数学新学案同步必修4北师大版：第二章章末复习

1、章末复习学习目标1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法 .4.进一步理解向量的“工具”性作用. 1.向量的运算：设a(x1，y1)，b (x2，y2). 向量运算法则 (或几何意义 )坐标运算向量的线性运算加法ab(x1x2，y1y2) 减法ab(x1x2，y1y2)数乘(1)| a| | |a|；(2)当 0 时， a 的方向与a 的方向相同；当 0时， a 的方向与a 的方向相反；当 0 时， a0 a(x1，y1)向量的数量积运算ab|a|b|cos (为 a

2、与 b的夹角 )，规定 0 a0，数量积的几何意义是a 的模与 b在 a 方向上的射影的积a b x1x2y1y22.两个定理(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数1， 2，使 a1e1 2e2. 基底：把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. (2)向量共线定理a 是非零向量，若存在一个实数 ，使得 b a，则向量b 与非零向量a 共线 . 3.向量的平行与垂直a，b为非零向量，设a(x1，y1)， b(x2， y2). ab有唯一实数 使得 b a(a 0) x1y2x2y10 aba

3、b0 x1x2y1y20 1.平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.() 提示平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底. 2.若向量 ab和向量 cd共线，则a， b，c，d 四点在同一直线上.() 提示也可能 abcd. 3.若 ab0，则 a0 或 b0.() 4.若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若a b0，但 a 和 b 的夹角为0.当 a，b 反向共线时， a b0，但 a和 b 的夹角为.类型一向量的线性运算例 1如图所示，在abc 中， an13nc，p 是 bn 上的一点，若apmab211ac，则实数m 的值为. 考点向量的线性运算题点由向量共线求参数值答案311解

4、析设 bp bn，则bpbaap ab mab211ac (m1)ab211ac，bn baan ab14ac. bp与bn共线， 14(m1)2110，m311. 反思与感悟向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题. 跟踪训练1(2017 广东深圳二模 )如图所示， 正方形 abcd 中，m 是 bc 的中点，若ac am bd，则 等于 () a.43b.53c.158d.2 考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数答案b 解析因为 ac am bd (abbm) (baad) ab12ad

5、 ( abad)( )ab12 ad，且acabad，所以 1，12 1，得 43， 13，所以 53，故选 b. 类型二向量的数量积运算例 2已知 |a|4，|b| 3，(2a3b) (2a b)61. (1)求 a 与 b的夹角 ；(2)求 |ab|；(3)若 aba，bcb，求 abc 的面积 . 考点向量的数量积的应用题点求向量的夹角与模解(1)(2a3b) (2ab)61，4|a|24a b3|b|261. 又|a|4，|b|3，644a b2761，a b 6，cos a b|a|b|64 312. 又0 ， 23. (2)|ab|2 (ab)2|a|22a b|b|2 422(6

6、)3213， |ab|13. (3) ab与bc的夹角 23， abc 233. 又|ab|a|4，|bc|b|3，sabc12|ab|bc|sinabc124 33233. 反思与感悟数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：(1)设 a (x1，y1)，b(x2， y2)，ab? x1y2x2y10，ab? x1x2y1y20. (2)求向量的夹角和模的问题设 a(x1，y1)，则 |a|x21y21. 两向量夹角的余弦值(0 ) cos a b|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22. 跟踪训练2已知向量 oa(3， 4)，ob(6， 3)，oc(5m， (3

7、m). (1)若点 a，b，c 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；(2)若 abc 为直角三角形，且a 为直角，求实数m 的值 . 考点向量数量积的综合问题题点利用向量的数量积求参数解(1)若点 a，b，c 能构成三角形，则这三点不共线，oa(3， 4)，ob(6， 3)，oc(5m， (3m)，ab(3，1)，bc(m1， m). ab与bc不平行，3mm1，解得 m12，当实数 m12时满足条件 . (2)若 abc 为直角三角形，且a 为直角，则 abac，而 ab(3，1)，ac(2 m，1m)，3(2m)(1m)0，解得 m74. 类型三向量坐标法在平面几何中的应用例 3已知在等

8、腰abc 中，bb，cc是两腰上的中线，且bb cc，求顶角a 的余弦值的大小 . 考点平面向量在平面几何中的应用题点利用向量坐标运算求夹角解建立如图所示的平面直角坐标系，设a(0，a)，c(c，0)，其中 a0，c0. 则 b(c，0)，oa(0，a)，ba(c，a)，oc(c，0)，bc (2c，0). 因为 bb，cc为 ac，ab 边上的中线，所以 bb12(bcba)3c2，a2，同理 cc 3c2，a2. 因为 bbcc，所以 bb cc0，即9c24a240，化简得 a2 9c2. 又因为 cos aab ac|ab|ac|a2c2a2c29c2c29c2c245，所以顶角a 的

9、余弦值为45. 反思与感悟把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性. 跟踪训练3如图，半径为3的扇形 aob 的圆心角为120 ，点 c 在ab上，且 cob30 ，若oc oa ob，则 等于 () a.3 b.33c.433d.23 考点平面向量在平面几何中的应用题点利用向量坐标相等求参数值答案a 解析由题意，得 aoc90 ，故以 o 为坐标原点， oc，oa 所在直线分别为x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，则 o(0，0)， a(0，3)，c(3，0)，b(3 cos 30 ，3sin

10、30 ). 因为 oc oa ob，所以 (3，0) (0，3)332，312，即3 332，03 312 ，则 233， 33，所以 3. 1.在菱形 abcd 中，若 ac2，则 ca ab等于 () a.2 b.2 c.|ab|cos ad.与菱形的边长有关考点平面向量的数量积的运算题点求平面向量的数量积答案b 解析如图，设对角线ac 与 bd 交于点 o， abaoob. ca ab ca (ao ob) 20 2. 2.设四边形abcd 为平行四边形，|ab|6，|ad|4.若点 m，n 满足 bm 3mc，dn2nc，则am nm等于 () a.20 b.15 c.9 d.6 考点

11、平面向量的数量积的运算题点求平面向量的数量积答案c 解析?abcd 的图像如图所示，由题设知，amabbmab34ad，nm13ab14ad，am nm ab34ad13ab14ad13|ab|2316|ad|214ab ad14ab ad1336316 169. 3.已知向量a (1，3)， b(3，m).若向量 a，b 的夹角为6，则实数m 等于 () a.23 b.3c.0 d.3 考点共线向量的应用题点利用向量共线的坐标运算求参数值答案b 解析 a b(1，3) (3，m)33m，a b123232m2cos 6，33m123232 m2cos 6，m3. 4.若向量 oa(1， 3)

12、，|oa| |ob|，oa ob0，则 |ab|. 考点向量的模与数量积的综合题点求向量的模答案25 解析由题意可知， aob 是以 o 为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|oa|ob|10，由勾股定理得|ab|202 5. 5.平面向量a (3，1)，b12，32，若存在不同时为0 的实数 k 和 t，使 xa (t23)b，y katb，且 xy，试求函数关系式kf(t). 考点向量的坐标运算与函数的综合题点向量的坐标运算与函数的综合解由 a(3， 1)，b12，32，得 a b0，|a|2， |b|1. 由 xy，得 a(t23)b (katb)0，ka2ta bk(t23)a bt(t

13、2 3)b2 0，即 4k t33t0，所以 k14(t33t)，令 f(t)14(t33t)，所以函数关系式为kf(t)14(t33t). 1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题. 2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧. 一、选择题1.下列命题中正确的是() a.oaob abb.abba0 c.0 ab 0 d.ab bc

14、cdad考点平面向量的线性运算题点平面向量的线性运算答案d 解析oaobba； ab， ba 是一对相反向量， 它们的和应该为零向量，即ab ba0； 0 ab0. 2.在平面直角坐标系xoy 中，已知四边形abcd 是平行四边形，ab(1， 2)，ad(2，1)，则ad ac等于 () a.5 b.4 c.3 d.2 考点平面向量的数量积的运算题点求平面向量的数量积答案a 解析 四边形 abcd 为平行四边形， acab ad(1， 2)(2， 1)(3， 1)， ad ac23 (1)15. 3.(2017辽宁大连庄河高中高一期中)已知平面向量a(1， 3)，b(4， 2)，a b与 a

15、垂直，则 等于 () a.2 b.1 c.1 d.0 考点向量平行与垂直的坐标表示的应用题点已知向量垂直求参数答案c 解析a b(1 4 ， 3 2 )，因为 a b 与 a 垂直，所以 (a b) a0，即 14 3( 32 )0，解得 1. 4.若平面向量b与向量 a(1， 2)的夹角是180 ，且 |b|3 5，则 b等于 () a.( 3，6) b.(3， 6) c.(6， 3) d.(6，3) 考点平面向量的坐标表示题点求平面向量的坐标答案a 解析设 b ka(k， 2k)，k0，而 |b|35，则5k23 5，k 3，即 b( 3，6). 5.在 abc 中，若 ab2ab acb

16、a bcca bc，则 abc 是() a.等边三角形b.锐角三角形c.直角三角形d.钝角三角形考点向量的数量积的应用题点判断三角形形状答案c 解析由已知，得 ab (abac)bc (baca)0，ab cb bc bc0，bc ( abbc)0，即 bc ac 0，bcac，bcac， abc 为直角三角形 .故选 c. 6.若 a，b 是非零向量且满足(a2b)a，(b2a)b，则 a与 b 的夹角 的大小为 () a.6b.3c.23d.56答案b 解析 a22a b0，b22a b0，a2b2，|a| |b|. 又cos a b|a|b|12a2|a|212， 0， ， 3. 二、填

17、空题7.如图，在平行四边形abcd 中，已知ab8，ad5，cp3pd，ap bp 2，则 ab ad的值是. 考点平面向量在平面几何中的应用题点求向量的数量积答案22 解析由 cp3pd，得dp14dc14ab，apaddpad14ab，bpapabad14ababad34ab.因为 ap bp2，所以ad14abad34ab2，即 ad212ad ab316ab22.又因为 ad2 25，ab264，所以 ab ad22. 8.已知 a 是平面内的单位向量，若向量b满足 b (ab)0，则 |b|的取值范围是. 考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案0， 1 解析b (ab)

18、 a b|b|2|a|b|cos |b|20，|b|a|cos cos 为a与b的夹角， 0，2，0|b|1. 9.在 abc 中，点o 在线段bc 的延长线上，且|bo|3|co|，当 aoxabyac时， xy. 考点向量共线的判定及应用题点利用向量共线求参数值答案 2 解析由 |bo|3|co|，得 bo3co，则 bo32bc，所以 aoabboab32bcab32(acab)12ab32ac. 所以 x12，y32，所以 xy1232 2. 10.已知向量a，b 满足 |a|b| 2，a 与 b的夹角为60 ，则 b在 a 方向上的射影是. 考点向量的射影题点向量的射影答案1 解析

19、|a|b|2，a 与 b 的夹角为60 ，b 在 a 方向上的射影是|b|cos 60 1. 11.如图，直线ef 与平行四边形abcd 的两边 ab，ad 分别交于e，f 两点，且与对角线ac交于点 k，其中， ae25ab，af12ad，ak ac，则 的值为. 考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数答案29解析 ae25ab，af12ad，ab52ae，ad 2af. 由向量加法的平行四边形法则可知，acab ad，ak ac (abad)52ae2af52 ae2 af，e，f，k 三点共线， 52 2 1， 29. 三、解答题12.(2017四川宜宾三中高一月考)如

20、图，在 oab 中， p 为线段 ab 上一点，且opxoayob. (1)若 appb，求 x，y 的值；(2)若 ap3pb，|oa|4，|ob|2，且 oa与ob的夹角为60 ，求 op ab的值 . 考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义解(1)若appb，则 op12oa12ob，故 xy12. (2)若 ap3pb，则op14oa34ob，op ab14oa34ob (oboa)14oa212oa ob34ob214421242cos 60 34 22 3. 13.如图，在同一平面内，aob150 ， aoc120 ，|oa|2，|ob| 3，|oc|

21、 4. (1)用 ob和oc表示 oa；(2)若 ad ac，acbd，求 的值 . 考点平面向量的综合问题题点平面向量的综合问题解由题意，得 boc 90 ，以 oc 所在的直线为x 轴，以 bo 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 o(0，0)， a(1，3)，b(0， 3)，c(4，0). (1)设 oa1ob2oc，则(1，3)1(0， 3) 2(4， 0)(42， 31)，133，214，oa33ob14oc. (2)设 d(x，y)，ad ac，(x1，y3) (5，3)，x5 1，y3 3，d(5 1，3 3)，bd(5 1，33 3). ac bd0，(5 1)5 (333 )(3)0，解得 83 328. 四、探究与拓展14.如图所示， 在 abc 中，ad db，aeec，cd 与 be 交于点 f.设ab a，acb，afxayb，