线的长度(chngd)（地球半径约是6370km)406370637040cos,AOOAAOO）（纬线的长度纬线的长度km306604063702cos OOA第7页/共23页第七页，共23页。例2、 已知地球(dqi)的半径为 6371km,上海的位置约为东经1210,北纬310，台北的位置约为东经1210,北纬250, 求两个城市间的距离。他们在同一个大圆上他们在同一个大圆上上，上，上海与台北在同一经线上海与台北在同一经线 OAB62531AOB3606637126371 的弧长的弧长ABr第8页/共23

5、页第八页，共23页。AOB例3、 已知地球的半径为 6371km,北京(bi jn)的位置约为东经1160,北纬400，纽约的位置约为西经740,北纬400, 求两个城市间的距离。1OCD1707411636040)(,CODBODAOC4063716371222222222cos,cos,cosODOCOBOAOBOAABOBOAAOBCODODOCODOCCDAB其中其中由余弦定理，得：由余弦定理，得：489916470.cosAOBAOB36099.4863712 的弧长的弧长AB第9页/共23页第九页，共23页。例、球面例、球面(qimin)上有三个点，其中任意两点的球面上有三个点，其

6、中任意两点的球面(qimin)距离都等于大圆周长的距离都等于大圆周长的 ，经过三个点的小圆，经过三个点的小圆的周长为的周长为 ，求这个球的半径。，求这个球的半径。61 4OABCO2可可知知小小圆圆的的半半径径为为设设球球的的半半径径为为,R的的外外接接圆圆的的圆圆心心为为为为球球心心，三三点点为为如如图图设设ABCO,CBAO32ABCAB为为正正三三角角形形且且可可知知362BOCAOCAOBCBA 的的球球面面距距离离两两两两相相等等，32ABR第10页/共23页第十页，共23页。1.位于同一经线(jngxin)上两点的球面距离例1. 求东经(dngjng)线上，纬度(wid)分别为北纬

7、和的两地A，B B的球面距离(设地球半径为设地球半径为R).386857赤道赤道AOB，根据A ，B B的球面距离为68又EOBEOA38 ,30lR6lR6R6R解解 EOBEOA,AOB二二. .应用举例应用举例第11页/共23页第十一页，共23页。NoImage例例2.已知地球半径为已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬两点均位于北纬45度线度线上，点上，点A在东经在东经30度，点度，点B在东经在东经120度。度。求求(1)在北纬在北纬45度圈上劣弧度圈上劣弧(lih) 的长度的长度; (2) 求经过求经过A、B两地的球面距离？两地的球面距离？OO1ABm2.位于同一纬线上两点的球面(q

8、imin)距离,90)1(11ROBBOOBOO 中，中，解：在解：在 .22,4511RBOOBO 纬线圈中纬线圈中 的长度为的长度为RR 4222.2 ABAB第12页/共23页第十二页，共23页。OO1ABm (2) 求经过求经过A、B两地球面两地球面(qimin)距离？距离？1ABO(2)在中，190 ,AO B,ABRAOB在中，AOOBABR60AOB3Rl .3R A、B两地的球面距离为两地的球面距离为第13页/共23页第十三页，共23页。O1.ABC2已知球 的半径是、 、 三点都在球面上，且每两点的球面距离都是，则球心到平面ABC的距离是_1326.,3336ABCD第14页

9、/共23页第十四页，共23页。2BC 2AC ，同理得：2AB AOB中，在直角三角形1OAOB又90AOBBOCAOC A 、 B B 、 C三点 2解: 每两点间的球面距离都为 为正三角形，AOB第15页/共23页第十五页，共23页。236323HBAB，在直角三角形BOH中2263,133OH1dCHOBA注：我们可以把球的问题转化成棱锥(或棱柱)问题来处理1dCHOBA第16页/共23页第十六页，共23页。3, ,AB1,2,33ABCA B CBCAC练习：已知在半径为的球面上，有三点，的两点之间的球面距离为，则球心到平面的距离是多少。第17页/共23页第十七页，共23页。解： A

10、、 C两点的球面(qimin)距离为333AOC3ACR又1AB ,2BC ,3AC ABC为直角三角形， A 、 B 、 C三点(sn din)共圆 球心(qixn)在平面AB BC内的射影一定在AC上，所以点O到平面AB BC的距离为OOH第18页/共23页第十八页，共23页。2221133322OOOAO A第19页/共23页第十九页，共23页。练习(linx)：球面上有3个点，其中(qzhng)任意两点的球面距离都等于大圆(d yun)周长的1,6经过3点的小圆的周长为4 ,那么这个球的半径为（ ）ABC D 4 32 323第20页/共23页第二十页，共23页。练习练习(linx)、把地球当作半径为、把地球当作半径为R的球，地球上的球，地球上A,B两点都在北纬两点都在北纬450的纬线上的纬线上,A,B两点的球面距两点的球面距离是离是 ，A在东经在东经200，求，求B点的位置点的位置R3OABCD603RAOBAB 的弧长的弧长RAB 为为正正三三角角形形AOBRcos45ODOCRABCDDC，中，中，在在O9002222CODODOCCDODOCCODcos110 的的位位置置可可能能是是：东东经经B70 西经西经,第21页/共23页第二十一页，共23页。三、小结(