试析分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法

1、    试析分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法    李明伟 李永芳o241.6 a 2095-3089（2018）08-0151-011.问题的提出在研究矩阵的求解、特征值等方面，分块周期三对角矩阵具有其特殊性，对计算机及相关工程发展有重要意义。因此，本文提出了利用sheman-morrison-woodbury公式来获得分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法。本文研究型如矩阵a的分块周期三对角矩阵的逆矩阵算法：a=a1 b1 0 0 tc2 a2 b2 0 00 c3 a3 0 00 0 0 ？噎 an-1 bn-1s 0 0 ？噎 cn an其中a的元素a

2、i，bi，ci，s，t均为m阶方阵，根据s，t，m的取值不同，其分别称为矩阵a的不同形式。2.预备知识为了研究型如矩阵a的逆矩阵算法，通过以下引理作为理论基础进行分析。引理 1：假设c为分块三对角矩阵，根据lu、ul对矩阵进行分解，分解结果如下：c=l1u1=il1 i l2 i ？埙 ？埙 ln-1 iu1 b1 u2 b2 u ？埙 ？埙 bn-1 un=u2l2=1 b 2 b21 3 ？塤 ？埙 bn-1 ni1 i 2 i ？埙 ？埙 n-1 i其中序列li，ui，ii可以按照u1=a1，li-1=ciui-1-1，ui=ai-li-1bi-1，其中i=2，3，n。引理2：设b为n阶

3、可逆方阵，x，y是n维列向量，当且仅当1+ytb-1x0时，b+xyt为可逆的，并得出等式（1）（b+xyt）-1=b-1- （1）引理3：设b为n阶的可方阵，x，y均为nm×m矩阵，则当且仅当im+ytb-1x可逆时，b+xyt为可逆的，并得出等式（2）（b+xyt）-1=b-1-b-1x（im+ytb-1x）-1ytb-1 （2）3.新算法的构建那么结合引理，给定m阶可逆方阵p1，q1，令qn=pt，pn=qs，那么可以构造向量：p=p100pn，qt=（q1，0，0，qn）那么分块周期三对角矩阵b表示为：b=d+pqt，根据引理3等式（2）可以将矩阵bd的关系表述为：b-1=（

4、d+pqt）-1=d-1-d-1p（im+qtd-1x）-1qtd-1那么如果矩阵b为型如a的矩阵，那么假设矩阵d为可逆的，则矩阵b需要满足im+qtd-1p是可逆的，并可以通过下列算法获得矩阵b？鄄1的元素。给定任意p1，q1，qn=p1-1t，pn=q1-1s，u1=a1-p1q1，li-1=ciui-1-1，ui=ai-li-1bi-1，其中i=2，3，n，an=n-pnqn，i=i+1-1ci+1，i=ai-bii，其中i=n-1，n-2，1给定g1=im，x1=im，将hi，gi，xi，yi带入上式，则有h1=1-1，hi=-bi-1hi-11-1，其中i=2，3，n，gn=（unhn）-1，gi=-bihi+1ui-1，其中i=n-1，n-2，1y1=1-1，yi=-i-1yi-1，其中i=2，3，nxn=（unhn）-1，xi=-lixi+1，其中i=n-1，n-2，1那么有=im+（q1g1h1+qnynx1）p1+（q1g1hn+qnynxn）pn=-1（