上海交通大学试卷A卷

1、上海交通大学试卷（ a 卷 ）课程线性代数（ b类）学期 20112012第 1 学期班级号学号姓名一单项选择题（每题 3 分，共 18 分）1设a，b为n阶方阵，且aa2，bb2。则（）（a）)()(brar时，a，b不相似；（ b）)()(brar时，a，b相似；（c）)()(brar时，a，b相似；（ d）以上都有可能。2设a为n阶反对称矩阵，则（）（a）0)(ear；（b）near)(；（c）near)(0；（d）以上都有可能。3设ba,为n阶方阵，bac00。则伴随矩阵c为（）（a）baab|00|；（b）bbaa|00|；（c）aabb|00|；（d）abba|00|。4设a为nm

2、的实矩阵，矩阵)(aat正定的充分必要条件为（）（a）mar)(；（b）mar)(；（c）mar)(；（d ）nar)(。5设是单位向量，矩阵tkea，其中1k。则（）题号一二1316 1720 总分得分我承诺，我将严格遵守考试纪律。（a）a为正交矩阵；（b）a为正定矩阵；（c）a为可逆矩阵；（d）a为反对称矩阵。6设向量组321,线性无关，向量321,线性相关但相互不成比例，且，321332123211,kkk。则（）（a）2k或1k；（b）1k；（c）2k且1k；（d）2k。二填空题（每题 3 分，共 18 分）7设行列式411131112d，jia是d中元素jia的代数余子式，则3131

3、ijjia。8已知 4 阶行列式4|jia的展开式中某项为42143123)1(aaaak。则k。9. 设33)(ijaa,jia是| a中jia的代数余子式，jijiaa，13121132aaa。已知011a，则11a。10设a是实对称可逆矩阵，则线性变换xay将二次型axxft化为二次型 _ 。11已知实二次型323121232221321222)1()1()1(),(xxxxxxxxxxxxf是正定二次型，则常数的取值为。12设111111aaaa，211，已知线性方程组ax有解但不唯一。则常数a。三解答题（每题 8 分，共 48 分）13设实向量tnaaa，21,n阶矩阵tea，行列式

4、| adn。（1）计算3d；（2）证明：1nndd。14已知非齐次线性方程组bax为lkxxxxkxxxxkx32132132134。 （1）试求行列式| a；（ 2）试问：常数lk，为何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多解。当方程组有无穷多解时，求出其通解15已知ba ,为3阶矩阵，其中100020011a。（ 1）化简等式ebabaa；（2）求满足（ 1）中等式的矩阵b。16已知二次型axxxxxft)(321，经正交变换yqx化为标准型2322212 yyy，且正交矩阵q的第三列为t)313131(，。（1）试求：正交矩阵q和实对称矩阵a； （2）证明：矩阵eab3为正定矩阵。17已知

5、矩阵210010000010010ya有 1 个特征值为3。 （1）试求：常数y，以及矩阵)(aat的特征值；（ 2）试求：可逆矩阵p，使得矩阵)()(apapt为对角阵，并求出此对角阵。18已知向量空间3r的两个基为)(a0011，0112，1113。及)(b0111，1122，2223。向量32132。试求：（ 1）基)(a到基)(b的过渡矩阵a； （2）在基)(b下的坐标y。四论述或证明题（每题 8 分，共 16 分）19. （1）试叙述实矩阵a为正交矩阵的定义；（2）证明：n阶实矩阵a是正交矩阵的充分必要条件为，在欧氏空间中对任意n维列向量，内积)()(， aa。20. 设a，b为n阶

6、方阵，证明：齐次方程组0)(xab与0bx为同解方程的充分必要条件是秩)()(brabr。线性代数（b类）参考答案一单项选择题c b a d c d 二填空题7.36； 8.5； 9. 76； 10. yayft1； 11. 31；12. 2。三解答题13 （ 1）23222123231332221231212131111aaaaaaaaaaaaaaaaaad； (4分)（2）kiikkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaad1222122212121211111，21nnnadd，所以1nndd。 (4分)14 （ 1）)2() 1(|2kka；(2 分)（ 2）2,1 kk，有唯一解；1

7、k时无解，2k且1l时无解； (2分)2k且1l时有无穷多解，通解为11102531c。 (4分)15 （ 1）2| a，ebea)2(。（4 分）（ 2）1200030014121)2(1eab。（4 分）16 （ 1）3/16/203/16/12/13/16/12/1q，011101110a。 (6分)（ 2）b实对称，且特征值为4,4,1,都大于零，所以正定。 (2分)17 （ 1） 因为0)2(8|3|yae，所以2y。aat的特征值为9111，。 (4分 ) （ 2）110011000020000221p，9000010000100001)()()(paapapapttt。 (4分) 18 （ 1）2100010102102112211001101111a。 (4分) （ 2）1123212/102/10010101xay。(4 分 ) 四论述与证明题19 （ 1）eaaaatt； (2分) （ 2）必要性：因为eaat，所以)()()(，tttaaaa。 (2分) 充分性：因为0)()(eaaaattttt，所以eaat为反对称矩阵。又eaat为对称矩阵，故0eaat。得eaat，a为正交矩阵。 (4分)