高一数学函数练习题

1、1 / 11 高一数学函数练习题1、与函数 y=x 表示相同函数的是 则、值域不同，排除c而评注判断两个函数是否相同，要看函数的三要素：定义域，值域，对应法则其中对应法则不能仅仅从解析式上考虑，要分析其对应法则的本质2、求下列函数的定义域(5) 设 f(x) 的定义域为 0 ，2 ，求函数f(x+a)+f(x-a)(a0) 的定义域定义域是空集，函数是虚设的函数(2) 由函数式可得函数的定义域是x|x=-1，定义域是一个孤立的点(-1 ，0) 的横坐标(3) x2-4 0 x 2 函数定义域为(- ， -2) (-2 ， +2)(2 ，+) (4) 从函数式可知，x 应满足的条件为2 / 11

2、 函数的定义域为(5) f(x)定义域为 0 ，2 所以 f(x+a)+f(x-a)中 x 应满足又 a0，若 2-a a，则 a1 即 0 a1 时， f(x+a)+f(x-a)的定义域为 x|a x2-a 当 a 1 时， x评注求 f(x)的定义域就是求使函数f(x)有意义的x 的取值范围，定义域表示法有：不等式法，集合法，区间表示法等3、求下列函数的值域解 (1) 由原式可化为(2) 将函数变形，整理可得：2yx2-4yx+3y-5=0 当 y=0 时， -5=0 不可能，故y0 xr =(-4y)2-4 2y(3y-5) 0 即 y(y-5)0 解得 0 y5 而 y 0 0y5 故

3、函数值域为 (0 ， 5 3 / 11 此二次函数对称轴为t=-1 评注求函数值域方法很多，此例仅以三个方面给出例子学习时要分析函数式的结构特征，从而确定较简单的求值域的方法4、(1) 已知 f(x)=x2，g(x) 为一次函数，且y 随 x 值增大而增大若fg(x)=4x2-20 x+25 ，求 g(x) 的解析式解： (1) g(x) 为一次函数，且y 随 x 值增大而增大故可设 g(x)=ax+b(a 0) fg(x)=4x2-20 x+25 (ax+b)2=4x2-20 x+25 即： a2x2+2abx+b2=4x2-20+25 解得 a=2 ，b=-5 故 g(x)=2x-5 于是

4、有 t 的象是 t2-1 ，即 f(t)=t2-1(t 1) 故 f(x)=x2-1(x 1) f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x 0) f(x2)=x4-1(x -1 或 x1) 评注对于 (1) 是用待定系数法求函数的解析式，要根据题意设出函数的形式，再利用恒等式的性质解之求函数解析式的常用方法还有拼凑法，代换法( 如(2) ，解方程组等5、如图 1-7，灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽及两边坡总长度为a，边坡的倾角为60(1) 求横断面积y 与底宽 x 的函数关系式；4 / 11 评注本题是有关函数的实际问题，其方法是把实际问题用数学的形式表示出来，建立变量之间的函数关系6、设

5、 x0 时， f(x)=2，x0 时， f(x)=1又解：当 0 x 1 时， x-1 0，x-2 0 当 1 x2 时， x-1 0，x-2 0 当 x 2 时，g(x)=2 评注分段函数关键是在x 的不同条件下计算方法不同，不要认为是三个不同函数7、判断下列各式，哪个能确定y 是 x 的函数？为什么？(1)x2y1 (2)xy21 (3)y11xx解 (1)由 x2y1 得 y1 x2，它能确定y 是 x 的函数(2)xy1yyx2由 得 它不能确定是 的函数，因为对1x于任意的xx|x 1 ，其函数值不是唯一的5 / 11 (3)yyx的定义域是，所以它不能确定是 的函数11xx8、下列

6、各组式是否表示同一个函数，为什么？(1)f(x)|x|(t)(2)f(x)g(x)(x)2，tx22(3)f(x)g(x)(4)f(x)g(x)，xxxxxx11111122解 (1)中两式的定义域部是r，对应法则相同，故两式为相同函数(2) 、(3) 中两式子的定义域不同，故两式表示的是不同函数(4) 中两式的定义域都是1x1，对应法则也相同，故两式子是相同函数9、求下列函数的定义域：(1)f(x)2(2)f(x)(3)f(x)xxxxxx |(4)f(x)(4x5)(1)x10 4x01x4x|1x4(2)3x20 xx|x由 得 定义域是 由 ，得，定义域是81

7、2323| | x解(3)10 xx210 |x|503x7x5x|3x7x52由 得 且 ，定义域是 ，且 (4)10 |x|0 4x508x00 xx880)(0)()由 解得 或 或 定义域是 ，8545454548| | x10、已知函数f(x)的定义域是 0 ，1 ，求下列函数的定义域：6 / 11 (1)yf(2)yf(2x)f(3)yf()()( )1232xxxa解(1)01x1x1f()x|x1x1由 ，得 或 ，的定义域是 或 1122xx(2)02x1 0 x10 xf(2x)f(x)x|0 x(3)01由 得 的定义域是 23132313xa当 时，得 ，定义域为，当

8、时，得 ，的定义域为，若函数的定义域是一切实数a00 xaf(xa)0aa0ax0f(xa)a0y【例 5】axaxa21求实数 a 的取值范围解xaxax0a0 a400a222 ， r1a为所求 a 的取值范围12、求下列函数的值域：(1)y 5x21(2)y3 x4(3)y x25x6，x 1，1) (4)y x25x6，x 1，3 (5)y(6)y25131222xxxx(7)y(8)y2x3 41253241322xxxxx7 / 11 (9)y |x 2| |x 1| 解 (1) xr， 5x211，值域 y1(2)x433y3(3)yx5x62 ， ，值域 xx452142()

9、， 在区间 ，上为减函数，如图 值域，5252142()11)y11)221y(212)(4)yx ，如图，当 时，当 时，值域 ，52521414132.22xyx1y12y12minmax(5)y5(x +)yyy|yy 故值域且 25121515152525 512525xxxx()()r(6) 定义域为r ，由，解得，又，解得 ，值域 ，y3yxx00y3y3)22312123123121222xxyyyy(7) 解：定义域x1 且 x2 8 / 11 由去分母整理得：41253222xxxx(y 4)x23(y 4)x (2y 5)0 当 y 40 时，方程有实根，0，即 9(y 4

10、)2 4(y 4)(2y 5) 0 化简得 y220y64 0，得y4 或 y16 当 y 4 时，式不成立故值域为y4 或 y16(8)()4x130 xtt0解法 一 由，得 ，设 ，则 134413x 那么 xy23t(t1)3 (t0)2tt2213413412函数 y 在 t 0 时为增函数 ( 见图 223) 故所求函数值域为解法 二 127272413(t1)3y()y2x32x ，即 2y4x62 4x13(4x131)26y( 4x131)3y2127272(9) 解：去掉绝对值符号，f(x)3(x2) 2x1(1x2) 3(x1) 其图像如图224 所示由图 224 可得值

11、域y 3，3 求函数值域的方法：1观察法：常利用非负数：平方数、算术根、绝对值等2求二次函数在指定区间的值域( 最值 ) 问题，常用配方，借助二次函数的图像性质结合对9 / 11 称轴的位置处理 假如求函数f(x) ax2bxc(a 0) ， 在给定区间 m， n 的值域 ( 或最值 ) ，分三种情况考虑：(i)xn225()f(x)f(m)f(x)f(n)(ii)xmn225()f(x)f()maxminmin当对称轴 时，如图 甲 ，当对称轴 ，时，如图 乙 ， ，bababa222f(x)f(m)f(n)(iii)xm225()f(x)f(n)f(x)f(m)maxmaxmin是，两值较

12、大者当对称轴 时，如图 丙 ，ba23y(c0)y分离常数法：型如既约分式，的值域为，axbcxdac( 如例 5) 可做公式用4y(aa)yx12判别式法：型如、不同为零，不能约为型如可将函数解析式转化为关于的二次方程，用判别式a xb xca xb xcaxbcxd1211222法求 y 的范围 ( 如例 67) 5yaxb型如 ，可利用换元法或配方法将原函数化cxd为二次函数求值域但要注意中间量t 的范围 ( 如例 68) 6分离有界变量法：从已知函数式中把有界变量解出来利用有界变量的范围，求函数y的值域 ( 如例 66) 7图像法 (如例 69) ：由于求函数值域不像求函数定义域那样有

13、一定的法则和程序可寻，它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解【例7】 (1)f(x1)2x4xf(1)(2)f(x)10(x0) 10 x(x0)ff(7)2已知，求已知求210 / 11 解(1)x11xf(1)2()4()442由 得 ， 222222解 (2) f( 7) 10， ff(7) f(10)100说明本例较简单，但主要用意是深刻理解函数符号f(x)的意义求分段函数值时，要注意在定义域内进行【例 8】根据已知条件，求函数表达式(1) 已知 f(x) 3x21，求 f(x 1)， f(x2) (2) 已知 f(x) 3x21， g(x) 2x1， 求 fg(x)(3)f(

14、x1)x6 x7已知 求f(x)(4) 已知 f(x) 是二次函数且f(0) 2，f(x 1) f(x)x1，求 f(x) (5) 设周长为a(a 0)的等腰三角形，其腰长为x，底边长为y，试将 y 表示为 x 的函数，并求它的定义域和值域(1) 分析：本题相当于xx1 时的函数值，用代入法可求得函数表达式解f(x) 3x21 f(x 1) 3(x 1)213x26x2 f(x2) 3(x2)213x4 1 (2) 分析： 函数 fg(x)表示将函数f(x)中的 x 用 g(x) 来代替而得到的解析式，仍用代入法求解解由已知得fg(x)3(2x 1)2112x212x4 (3)f(x1)x6

15、x7x1xx1f(x)分析：已知 ，可将右端化为关于的表达式，然后用代替 ，就可求得表达式这种方法叫凑配法( 或观察法 ) 解法 一() f(x1)x6 x7(x1)4( x1)12(x11)f(x)x4x12(x1)22 解法 二() tx1t1令 ，则 ，x(t 1)2代入原式有f(t)(t 1)26(t 1) 7 t24t 12 (t 1) 即 f(x)x2 4x12 (x 1) 说明解法二是用的换元法注意两种方法都涉及到中间量的问题，必须要确定中间量的范围，要熟练掌握换元法(4) 分析：本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用待定系数法求解11 / 11 解设 f(x) ax2bxc(a 0) 由 f(0) 2，得 c2由 f(x 1) f(x)x 1，得恒等式2ax(ab)x1xabf(x)xx22 ，比较等式两边的同次幂的系数得， ，故所求函数123212