三角四心共搭台向量运算来唱戏

1、中学生数学 ·年月上·第期（高中）高考甘肃省礼县职业中等专业学校（）杨虎园三角形的 “四心 ”是三角形的重要特征 ，在把握三角形的 “四心 ”，从本质上要对向量综合三角形的研究中有着重要的作用 ，在高中学习运算有娴熟的驾驭能力 ，以此为启示 ，我们不地向量及解三角形 、三角函数 、解析几何 、立体几妨看看下面的两道变式 何等章节都与三角形的 “四心 ”知识相关 ，尤其二、变式探索与平面向量综合知识的联系更为普遍 ，而同学变式一（年湖南高考文科第题） 们常常对这 “四心 ”概念不太清楚 ，甚至张冠李若是所在平面上一点 ，若 ·戴 但在学习此部分内容的过程中不仅要求我

2、 ·是的 · ，则 们熟练掌握向量的坐标运算 、平面向量垂直及（）（）内心共线等相关知识 ，充分认识向量的双重身份 ，（）外心深刻理解三角形的 “四心 ”，更要利用向量这个（）重心（）垂心桥梁研究三角形的“四心 ”问题，增强思维的灵活性，提高解决问题的能力一、一道陈题的启示（年河北高考文科第题）点是三 角形 所在平面内的一点 ，满足·， · ·是 的则 点（）（）三个内角的角平分线的交点（）三条边的垂直平分线的交点（）三条中线的交点（）三条高的交点解析由·· ·， 得· · ，即（ ），

3、3;所以，得 同理， ，所以点是的的三条高的交点选（）不难看出 ，年的这道高考题是以三角解析由于三条边的垂直平分线的交点即外心，三角形三个内角的角平分线的交点即内心，三条中线的交点即重心 ，三条高的交点即垂心，由上题的分析知此题选 （）变式二已知点是所在平面内 ，一点 ，且则点的（）是一定是 （）垂心（）重心（）外心（）内心解析由 ， ，得 即 （）·（）（ ·（ ）， ·（）得 ·（ ）， 于是·（ ）， 得，· 故同理 ， ， 所以是的垂心 ，选（）以上两道变式都是对三角形的垂心的考形为背景平台 ，借助向量的运算来考察考生对三角形

4、垂心的理解 ，并要求对三角形的内心 、外心、重心、垂心有明确的认识 从概念上正确察，变式一是 年的湖南文科高考题 ，题干部分与全国卷相同 ，只是在选项的设计更注重对垂心的认识 ，要明确垂心就是三角形的三条网址：··电子邮箱 ：中学生数学 ·年月上·第期（高中）高线的交点 ，才能正确作答 相比变式一 ，变式二则更注重对向量的加减法及基本运算的考察 ，题目在条件的设置上比变式一更多点运算难度与技巧要求基于对垂心的探索 ，下面我们对三角形的 “四心 ”进行拓展 三、拓展延伸拓展一设 是 所在平面内一点，则 是 的垂心的充要条件是 · · &

5、#183; 拓展二设 是所在平面内一点 ，则是的重心的充要条件是 ，或 （其中是 平面上任意一点 ）拓展三设 是所在平面内一点 ，则是 的外心的充要条件是或 ·（ ）·，（）·（）拓展四设是所在平面内一点 ，则是的内心的充要条件是·或 （、 是的内角，所对的边长 ，是平面上任意一点 ）以上拓展把三角形的“四心 ”与平面向量有机地结合起来 ，用向量的知识研究三角形的问题，其皆可由向量加法的三角形法则和平行四边形法则证明，限于篇幅此处证明过程略 四、三角形 “四心 ”的应用（年高考海南卷理科第题）已知、在所在平面内 ，且， 且 ·， 依次是

6、3;· ，、 则点 （的）（重）心、外心、垂心（重）心、外心、内心（外）心、重心、垂心（注：三角形的三条高线交于一点 ，此点为三角形的垂心 ）解析 此题在原参考答案中运用向量的 高知识给出了解答 ，但是根据上面的拓展结论很快便可得出答案 由拓展三知 为的外 考心，由拓展二知 为重心，由拓展一知 为垂 园，（）地心故选如 图 在 ，中 为的中点， 为 的重心，为的外：心求证 证明 如图，建立平面直角坐标系 ，设 （， ），（ ，），（，）由，中点坐标公式的得 （），因，），于是（， ， 所以 设的外心在 轴上其坐标为（，）由，拓展三知 有由， ，平面向量的坐标运算得（）（） 得，所以），连接、（， ，得、，由拓展二知 （，），故（，），所以· （）（）（ ××），所以 ，于是 向量是既有大小 ，又有方向的量 ，它可以像数一样满足 “运算性质 ”进行代数形式的坐标运算 ，又可以利用其几何意义进行几何形式的恒等变换，而向量的坐标运算可以把实数对与向量联系起来 ，在此题中仍然是以三角形为素材平台 ，结合重心与外心的性质来证明线段的垂直 ，所以向量就成为数形结合的桥梁 ，把不容易