微积分曹定华修订版课后题答案习题详解

1、2(1)解:时,判定下列级数的收敛性:5 丄(a>0);1 a、n);In1(1)n1 2n习题9-1(1)n2;1(8)n(1)n n0 2n 1(1)该级数为等比级数,级数发散公比为且a 0,故当|丄| 1,即a 1时，级数收敛，当|丄|aaa(2) 一 SnC.2J) ( ,3.,2)I”(汕 1、n)(3)(4)(5)故 lim Snn1是调和级数1 n 32 ( 1)n2n(1)n2n1)m1 2n11去掉前3项得到的级数，而调和级数 n 1 n1-发散，故原级数n 1 nn1发散1 n 3(1)n2n是公比分别为收敛，即原级数收敛- In In n ln( n n 1(In1

2、ln 2) (In 2，所以级数n(6) ； S2n0, S2n 11)In 3)卅InnIn11的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知2ln(n 1)发散lim Sn不存在，从而级数n n(1)n2发散.n 1(7) 一 lim Un lim 1 0 nn n级数 丄发散n 1 n(8) ； UnlimU12发散.解:(1)丄n 1 2n ,1 1歹都收敛，且其和分别为1和，则1-收敛，且其和为3n1+1=32 22 .判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和:(1)1 1;nn ；n 1231n 1 n(n1)( n 2)nn nn sin ;(4)cos .n 12nn 02limnS

3、n1故级数收敛，且其和为4（3）Unnsin ，而 lim Un2n n. n sin n 2 limn 2 _n2nn2°,故级数nsin发散.2n（4）Uncos，而 lim U4k2 kIimcos2 k nk1, lim U4k 2 limcos(2 k 1) n 1 kk故lim Un不存在，所以级数ncos 口发散.n 0231 设 Un （Un> 0）加括号后收敛，证明Un亦收敛.n 1n 1证：设 Un（unn 1U k ,并注意到k 10）加括号后级数An收敛，其和为 S.考虑原级数un的部分和Snn 1n 1Uk o(k 1,2,)，故存在 no,使又显然S

4、n Sn 1对一切n成立，于是,Sn是单调递增且有上界的数列，因此，极限lim Sn存在，即原级数n(9)Un亦收敛.习题9-2(11)(13)(15)解:判定下列正项级数的收敛性:1(n 1)(n 2)n 21 n(n 2)1n (a > 0);11 an213nn 2n3 51 4 7 10(2n(3n1)1)(1)因为(n 1)(n 2)(2)因为 lim Unn(3)因为 n 2n(n 1)n 11n(n2(a> 0);(10)(8)n n1 n!(12)n(14)(16)lim nn : n 1nn(n1)5)(a, b > 0);n 1 ；4，n 12 n 1nn

5、1 2n 1n cos2 爭2n1冷收敛，由比较判别法知级数 n 1 n0，故原级数发散n 1 (n 1)(n收敛.2)1而 发散，由比较判别法知，级数n 1 n 1n 2发散.1 n(n 1)1(4)因为 -Jn(n25)A，而n21是收敛的p级数(p1 , n(n2 5)3 1),由比较判别法知，级1数= 1收敛.n 1 .一 n(n2 5)(5)因为limn1丄nalim(1nnim111n1 an11而当a1时,丄收敛，故 n收敛; n a1时,1发散,1发散; n aa 1 时 lim - n 10，故 limn综上所述，当0a 1时,发散，当a 1时，limn1L收敛. n a(6

6、)因为limn1n1limnbn"T7lim(1n菁)而当b1丄收敛,1n 1 abn收敛;1时,1发散，故而由a 0,1，故1肓也发散;b 1时,limn发散;综上所述知，当0 b1时,级数了发散;当 b>1时，级数1收敛.na bn2 a(7)因为limn n2 a1limn2ann2 an2 a1而 丄发散，故级数n 1 nn2 a)(a0)发散.(8)因为limnn2n413nlim2n1而-13收敛, n 1 nn1 2n21-收敛.1发散.(9)因为.Un lim n Un2limn 3n 1(n1) 2n 1n 2n3nlim亠 n 2(n 1)由达朗贝尔比值判别

7、法知，级数3nn 1 n 2n(10)因为n 1(n 1)0 (n 1)!n!1 lim(1 -)n n ne 1，由达朗贝尔比值判别法知，级数n发 n 1 n!(3n 1)(11)因为 lim Unn 1u7limn3 5 74 7 1021 ,3由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛limn2n3n 4(2n 1) (2n 3)(3n 1) (3n4)4 7 103 5 7 卅'(2 n 1)(12)因为 limnUn1Unlimn3nlimn 3n由达朗贝尔比值判别法知，级数吕收敛. n 1 3(13)因为 limnUn1Unlimn(n1)!22(n 1)工lim(n!)2 n 2(

8、n1)22n 1由 xim ('x1?limx2(x22x 1 2ln 21)limX?2x 1xln 2limx122x1 2(ln 2)20 知 limnUn 1limn4 0 1?2n 1由达朗贝尔比值判别法知，级数(n!)收敛.2n2(14)因为 lim n U n limn 、nn2n1-1，由柯西根值判别法知级数2n收敛.1 2n 1(15)因为limnnn2 sin n3n2n n3nlimn 7tsin n亠17t3n是收敛的等比级数，它的每项乘以常数后新得级数2门仍收敛，由比较判别法的极1 3n限形式知,2 n n n cos (16)因为2n今而与(12)题类似地可

9、证级数7收敛，n 1 2由比较判别法知级数n n ncos收 n 12n试在(0 , +8)内讨论x在什么区间取值时，下列级数收敛:(1)解:limn由达朗贝尔比值判别法知，当x当0 x 1时，原级数收敛；1时，原级数发散；n11而当x 1时，原级数变为调丄，它是发散的n综上所述，当01时，级数n收敛.n(2)因为limnUn1limn(n1)3n 1x2nx2,由达朗贝尔比值判别法知，当1即x 2时，原级数发散；n 12时，原级收敛.而当2时，原级数变为n3，而由 lim n3nn3发散,1综上所述，当 0x2时,级数n3(x)n 收敛.n 12判定下列级数是否收敛,习题9-3如果是收敛级数

10、，指出其是绝对收敛还是条件收敛:(1)(1)n 2(1)n 1 2n解:Unsin nx2 n12n 110sin(2n x)(1)2n 1(1)nn!这是一个交错级数12n2n 1Un1)n1 1. nsin ;n n1,lim U2n 1 nlimn10,2n 1Un 1由莱布尼茨判别法知1)n2n 11 2nlimn12n 111 1,及 一发散，2 n 1 n知级数n1丄发散，所以级数1 2n 11)n条件收敛.2n 11而 丄收敛，故2nn 1 23丄 亦收敛，由比较判别法知2nn 1 2(3)因为sin nx2 n收敛.(4)1而 2收敛，n 1 n收敛.法，易知级数(1)n 2(

11、1)n11 1,而级数收敛，由比较判别法知n 'n 1 n因为由比较判别法的极限形式知，级数111I 1 I2n102n 12n102n 1(5)因为12n1277收敛，因而1 102n级数n 112n1102n1-绝对收敛.(6)当收敛，所以级数(“ 2绝对收敛.n 1(1)n 12Sin2nx收敛，因此,n|(n 11102n 111n2n 12 10nnsin n |收敛，从而级数nn 11. n(1) sin 绝对,而级数n1丄收敛的等比级数1 2n(q -);由比值判别2收敛，由比较判别法知级数12n12n 110收敛，所以原x为负整数时，级数显然无意义；当x不为负整数时，此

12、交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，故它是收敛的，但因1发散，故原级数当x不为负整数时仅为条件收敛n 1 x n(7)因为sin(2n x)n!1n!1由比值判别法知丄收敛(；lim° 卩1 n!n 1n!泌x)，绝对收敛.n!讨论级数(1)n 1的收敛性(p> 0).解:当p 1时，由于1)1 1np1npp 1时，由于Un1np1(n 1)pUn0)，从而由比较判别法知sin(2n x)n!收敛,所以级数收敛，故级数 (1)n 1绝对收敛. n 1np1, lim un 0,由莱布尼茨判别法知交错级数 n1丄收敛,np(1)nn 1然而，当0p 1时,(1)n11pn1一发散

13、，故此时，级数 pn 1 n(1)n 1丄条件收敛. n 1np综上所述,1时，原级数条件收敛；当p>1时，原级数绝对收敛3 设级数2an及n 12 2 bn都收敛，证明级数anbn及a. bn也都收敛.n 1n 1证：因为0| anbn I爲 2 1bn2一 2 2而由已知an及1bn2都收敛，故Iann 1n 1 2n 11 2丄02收敛，从而21 2an1 21 2d 收敛，由正项级数的比2较判别法知anbn也收敛，从而级数anbn绝对收敛.又由n 1(an bn)2an2 2anbn bn2,及2an1bn2 ,以及n 1anbn收敛n 1，利用数项级数的基本性质知，(an2 2

14、anbn bn2)收剑，亦即n 1(an1bn)2收敛.习题9-4指出下列幕级数的收敛区间:(1)nX(0!=1)0 n!n! n nx 0 nnXn 2 ； 0 2 n(X 2)n ；;解:(1)因为nlimn1n 1所以收敛半径rn，幕级数的收敛区间n 1 n!).(2)因为limnan 1limnnann 1nPlimnn! n x1 1e，所以收敛半径re.P当x=e时,级数n 0 n¥en，此时n 1 nUn 1Une1 1-，因为(1)n是单调递增数列，且(1)n<ennn1(1 1)n所以Un>1,从而lim Un0 ,于是级数当x=e时，原级数发散.n类似

15、地，可证当 x=-e时,原级数也发散(可证lim |un | 0),综上所述，级数nn !x-的收敛区间为(-e,e). n 0 nn(3)因为 p limnan 1nim ()21，所以收敛半径为r=2n 12当x 2时，级数nxn 21 2 n丄是收敛的p一级数(p=2>1);0 n当x=-2时，级数nxTn20 2 n(1)nn 114是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件，故它收敛n综上所述，级数n十 J 的收敛区间为-2,2.n 0 2 n(4)此级数缺少偶次幕的项，不能直接运用定理2求收敛半径,改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间令Un2n 1(1)n-，则 lim2n 1 nU

16、n 1Unlim心n 2n 3x2x2.当x21时，即|x| 1时，原级数绝对收敛当x21时，即|x| 1时，级数n| un |发散，0从而x2n 11)n发散，当x 1时，级数变为2n 1"0( 1)n2n 11时,级数变为(1)nn 01 12n 1;它们都是交错级数，且满足莱布尼茨判别法的条件,故它们都收敛综上所述，级数(1)n2n 1-的收敛区间为2n 1-1,1.(5)此级数为(x+2 )的幕级数.因为p limnan 1anlim -一 n 2(n 1)所以收敛半径，即|x2| 2 时,也即4x0时级数绝对收敛 .当|x 2| 2即x 4或x 0时，原级数发散.当x4时，

17、级数变为1)nJ是收敛的交错级数,n当x=0时，级数变为调和级数丄,它是发散的.n 1 n综上所述，原级数的收敛区间为卜4,0).(6)此级数(故收敛半径r于是当|x 1|当 |x 1|x-1 )的幕级数12 .1 13即 x 时，原级数绝对收敛.2 221 1 、3或x时，原级数发散.2当x 3时，原级数变为11是调和级数，发散o n原级数变为1(1)n 1，是收敛的交错级数.n综上所述，原级数的收敛区间为求下列幕级数的和函数:(1)(1)12nx2n1nx ；1 n(n 1)(2n01)xn .解:(1)可求得所给幕级数的收敛半径r=1设 S(x)1)又当又当S(x)n n 1(1) xn

18、 1x=1时，原级数收敛，且(2)所给级数的收敛半经x2于是s(x) cx 1时,原级数发散S(x)在x=1处连续.r=1，设 S(x)2x(1 x )2n 12nx,当|x | 1时，有12n x2n 1n 12x(|x|1)(3)可求所给级数的收敛半径为1.令 s(x)(x n 1 n(n 1) Xn1n(n 1)2、2(1 x )xn110)n 1令 g(x)5n 1 n(n 1)所以g(x)xn(1 x)dx所以S(x) 111 ln(1x ln(1 x) xl n(1x),| x| 1,且 x 0 .x，则 g (x) xn1 n 11x)；1时，级数为和n1n(n 1) n，它们都

19、收敛且显然有S(0)0.故 S(x) 11 ln(1 x) x1,0) (0,1)(4)x0 s(x)dx所以(1)0,x 1可求得所给级数的收敛半径为r=1且xS(x)(2nn 11时，级数发散，设S(x)nxn 1 ,则0()1)xn求下列级数的和:止,即2x nxn 1n 0nx12 (1 x)2n孑;1 51 ；n ；1 (2n1)22n 1 ；2n 1；1 2n(n 1)n 12n(1)考察幕级数n2xn ,可求得其收敛半径r1，且当x 1时，级数的通项unlim | un | lim n2nn，因而lim unn故当x1时，级数n2xn发散，故幕级数n2xn的收敛区间为1n 1(-

20、1,1) 设 S(x)(|x| 1),则 S(x)令 S-i(x)n2xn1 x,则 03(x)dxnxx nxn 1nn 1n 11x再令 S2(x)nxn ，则 o S2(x)dxxnn 1n 1109n 1故 S2(x)2 (| x| 1)，从而有 (1 x)* 2S,(x)dxx(1 x)2于是S(x) xS-i(x)xx2(1 x)3 *(|x| 1)1，则s)55n215n(2)考察幕级数15321 x2n，可求得收敛半径n 1 2 n 1r=1，设2n 2xn 11令 SMx)x2n 2，则 S1 (x)n 1 2n 111 x3(x)3(。)+(s，(。)0).1 1 x于是 S (x) In ,(|x|<1)，从而2 1 x1,则S(1n 1 (2 n 1)2n(3)考察幕级数r=1,因为(2n1)x2n 1，可求得其级数半经为n 1令 S1(x)c 2n2nx1，则x0 3(x)dx所以S1(x)2x1 x2(12xx )(|x|2n x1),于是2n 11(1) 丫2 1 1(4)考察幕级数n(n 1)xn，可