安徽省长丰县实验高级中学人教版高中数学四教案：1.6三角函数模型的简单应用

1、学必求其心得，业必贵于专精1。6 三角函数模型的简单应用项目内容课题1.6 三角函数模型的简单应用（共2 课时）修改与创新教学目标1.能正确分析收集到的数据， 选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律。将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型。2.通过切身感受数学建模的全过程， 体验数学在解决实际问题中的价值和作用，及数学与日常生活和其他学科的联系。认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力。3。通过函数拟合得到具体的函数模型，提高数学建模能力。并在探究中激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神 ,培养学生勇于探索、勤于思考

2、的科学精神.教学重、教学重点 :分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点 :将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调学必求其心得，业必贵于专精难点动相关学科的知识来解决问题.教学准备多媒体课件教学过程第 1 课时导入新课我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中 ,如果某种变化着的现象具有周期性 ,那么是否可以借助三角函数来描述呢?回忆必修 1 第三章第二节“函数模型及其应用”，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种

3、三角函数模型的简单应用 .推进新课新知探究提出问题回忆从前所学，指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的?数学模型是什么，建立数学模型的方法是什么？上述的数学模型是怎样建立的？怎样处理搜集到的数据?学必求其心得，业必贵于专精活动:师生互动，唤起回忆，充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已经做好复习的学生给予表扬 ,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型。对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法。在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是：收集数据画散点图选择函数模型求解函数模型检验用函数模型解释

4、实际问题 .这点很重要，学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解。新课标下的教学要求，不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题，而是教师引领学生逐步登高 ,在合作探究中自己解决问题,探求新知 .讨论结果： 描述现实世界中不同增长规律的函数模型.简单地说 ,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法。解决问题的一般程序是:1审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2建模:分析题目变化趋势，

5、选择适当函数模型；3求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结学必求其心得，业必贵于专精论;4还原:把数学结论还原为实际问题的解答.画出散点图 ,分析它的变化趋势， 确定合适的函数模型。应用示例例 1 如图 1, 某地一天从 6-14时的温度变化曲线近似满足函数 y=sin（ x+ )+b.图 1(1）求这一天的最大温差 ;(2）写出这段曲线的函数解析式.活动:这道例题是2002 年全国卷的一道高考题 ,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题 .教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决?然后完全放给学生自己讨论解决.

6、题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型。其中第 (1)小题实际上就是求函数图象的解析式，然后再求函数的最值差。教师应引导学生观察思考: “求这一天的最大温差”实际指的是“求6 是到 14时这段时间的最大温差”，可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式 .让学生体会不同的函数模型在解决具体学必求其心得，业必贵于专精问题时的不同作用 .第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数 ,即可确定其解析式。其中求是利用半周期(146),通过建立方程得解 .解:(1)由图可知，这段时间的最大温差是20 .（2）从图中可以看出，从614时的图象是函数y=asin（ x+）+b 的半个周

7、期的图象， a=21(30-10 ）=10，b=21(30+10）=20.212=146,=8?。将 x=6，y=10 代入上式 ,解得 =43.综上，所求解析式为y=10sin（8?x+43） +20,x 。点评： 本例中所给出的一段图象实际上只取614即可,这恰好是半个周期，提醒学生注意抓关键。本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被学生忽略掉 .例 2 2007全国高考函数 y=|sinx 的一个单调增区间是（）a.(4,4）b. （4,43) c。（,23) d.（23,2 )答案:c例 3 如图 2,设地球表面某地正午太

8、阳高度角为 , 为此时太阳直射纬度， 为该地的纬度值 ,那么这三个量之间的关系是 =90 | 。当地夏半年 取正值 ,冬半年 学必求其心得，业必贵于专精取负值 .如果在北京地区（纬度数约为北纬40）的一幢高为 h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少?活动: 如图 2 本例所用地理知识、物理知识较多，综合性比较强 ,需调动相关学科的知识来帮助理解问题,这是本节的一个难点。在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量的含义以及它们之间的数量关系.首先由题意要知道太阳高度角的定义：设地球表面某地纬度值为 ， 正午太阳高度角为 , 此时太阳直射纬度

9、为 , 那么这三个量之间的关系是 =90-| 。当地夏半年 取正值,冬半年 取负值。根据地理知识 ,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带，图形如图3,由画图易知太阳高度角 、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系 :h0=htan .由地理知识知，在北京地区，太阳直射北回归线时物体的影子最短 ,直射南回归线时物体的影子最长。 因此，为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应当考虑太阳直射南回归线时的情况.学必求其心得，业必贵于专精图 3解：如图 3,a、b、c 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太

10、阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度23 26 . 依题意两楼的间距应不小于mc。根据太阳高度角的定义，有 c 90 40 （ 23 26 ） 26 34，所以 mcchtan0=3426tan0h 2。 000h0,即在盖楼时 ,为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距 .点评： 本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图 2 来建立函数模型，学生会有一定困难，而解决这一困难的关键是联系相关知识，画出图 3，然后由图形建立函数模型 ,问题得以求解 .这道题的结论有一定的实际应用价

11、值 .教学中 ,教师可以在这道题的基础上再提出一些问题 ,如下例的变式训练，激发学生进一步探究.学必求其心得，业必贵于专精变式训练某市的纬度是北纬23，小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高 7层,每层 3米，楼与楼之间相距15米。要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡，他应选择哪几层的房 ?图 4解:如图 4,由例 3知，北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan 90 (23 +23 26） =15tan43 34 14。26,由于每层楼高为3米，根据以上数据 ,所以他应选 3层以上 .知能训练课本本节练习 1、2。解答:1。乙点的位置将移至它关于x 轴的对称点处。点评:因为波从乙点传到

12、戊点正好是一个周期,经过21周期,波正好从乙点传到丁点，又因为在波的传播过程中,绳上各点只是上下震动 ,纵坐标在变，横坐标不变，所以经过21周期，乙点位置将移至它关于x 轴的对称点处 ,即横坐标不变，纵坐标与图中的丁点相同.学必求其心得，业必贵于专精2。如 cctv-1 新闻联播节目播出的周期是1 天。点评:了解实际生活中发生的周期变化现象.课堂小结1。本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用，即根据图象建立解析式,根据解析式作出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗?2。实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知

13、识才能解决它.因此 ,在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题.作业1。图 5 表示的是电流 i 与时间 t 的函数关系图 5i=asin （ x+） ( 0, 2）在一个周期内的图象。（1)根据图象写出 i=asin( x+ ) 的解析式；(2)为了使 i=asin( x+）中的t 在任意一段1001s 的时间内电流 i 能同时取得最大值和最小值,那么正整数 的最小值为多少 ?解:(1)由图知 a=300,第一个零点为（3001,0),第二个零点学必求其心得，业必贵于专精为(1501,0）,( 3001） + =0, 1501

14、+ = 。 解 得 =100 ，=3, i=300sin（ 100 t+3).（2） 依题意有 t1001,即21001, 200 。故 min=629。2。搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型。解:如以下两例 :人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化,如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等;蜕皮 (tuipi）昆虫纲和甲壳纲等节肢动物，以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层,虽有保护身体的作用，但限制动物的生长、发育。因此，在胚后发育过程中，必须进行1 次或数次脱去旧表皮,再长出宽大的新表皮后，才变成成虫， 这种现象称为蜕皮； 蜕下的“旧表皮”称为“蜕”，只有这

15、样，虫体才能得以继续充分生长、发育.蜕皮现象的发生具有周期性，但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的.此外 ,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显 ,如蜥蜴和蛇具有双层角质层,其外层在定期蜕皮时脱掉 ,蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤,约每 2个月为一个周期可完整地脱落1 次,称为蛇蜕 .第 2 课时导入新课回忆上节课三角函数模型的简单应用例子，这节课学必求其心得，业必贵于专精我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用。提出问题本章章头引言告诉我们,海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象。回忆上节课的内容,怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？在指数、对数模型中是怎样

16、处理搜集到的数据的? 请 做 下 题 (2007 浙 江 高 考 ) 若 函 数f(x ） =2sin（ x+） ,x r(其中 0,| 2）的最小正周期是，且 f(0）=3,则( )a. =21, =6b. =21, =3c。 =2，=6d。 =2，=3活动 :这样的开头对学生来说是感兴趣的.教师引导学生复习、回忆、理清思路,查看上节的课下作业 .教师指导、适时设问 ,让学生尽快回忆到上节课的学习氛围中，使学生的思维状态进入到现在的情境中。讨论结果： 略d应用示例例 1 货船进出港时间问题：海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮 ,晚潮叫汐。在通常情况下 ,船在涨

17、潮时驶进航道,靠近码头 ;卸货后 ,在落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表 :学必求其心得，业必贵于专精时刻0:003：006:00 9:0012:0015：0018:0021：0024:00水深/米5。07.55。02.55.07。55.02.55。0(1） 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值 （精确到 0。001）.(2)一条货船的吃水深度 (船底与水面的距离）为4 米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离）,该船何时能进入港口？在港口能呆多久？(3）若某船的吃水深度为4 米，安全间隙为1。5 米，该船

18、在 2：00开始卸货，吃水深度以每小时0。3米的速度减少 ,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域 ?活动： 引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律 ?比如重复出现的几个数据.并进一步引导学生作出散点图 .让学生自己完成散点图，提醒学生注意仔细准确观察散点图，如图6.教师引导学生根据散点的位置排列，思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律。根据散点图中的最高点、最低点和平衡点，学生很容易确定选择三角函数模型.港口的水深与时间的关系可以用形如 y=asin（ x+ )+h的函数来刻画 .其中 x 是时间,y 是水深,我们可以根据数据确定相应的a, ， ,h的值即可 .学必求

19、其心得，业必贵于专精这时注意引导学生与“五点法”相联系。要求学生独立操作完成 ,教师指导点拨 ,并纠正可能出现的错误，直至无误地求出解析式 ,进而根据所得的函数模型，求出整点时的水深 .图 6根据学生所求得的函数模型，指导学生利用计算器进行计算求解 .注意引导学生正确理解题意,一天中有两个时间段可以进港。这时点拨学生思考:你所求出的进港时间是否符合时间情况 ?如果不符合，应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯。在本例（3）中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型。求货船停止卸货，将船驶向深水域的含义又是什么？教师引导学生将实际问

20、题的意义转化为数学解释，同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变，停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候。进一步引导学生思考:根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗?为什么 ?正确学必求其心得，业必贵于专精结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价 .通过讨论或争论 ,最后得出一致结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的 ,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨。解：(1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图 (图 6） 。根据图象，可以考虑用函数y=asin( x+ )+h刻

21、画水深与时间之间的对应关系。从数据和图象可以得出：a2。5，h5,t12， 0,由 t212，得 6。所以这个港口的水深与时间的关系可用y2.5sin6x+5 近似描述。由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：时刻0：001:002：003:004:005:006：007:008:009:0010:0011：00水深5.0006。2507.1657。57。1656.2505.0003.7542.8352.5002。8353.754时刻12：0013：0014:0015:0016:0017:0018：0019：0020：0021:0022：0023：00学必求其心得，业必贵于专精水深5.000

22、6.2507。1657。57。1656。2505。0003。7542.8352。5002。8353.754（2)货船需要的安全水深为4+1.55。5（米） ，所以当y 5。 5时就可以进港 .令 2.5sin6x+5=5。5，sin6x=0.2.由计算器可得modemode2shiftsin-10。2=0。 201 357 92 0.201 4。如图 7,在区间内 ,函数 y2.5sin6x+5 的图象与直线 y5.5有两个交点 a、b，学必求其心得，业必贵于专精图 7因此6x 0.201 4，或6x 0。 201 4.解得 xa 0.384 8,xb 5.615 2.由 函 数 的 周 期

23、性 易 得 ： xc 12+0.384 8 12.384 8，xd 12+5.615 217.615 2.因此，货船可以在 0 时 30分左右进港， 早晨 5 时 30分左右出港 ;或在中午 12 时 30 分左右进港，下午17 时 30分左右出港 .每次可以在港口停留5小时左右。图 8(3)设在时刻x 货船的安全水深为y，那么y=5.5-0.3（x-2)(x 2）.在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在 67 时之间两个函数图象有一个交点（如图8).通过计算也可以得到这个结果。 在 6 时的水深约为 5米，此时货船的安全水深约为4。3 米；6。5时的水深约为 4.2米,此时货船的安全

24、水深约为4.1米；7 时的水深约为 3.8米,而货船的安全水深约为4 米。因此为了安全， 货船最好在 6。5 时之前停止卸货 ,将船驶向较深的水域。点评:本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题 ,题目只给出了时间与水深的关系表,要想由此表学必求其心得，业必贵于专精直接得到函数模型是很困难的。对第（2)问的解答，教师引导学生利用计算器进行计算求解.同时需要强调，建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的 .这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析 .如本例中 ,一天中有两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义，对答案的合理性作出解释。变式训练发电

25、厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间t 的函数，ia=isin t ，ib=isin（ t+120 ），ic=isin( t+240 ), 则ia+ib+ic=_。答案:0例 2 图 9,是一个单摆的振动图象，据图象回答下列问题:（1)单摆振幅多大；（2)振动频率多高；(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置；(4）摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；（5）若当 g9。86 m/s2j，求摆线长。活动:引导学生观察图象并思考，这个简谐运动的函数模型是什么？引导学生结合函数上例.点拨学生考虑最高点、最低点和平衡点.通过学生讨论、思考确定选用函数 y=asin （

26、 x+ ) 来刻画单摆离开平衡位置的位移与时间之间的对应关系。学必求其心得，业必贵于专精图 9解：结合函数模型和图象：（1)单摆振幅是 1 cm;（2)单摆的振动频率为1.25 hz;(3)单摆在 0。6 s通过平衡位置时，首次具有速度的最大负值；(4）单摆在 0.4 s 时处正向最大位移处，首次具有加速度最大负值；(5）由单摆振动的周期公式t=2gl，可得 l=224gt=0。16 m。点评 :解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型,然后按数学模型处理.同时要注意检验 ,使所求得的结论符合问题的实际意义 .变式训练1.已知函数 f(x） sin( x+ ) （ 0， 0）为偶函数,且其图象

27、上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为24.(1）求函数 f(x)的解析式 ;（2)若 sinx+f（x）32,求 sinxcosx的值。解:(1) f （x)为偶函数，学必求其心得，业必贵于专精 f( x)f（x）,即 sin（ x+ ) sin( x+ ) 。2. f(x ） sin（ x+2) cos x.相邻两点 p(x0，1）,q（x0+,1） 。由题意， pq| 4)(2=2+4。解得 1. f （ x）cosx 。(2)由 sinx+f（x)32,得 sinx+cosx32。两边平方 ,得 sinxcosx 185.2.小明在直角坐标系中，用1 cm 代表一个单位长度作出了一条正

28、弦曲线的图象。若他将纵坐标改用2 cm代表一个单位长度，横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么 ?若他将横坐标改用2 cm代表一个单位长度， 而纵坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？解：小明原作的曲线为y=sinx,xr，由于纵坐标改用了2 cm 代表一个单位长度 ,与原来 1 cm 代表一个单位长度比较,单位长度增加到原来的2倍，所以原来的 1 cm只能代表21个单位长度了 .由于横坐标没有改变 ,曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为y21sinx， x r.同理，若纵坐标保持不变，横坐标改用2 cm 代表一个单位，则横坐标被压缩到原来的21,原曲线周期就由2 变为 。故改 变 横 坐 标 后 , 原 曲 线 图 象 的 解 析 式 变 为y sin2x,xr。学必求其心得，业必贵于专精3。求方程 lgxsinx实根的个数 .解：由方程式模型构建图象模型。在同一坐标系内作出函数ylgx 和 ysinx的图象，如图10.可知原方程的解的个数为3。图 10点评： 单解方程是很困难的 ,而根据方程式模型构建图象模型，利用数形结合来解就容易多了,教师要让学生熟练掌握这一方法。知能训练课本本节练习 33。本题可让学生上网查一下， 下载有关人体节律的软件,利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线，它们都是正弦型函数图象，