全国卷1理科数学试题和答案

1、2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、 选择题：本题共 12小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 Ax x 1，B x 3x1，则（）A A B x x 0BABRC A B x x 1DA B【答案】 A2.如图，正方形ABCD 内

2、的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是（）A 11B C2D 484【答案】 B3. 设有下面四个命题（）p1 ：若复数 z 满足 1R ，则 zR ；zp2 ：若复数p3 ：若复数p4 ：若复数A p1 ，p3【答案】 B【解析】z 满足 z2R ，则 z R ；z1 ，z2 满足 z1z2R ，则 z1z2 ；z R ，则 z R B p1 ，p4C p2 ，p3D p2 ， p44.记 Sn 为等差数列an的前 n 项和，若 a4 a524 ，S648 ，则 an 的公差为（）A 1B

3、2C 4D 8【答案】 C5.函数 fx 在，单调递减， 且为奇函数 若 f11，则满足1f x 2 1 的x 的取值范围是（）A 2，2B 1，1C 0，4D 1，3【答案】 D1166.12x 展开式中 x2 的系数为xA 15B 20C 30D 35【答案】 C.7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2 ，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A 10B 12C 14D16【答案】 B8. 右面程序框图是为了求出满足nn的最小偶数n ，那么在和两32 1000个空白框中，可以分别填入A A

4、1000 和 nn1B A 1000和 nn2C A1000 和 nn1D A1000和 nn2【答案】 D【答案】 因为要求 A 大于 1000 时输出，且框图中在“否”时输出“”中不能输入 A 1000排除 A、B又要求 n 为偶数，且 n 初始值为0，“”中 n 依次加 2 可保证其为偶故选 D9. 已知曲线 C1 : ycos x ， C2 : y sin22 x，则下面结论正确的是（）3A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移12个单位长度

5、，得到曲线C2C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的1 倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移26个单位长度，得到曲线C2D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的2 倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2【答案】 D【解析】 10. 已知 F 为抛物线 C ： y24x 的交点，过 F 作两条互相垂直 l1 ， l2，直线 l1 与 C 交于 A 、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D ， E 两点， ABDE 的最小值为（）A 16B 14C 12D10【答案】 AA 2 x 3y 5 zB 5z 2x 3 yC 3y 5 z 2 xD 3【答案】 D【答案】

6、 取对数： xln 2y ln3ln5 .xln33yln 22 2 x 3yx ln2zln5xln55则zln 22 2 x 5z 3 y 2x 5 z ，故选 D11. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了 “解数学题获取软件激活码” 的活动， 这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16， ，其中第一项是 20，接下来的两项是20 ， 21 ，在接下来的三项式 26 ， 21 ， 22 ，依次类推，求满足如下条件的最小整数 N ： N100 且该

7、数列的前N 项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是（）A 440B 330C 220D110【答案】 A【解析】 设首项为第1 组，接下来两项为第2 组，再接下来三项为第3 组，以此类推设第 n 组的项数为 nn 1 n，则 n 组的项数和为2由题， N100 ，令 n 1n100 n 14且 nN* ，即 N 出现在第13 组之后2第 n 组的和为 12n2n112n 组总共的和为2 12nn2n2n12若要使前 N 项和为 2 的整数幂，则Nn 1n项的和 2k1应与 2n 互为相反2数即 2k1 2n k N* ，n 14klog 2 n3 n 29 ，k 5则 N2912954402故

8、选 A二、 填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。12.已知向量 a ， b 的夹角为 60， a2 ， b 1 ，则 a 2b_【答案】 232222212【解析】 a2b(aa2a2b cos602 b2b)22 2 22244412 a2b12 23x2 y113.设 x ， y 满足约束条件2xy1，则 z 3 x2 y 的最小值为 _xy0【答案】5x2 y1不等式组2xy1 表示的平面区域如图所示xy0yAB1xCx+2y-1=02x+y+1=0由 z 3 x2 y 得 y3xz，22求 z 的最小值，即求直线y3xz2的纵截距的最大值2当直线 y3 xz 过图中点 A

9、 时，纵截距最大222xy1解得 A 点坐标为 (1,1)，此时 z3(1)2 1 5由2 y1x14.已知双曲线C :x2y2，（a0，b0）的右顶点为 A ，以 A 为圆心，b为半径作圆A ，a2b2圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于M，N两点，若MAN60 ，则 C 的离心率为_【答案】233【解析】 如图，OAa ， ANAMbMAN 60 ， AP223 b 23 b ， OPOAPAa224AP3 b2 tan23OPb2a4b3 bb又 tan23b 2，3 b2，解得 a 2aa 2a4 e1b 2112 3a23315. 如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为 5 cm ，该

10、纸片上的等边三角形ABC 的中心为 O ，D 、 E 、 F 为元 O 上的点， DBC ， ECA， FAB 分别是一 BC ， CA ， AB 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC ， CA ， AB 为折痕折起 DBC ， ECA ， FAB ，使得 D ， E ， F 重合，得到三棱锥当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： cm3 ）的最大值为 _【答案】 4 15【解析】 由题，连接 OD ，交 BC 与点 G ，由题， ODBCOG3 BC ，即 OG 的长度与 BC 的长度或成正比6设 OGx ，则 BC23x ， DG5x三棱锥的高 hDG2OG210x2x25

11、 10x25xS ABC2 33x133 x221S ABCh3x2325x410x5则 V25 10x =3令 f x25x410x5 ， x(0, 5 ) ， fx100 x350x42令 f x0 ，即 x42x30 ， x 2则 f x f280则V 38045体积最大值为 4 15 cm3三、 解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。16. ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为a， b ， c ，已知 ABC 的面积为a23si

12、n A（ 1）求 sin Bsin C ；（ 2）若 6cos B cos C1 ， a3 ，求 ABC 的周长【解析】 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.21（ ）面积aSS.bc sin A1 ABC3sinA且2a21 bc sin A3sin A2 a 23bc sin2 A2由正弦定理得 sin 2 A3sin Bsin C sin2A ，2由 sin A0 得 sin B sin C2.3（2）由（ 1）得 sin Bsin C2 ， cos B cos C136 ABC cos Acos BCcos BC1sin BsinC cos B cos

13、C2又 A0， A60， sin A3， cos A122由余弦定理得 a 2b 2c2bc9由正弦定理得basin B ， casin Csin Asin A bca2sin BsinC8sin2 A由 得 bc33 abc333 ，即 ABC 周长为 33317.（ 12 分）如图，在四棱锥PABCD 中， AB CD 中，且 BAPCDP90 （ 1）证明：平面 PAB 平面 PAD ；（ 2）若 PA PD AB DC ， APD 90 ，求二面角 A PB C 的余弦值【解析】 （1）证明：BAPCDP90 PA AB，PD CD又ABCD，PDAB又PDPAP ，PD 、PA平面P

14、AD AB平面PAD，又AB平面PAB平面 PAB平面 PAD（2）取 AD 中点 O， BC 中点 E ，连接 PO， OEABCD四边形 ABCD 为平行四边形 OE AB由（ 1）知， AB平面 PAD OE平面 PAD，又 PO、 AD平面 PAD OEPO，OEAD又 PAPD ， POAD PO、OE、 AD 两两垂直以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz设 PA2， D2，0，0 、B2，2，0 、 P 0，0， 2、 C2 ，2，0 ， PD2，0， 2 、 PB2，2， 2 、BC2 2 ，0，0设 nx , y , z 为平面 PBC 的法向量由 n PB

15、0 ，得2x 2 y2 z 0nBC022x0令 y1 ，则 z2 ， x0 ，可得平面 PBC 的一个法向量 n0,1, 2 APD 90 ， PD PA又知 AB平面 PAD ， PD平面 PAD PDAB ，又 PAABA PD平面 PAB即 PD 是平面 PAB 的一个法向量，PD2,0, 2 cos PD , nPD n23PDn2 33由图知二面角 A PBC 为钝角，所以它的余弦值为3318.（ 12 分）为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服

16、从正态分布N ， 2（ 1）假设生产状态正常， 记 X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在3 ，3之外的零件数，求 P X 1及 X 的数学期望；（ 2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在3 ，3 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（ I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：（ II ）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：9.951 0.1 29.969.9 610.019.929.9 81 0.0 410.269.911 0.1 310.029.2210.0410.059.9 51611621经计算得 xxi 9.97，

17、 sxi x16i 116 i 116xi 216x 20.212 ，其中 xi 为i1抽取的第 i个零件的尺寸， i1，2 ， ，16 用样本平均数x 作为的估计值? ，用样本标准差s 作为的估计值? ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除?3?，?3 ? 之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到 0.01 ）附：若随机变量Z服从正态分布N，2则 P3Z30.997 4 ,0.997 4160.9592， 0.0080.09 【解析】 （1）由题可知尺寸落在3，3之内的概率为0.9974，落在3，3之外的概率为0.0026P X0C16010.997400.9974160.959

18、2P X11PX010.95920.0408由题可知X B 16 ，0.0026E X160.0026 0.0416（2）（ i ）尺寸落在3，3之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在3，3之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理（ii ）39.9730.2129.33439.9730.21210.6063，39.334 ，10.6069.229.334 ，10.606，需对当天的生产过程检查因此剔除 9.22剔除数据之后：9.97169.2210.021529.95210.1229.9629.96210.01210.0210.0210.0210.0210.029.9229.9

19、8210.04210.2629.91210.0210.0210.0210.0210.0210.13210.02210.04210.0529.952110.0210.0210.0210.0210.02150.0080.0080.0919.20.（ 12 分）x2y2，3，3P 1P已知椭圆 C ：22 1 a b 0 ，四点 P1 1，1 ，P210，1 ，3， 42ab2中恰有三点在椭圆C 上（ 1）求 C 的方程；（ 2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A 、 B 两点，若直线 P2 A 与直线 P2 B 的斜率的和为 1，证明： l 过定点【解析】 （1）根据椭圆对称性，必过

20、P3、 P4又 P4横坐标为1，椭圆必不过1，所以过 P2，PP3P4 三点将 P20， ，3代入椭圆方程得1P31211b2，解得 a2， b2134141a2b 2椭圆 C 的方程为： x2y21 4（2） 当斜率不存在时，设l : x m， A m，yA，Bm， yAkP AkP ByA1yA121mmm22得 m2 ，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足 当斜率存在时，设lykxb b 1A x1 ，y1，B x2 ，y2联立ykxb，整理得 1 4 k2x28kbx4b240x24 y24 08kb4b24x1x2， x1 x214k214k2则 kP2 A kP2 By

21、1 1 y21 x2 kx1b x2 x1 kx2bx1x1x2x1 x28kb28k8kb28kb1 4k24b2 41 4k28k b11， 又 b 14 b1b1b2k1 ，此时64k，存在 k 使得0 成立直线 l 的方程为 ykx 2k1当 x2 时， y1所以 l过定点2 ， 121. （12 分）已知函数fxae2 xa2 exx （ 1）讨论 f x 的单调性；（ 2）若 f x 有两个零点，求 a 的取值范围【解析】【解析】 （1）由于 f xae2 xa2exx故 f x2ae2 xa2 ex1aex1 2ex1 当 a0 时，ex10 ，2ex10从而 f x 0恒成立a

22、f x 在 R 上单调递减 当 a0 时，令 fx 0 ，从而ex10，得 x ln a axln aln a ， ln afx0f x单调减极小值单调增综上，当 a0 时， f (x) 在 R 上单调递减；当 a0时， f (x) 在 (, ln a) 上单调递减，在(ln a,) 上单调递增（2）由（ 1）知，当 a0 时， fx在 R 上单调减，故fx 在 R 上至多一个零点，不满足条件当 a0 时，f minfln a1ln a 1a令 g a11ln a a令 g a11ln aa0，则 g 'a110 从而 g a在 0 ，上单调aa2a增，而 g 10故当0a1时，ga0

23、 当 a1时 g a0 当 a1时 g a0若 a1，则 f min11ln ag a0 ，故 fx0 恒成立，从而fx 无零点，a不满足条件若 a1，则f min11ln a0 ，故 fx0仅有一个实根 xln a0 ，不满足a条件若 0a1，则 fmin11ln a 0ln a 0 f1aa20 a，注意到2e1ee故 fx在1 ， ln a 上有一个实根，而又ln31ln 1ln a aa且f ln( 3ln3 1ln3131)eaa eaa2ln1aa31 3 a a 2 ln 313 1 ln 310 aaaa故fx在ln a，31上有一个实根lna又 fx在， ln a上单调减，在ln a ，单调增，故 fx在 R 上至多两个实根又fx在1 ， ln a及ln a，31上均至少有一个实数根，故fx在 Rlna上恰有两个实根综上，0a1 （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23题中