组合数学广义的容斥原理实用教案

1、会计学1组合数学广义组合数学广义(gungy)的容斥原理的容斥原理第一页，共40页。23.6 广义广义(gungy)的容斥的容斥原理原理容斥原理容斥原理(yunl)解决解决的问题的问题:nAAA.21 nA.AA21广义的容斥原理广义的容斥原理(yunl)解决解决的问题的问题niiA.A.AAA121第1页/共40页第二页，共40页。33.6 广义广义(gungy)的容斥的容斥原理原理 求只参加求只参加(cnji)了数学课的人数？了数学课的人数？ 只参加只参加(cnji)了物理课的人数？了物理课的人数？ 只参加只参加(cnji)了化学课的人数？了化学课的人数？ 例例3.6.1：一个学校：一个学

2、校(xuxio)只有数学，物只有数学，物理，化学理，化学3门课门课 。学这。学这3门课的学生人数分别门课的学生人数分别是是170,130,120；同时学数学、物理两门课的学；同时学数学、物理两门课的学生有生有45人；同时学数学、化学的有人；同时学数学、化学的有20人；同时人；同时学物理、化学的有学物理、化学的有22人；同时修三门课的学生人；同时修三门课的学生有有3人，问这个学校人，问这个学校(xuxio)共有多少学生共有多少学生? 只参加了数学、物理课的人数？只参加了数学、物理课的人数？ 只参加了数学、化学课的人数？只参加了数学、化学课的人数？第2页/共40页第三页，共40页。4CPM 单修一

3、门数学，即修数学而不修物理和化单修一门数学，即修数学而不修物理和化学的学生数；可如下学的学生数；可如下(rxi)(rxi)表示：表示： 解：设解：设M为修数学课的学生为修数学课的学生(xu sheng)集合集合；P为修物理课的学生为修物理课的学生(xu sheng)集合；集合；C为修为修化学课的学生化学课的学生(xu sheng)集合，集合， 求只参加求只参加(cnji)了数学课的人了数学课的人数？数？3.6 广义的容斥原理广义的容斥原理第3页/共40页第四页，共40页。5CPM)()(CMPMMCPM关于关于(guny)M(guny)M互为补集互为补集1083)2045(170MPC)()(

4、)(CPMCMPMM)()(CMPM因此：只参加因此：只参加(cnji)(cnji)数学课学习的人数有数学课学习的人数有3.6 广义广义(gungy)的容斥的容斥原理原理第4页/共40页第五页，共40页。6只学数学只学数学(shxu)(shxu)、物理两门课物理两门课CPM)()(CPMPM42345MPC3.6 广义广义(gungy)的容斥的容斥原理原理*第5页/共40页第六页，共40页。73.6.1 3.6.1 一般一般(ybn)(ybn)公式公式假定假定(jidng)(jidng)全集是全集是N,N,其中有其中有A1,A2,AnA1,A2,An个子集，个子集，定义：当定义：当m0m0时时

5、miiiAAAm.)(21对于对于(duy)(duy)特殊情况特殊情况m=0m=0时定义时定义: :N)0(3.6 广义的容斥原理广义的容斥原理nAAA. 21nnniijjhhjiniijjiniiAAAAAAAAAN.)1( . 21111第6页/共40页第七页，共40页。8)(mnmmmiiiiiiAAAAAAm.)(2121nAAA.)0(213.6 广义广义(gungy)的容的容斥原理斥原理 定义定义 是正好是正好(zhngho)(zhngho)存在于存在于m m个集合的元素个集合的元素的个数的个数第7页/共40页第八页，共40页。9 例例3.6.2 3.6.2 设设N=1,2,3,

6、14,4N=1,2,3,14,4个集合个集合(jh)A1,A2,A3,A4(jh)A1,A2,A3,A4。 A1=2,5,8,12,13, A1=2,5,8,12,13,； A2=1,3,5,6,7,8,10,12,14 A2=1,3,5,6,7,8,10,12,14； A3=1,4,5,7,12,13 A3=1,4,5,7,12,13； A4=1,4,5,7,12,14 A4=1,4,5,7,12,14。3.6 广义广义(gungy)的容的容斥原理斥原理第8页/共40页第九页，共40页。10N123456789 10 11 12 13 14A1A2A3A4m=0m=0时时, ,14) 0 (

7、 Nm=1m=1时时, ,266695) 1 (4321AAAAm=2m=2时时, ,434232413121 )2(AAAAAAAAAAAA225542333.6 广义广义(gungy)的容的容斥原理斥原理m=4m=4时时, ,2)4(4321AAAA第9页/共40页第十页，共40页。114321) 0 (AAAA4321432143214321) 1 (AAAAAAAAAAAAAAAA 432143214321432143214321 ) 2 (AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA440031211, 93.6 广义广义(gungy)的容的容斥原理斥原理N123456789 1

8、0 11 12 13 14A1A2A3A4第10页/共40页第十一页，共40页。12定理定理(dngl)3.3.4 (dngl)3.3.4 广义容斥原理的广义容斥原理的证明证明)(),() 1( .)2(), 2() 1(), 1()()(nmnCmmmCmmmCmmmn证明证明(zhng(zhngmng)mng)：miiiAAAm.)(21 aN,aN,设它属于设它属于(shy)t(shy)t个集合个集合分分tmtm三种情况来讨论三种情况来讨论(1)(1)若若tm,tm,tm, 因为左端是正好存在因为左端是正好存在(cnzi)(cnzi)于于m m个集合的元素个集合的元素，因此左端没有计算，

9、因此左端没有计算a a，在右端的情况分析在右端的情况分析(fnx)(fnx)如下：如下：3.6 广义广义(gungy)的容斥的容斥原理原理)(),() 1( .) 2(), 2() 1(), 1()()(nmnCmmmCmmmCmmmnmiiiAAAm.)(21nmmmiiiiiiAAAAAAm.)(2121第13页/共40页第十四页，共40页。15.次中计算了在),()(ttCta设设a a包含包含(bohn)(bohn)在在t t个集合中个集合中,A1,A2,.,At,A1,A2,.,At，tm,tm,?)(中计算了多少次在ma),( mtC3.6 广义广义(gungy)的容斥的容斥原理原

10、理) 1,(mtC？m中计算多少次在) 1(a)(),() 1( .) 2(), 2() 1(), 1()()(nmnCmmmCmmmCmmmnmiiiAAAm.)(21第14页/共40页第十五页，共40页。16),(),() 1( .) 2,(), 2() 1,(), 1(),(ttCmtCmtCmmCmtCmmCmtClmt3.6 广义广义(gungy)的容斥的容斥原理原理设设a a包含包含(bohn)(bohn)在在t t个集合中个集合中,A1,A2,.,At,A1,A2,.,At，tm,tm, 因为左端是正好存在于因为左端是正好存在于m m个集合的元素，因此个集合的元素，因此(ync)

11、(ync)左端没有计算左端没有计算a a， 右端关于右端关于a a的计算的计算: :),(),() 1( .), 2() 2,(), 1() 1,(),(mtCttCmmCmtCmmCmtCmtClmt第15页/共40页第十六页，共40页。17),(),() 1( .), 2() 2,(), 1() 1,(),(mtCttCmmCmtCmmCmtCmtClmt3.6 广义广义(gungy)的容的容斥原理斥原理利用利用(lyng)(lyng)公式：公式：),(),(),(),(rkrnCrnCrkCknC),(),() 1( .)2 ,(),() 1 ,(),(),(mtmtCmtCmtCmtC

12、mtCmtCmtClmt),() 1( .)2 ,() 1 ,(1),(mtmtCmtCmtCmtCmt第16页/共40页第十七页，共40页。18),() 1(.)2 ,() 1 ,(1),(mtmtCmtCmtCmtCmt 中括号各项正好中括号各项正好(zhngho)(zhngho)是是(1-x)t-m(1-x)t-m的系数的系数, , mtmtmtxmtmtCxmtCxmtCx),() 1(.)2 ,() 1 ,(1)1 (23.6 广义广义(gungy)的容斥的容斥原理原理如果如果(rgu)(rgu)令令x=1,x=1,得到：得到：0),() 1(.)2 ,() 1 ,(1mtmtCmt

13、CmtCmt第17页/共40页第十八页，共40页。19综合综合(zngh)(zngh)以上三种情况：以上三种情况：)(),() 1( .)2(), 2() 1(), 1()()(nmnCmmmCmmmCmmmn推论推论(tuln)3.1(tuln)3.1)() 1(.)2() 1 ()0()0(nn3.6 广义广义(gungy)的容的容斥原理斥原理 aN,aN,设它属于设它属于t t个集合个集合分分tmtm三种情况来讨论三种情况来讨论第18页/共40页第十九页，共40页。203.7 广义广义(gungy)容斥原理的若干应容斥原理的若干应用用线性方程线性方程(xin xn(xin xn fnfn

14、 chn chn) )整数解的问整数解的问题题rxxxn.21 的零或正整数解的数目的零或正整数解的数目(shm)(shm)，其中，其中x1,x2,xnx1,x2,xn是变量是变量，n1,r0,nn1,r0,n和和r r都是正整数。都是正整数。 这个方程的任一非负整数解都可以看做是这个方程的任一非负整数解都可以看做是r r个无个无区别的球放进区别的球放进n n个有标志个有标志x x1 1,x,x2 2, ,x,xn n的盒子，允许空的盒子，允许空盒，盒，), 1(rrnC第19页/共40页第二十页，共40页。21例例3.6.4 3.6.4 求方程求方程x1+x2+x3=15x1+x2+x3=1

15、5的整数解的数目的整数解的数目(shm)(shm)，要求要求0 x15,0 x26,0 x370 x15,0 x26,0 x37。如果如果(rgu)(rgu)没有附加条件，即求：没有附加条件，即求： x1+x2+x3=15 x1+x2+x3=15的零的零或正整数解，即要求：或正整数解，即要求： x10 x10，x20 x20，x30 x30。 C(3+15-1,15)=C(17,15)=C(17,2)C(3+15-1,15)=C(17,15)=C(17,2)变为讨论变为讨论(toln)(toln)问题问题x1+x2+x3=15x1+x2+x3=15的整数解，求的整数解，求：x16x16，x27

16、x27，x38x38。3.7 广义容斥原理的若干应用广义容斥原理的若干应用第20页/共40页第二十一页，共40页。22例例3.6.4 3.6.4 求方程求方程(fngchng)x1+x2+x3=15(fngchng)x1+x2+x3=15的整的整数解的数目，数解的数目，要求要求0 x15,0 x26,0 x370 x15,0 x26,0 x37。解解: :令令N N为全体为全体(qunt)(qunt)非负整数非负整数解解(x1,x2,x3),(x1,x2,x3),A1A1为其中为其中x16x16的解；的解；A2A2为其中为其中x27x27的解；的解；A3A3为其中为其中x38x38的解。的解。

17、3.7 广义广义(gungy)容斥原理的若容斥原理的若干应用干应用 A A1 1的个数，相当于对（的个数，相当于对（y y1 1+6+6）+x+x2 2+x+x3 3=15=15求非负求非负整数解的个数。整数解的个数。C(3+9-1,9)=C(11,2)C(3+9-1,9)=C(11,2)y y1 1=x=x1 1-60-60的解；的解；y y2 2=x=x2 2-70-70的解；的解；y y3 3=x=x3 3-80-80的解。的解。第21页/共40页第二十二页，共40页。23A A2 2的个数，相当于对的个数，相当于对x x1 1+(y+(y2 2+7)+x+7)+x3 3=15=15求非

18、负整求非负整数解的个数。数解的个数。C(3+8-1,8)=C(10,2)C(3+8-1,8)=C(10,2)A A3 3的个数，相当于对的个数，相当于对x x1 1+x+x2 2+(y+(y3 3+8)=15+8)=15求非负整求非负整数解的个数。数解的个数。C(3+7-1,7)=C(9,2)C(3+7-1,7)=C(9,2)3.7 广义容斥原理广义容斥原理(yunl)的若的若干应用干应用第22页/共40页第二十三页，共40页。24) 2 , 9 (),2 ,10(),2 ,11(),2 ,17(321CACACACN性质性质(xngzh)A1A2(xngzh)A1A2的个数，相当于对的个数，

19、相当于对（y1+6y1+6）+(y2+7)+x3=15+(y2+7)+x3=15求非负整数解的个数。求非负整数解的个数。即求即求y1+y2+x3=2y1+y2+x3=2的非负整数的非负整数(zhngsh)(zhngsh)解，其解，其解的个数为解的个数为C(3+2-1,2)=C(4,2)C(3+2-1,2)=C(4,2)性质性质(xngzh)A1A3(xngzh)A1A3的解的个数，相当于的解的个数，相当于对对(y1+6)+x2+(y3+8)=15(y1+6)+x2+(y3+8)=15求非负整数解的个数。求非负整数解的个数。即求即求y y1 1+x+x2 2+y+y3 3=1=1的非负整数解，其

20、解的个数为的非负整数解，其解的个数为C(3+1-1,1)=C(3,1)C(3+1-1,1)=C(3,1)3.7 广义容斥原理的若干应用广义容斥原理的若干应用第23页/共40页第二十四页，共40页。25性质性质(xngzh)A2A3(xngzh)A2A3的个数，相当于对的个数，相当于对x1+(y2+7)+(y3+8)=15x1+(y2+7)+(y3+8)=15求非负整数解的个数。求非负整数解的个数。即求即求x1+y2+y3=0 x1+y2+y3=0的非负整数的非负整数(zhngsh)(zhngsh)解解，其解的个数为，其解的个数为C(3+0-1,0)=C(2,0)C(3+0-1,0)=C(2,0

21、) 2 , 9 (),2 ,10(),2 ,11(),2 ,17(321CACACACN) 0 , 2(),1 , 3 (),2 , 4(323121CAACAACAA3.7 广义广义(gungy)容斥原理的若干容斥原理的若干应用应用第24页/共40页第二十五页，共40页。26 性质性质(xngzh)A1A2A3(xngzh)A1A2A3的个数，相当于对的个数，相当于对(y1+6)+(y2+7)+(y3+8)=15(y1+6)+(y2+7)+(y3+8)=15求非负整数解的个数。求非负整数解的个数。即求即求y1+y2+y3=-6y1+y2+y3=-6的非负整数的非负整数(zhngsh)(zhn

22、gsh)解，其解，其解的个数解的个数0 00321AAA) 3 () 2 () 1 () 0 () 0 (100)0 , 2 () 1 , 3 () 2 , 4 ()2 , 9 () 2 ,10() 2 ,11() 2 ,17(CCCCCCC3.7 广义容斥原理广义容斥原理(yunl)的若干应的若干应用用第25页/共40页第二十六页，共40页。27例例3.6.5 3.6.5 求方程求方程x1+x2+x3=15x1+x2+x3=15的整数解的数目的整数解的数目(shm)(shm)，要求要求3x15,2x26,1x373x15,2x26,1x37。3.7 广义容斥原理的若干广义容斥原理的若干(ru

23、gn)应用应用作变换作变换(binhun)(binhun)0 x1-32,0 x2-24,0 x3-160 x1-32,0 x2-24,0 x3-16。第26页/共40页第二十七页，共40页。28FHABCDEGO(0,0)P(10,5) 例例3.6.63.6.6：如图所示，：如图所示， 1 1、求从、求从O(0,0)O(0,0)点到点到P(10,5)P(10,5)点的路径点的路径(ljng)(ljng)中不通中不通过过AB,CD,EF,GHAB,CD,EF,GH中任何一条路径中任何一条路径(ljng)(ljng)的路径的路径(ljng)(ljng)数。数。 坐标分别为坐标分别为:A(2,2)

24、,B(3,2),C(4,2),:A(2,2),B(3,2),C(4,2),D(5,2),E(6,2),F(6,3),G(7,2),H(7,3)D(5,2),E(6,2),F(6,3),G(7,2),H(7,3)。 2 2、只通过其中两个的路径、只通过其中两个的路径(ljng)(ljng)数。数。路径路径(ljng)数数问题问题:第27页/共40页第二十八页，共40页。29FHABCDEGO(0,0)P(10,5)解：令解：令A1A1为从为从O O点到点到P P点过点过ABAB边的路径边的路径(ljng)(ljng)； 令令A2A2为从为从O O点到点到P P点过点过CDCD边的路径边的路径(l

25、jng)(ljng)； 令令A3A3为从为从O O点到点到P P点过点过EFEF边的路径边的路径(ljng)(ljng)； 令令A A4 4为从为从O点到点到P P点过点过GHGH边的路径；边的路径；) 3 ,10() 2 , 4(1CCA ) 3 , 8 () 2 , 6(2CCA ) 2 , 6() 2 , 8 (3CCA ) 2 , 5 () 2 , 9 (4CCA 路径数问题路径数问题:第28页/共40页第二十九页，共40页。30) 2 , 6)(2 , 4 (321CAAA) 2 , 5)(2 , 4 (421CAAA0431AAA0432AAA04321AAAA) 3 , 8 ()

26、 2 , 4 (21CCAA) 2 , 6 () 2 , 4 (31CCAA) 2 , 5 () 2 , 4 (41CCAA) 2 , 6 () 2 , 6 (32CCAA) 2 , 5 () 2 , 6 (42CCAA043AA 路径路径(ljng)数数问题问题:FHABCDEGO(0,0)P(10,5)第29页/共40页第三十页，共40页。31如果求正好过上述如果求正好过上述(shngsh)(shngsh)四条线段中两条的路径数四条线段中两条的路径数)4()2 , 4()3()2 , 3()2()2(CC)2 , 5 () 2 , 6 () 2 , 6 () 2 , 6 () 2 , 5

27、() 2 , 4() 2 , 6 () 2 , 4() 3 , 8 () 2 , 4(CCCCCCCCCC)2 , 5()2 , 4()2 , 6()2 , 4(3CCCC) 4() 3 () 2() 1 () 0() 0() 2 , 5 () 2 , 9 () 2 , 6 () 2 , 8 () 3 , 8 () 2 , 6 () 3 ,10() 2 , 4() 5 ,15(CCCCCCCCC 0) 2 , 5 () 2 , 6 () 2 , 6 () 2 , 6 () 2 , 5 () 2 , 4 () 2 , 6 () 2 , 4 () 3 , 8 () 2 , 4 (CCCCCCCCC

28、C)2 , 5 () 2 , 4 () 2 , 6 () 2 , 4 (CCCC不通过上述四条线段中任何不通过上述四条线段中任何(rnh)(rnh)一条的路径数一条的路径数路径路径(ljng)数数问题问题:*第30页/共40页第三十一页，共40页。321 1、求、求n n对夫妻对夫妻(fq)(fq)排成一行，夫妻排成一行，夫妻(fq)(fq)相邻相邻的排列数。的排列数。解：解：nnn2!)(3.10,n对夫妻对夫妻(fq)问问题。题。2 2、求、求n n对夫妻对夫妻(fq)(fq)排成一行，夫妻排成一行，夫妻(fq)(fq)不不相邻的排列数。相邻的排列数。解：设解：设A Ai i是第是第i i

29、对夫妻排在一起的排列集。对夫妻排在一起的排列集。正好有正好有m m对夫妻排在一起的方案数对夫妻排在一起的方案数第31页/共40页第三十二页，共40页。33解：设解：设AiAi是第是第i i对夫妻排在一起对夫妻排在一起(yq)(yq)的排列的排列集。集。2)!12(nAi22)!22(nAAjihihiihnAAA2)!2(.21nn2)!12() 1 ()2 ,(2)!22()2(2nCn),(2)!2()(hnChnhhnnn2!)(3.10,n对夫妻对夫妻(fq)问题问题。第32页/共40页第三十三页，共40页。34nnnnnCnnCnnCn2!),() 1(.2)!22)(2 ,(2)!

30、12)(1 ,()!2()0(2)() 1(.) 2 () 1 () 0 () 0 (nn3.10,n对夫妻对夫妻(fq)问题问题。)(),() 1( .) 2(), 2() 1(), 1()()(nmnCmmmCmmmCmmmn正好正好(zhngho)(zhngho)有有m m对夫妻排在一起对夫妻排在一起的方案数的方案数第33页/共40页第三十四页，共40页。353,n3,n对夫妻围一圆桌对夫妻围一圆桌(yunzhu)(yunzhu)而坐，夫妻相邻的排而坐，夫妻相邻的排列数。列数。nn2)!1( 3.10,n对夫妻对夫妻(fq)问问题。题。4 4、n n对夫妻围一圆桌而坐，夫妻不相邻对夫妻围一圆桌而坐，夫妻不相邻(xin(xin ln) ln)的方案数？的方案数？解：设解：设A Ai i是第是第i i对夫妻排在一起的排列集。对夫妻排在一起的排列集。正