《中考课件初中数学总复习资料》18第四章 第四节

1、第四节等腰三角形与直角三角形知识点一知识点一 等腰三角形等腰三角形等腰三角形：有等腰三角形：有_相等的三角形是等腰三角形相等的三角形是等腰三角形等腰三角形的性质等腰三角形的性质(1)(1)等腰三角形的两个底角等腰三角形的两个底角_(_(简写成简写成“等边对等角等边对等角”) )(2)(2)等腰三角形的顶角等腰三角形的顶角 _、底边上的、底边上的_、底边上的高相互重、底边上的高相互重合合( (简写成简写成“三线合一三线合一”) )(3)(3)等腰三角形是轴对称图形，有等腰三角形是轴对称图形，有_条对称轴对称轴为底边上的高所条对称轴对称轴为底边上的高所在直线在直线 两边两边 相等相等 平分线平分线

2、 中线中线 1 1 当已知等腰三角形的一个角时，要先确定该角是顶角还是底角，分情当已知等腰三角形的一个角时，要先确定该角是顶角还是底角，分情况进行讨论；当已知等腰三角形的两边时，除了确定哪条边作为腰或底外，况进行讨论；当已知等腰三角形的两边时，除了确定哪条边作为腰或底外，一定不要忽视三角形的三边关系一定不要忽视三角形的三边关系等腰三角形的判定等腰三角形的判定(1)(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形(2)(2)如果一个三角形有两个如果一个三角形有两个_相等，那么这两个角所对的边也相等相等，那么这两个角所对的边也相等( (简写成简写成“等角对等边等角对等边”)

3、) 角角 知识点二知识点二 等边三角形等边三角形等边三角形：三条边都相等的三角形是等边三角形等边三角形：三条边都相等的三角形是等边三角形等边三角形的性质等边三角形的性质(1)(1)等边三角形的三个内角等边三角形的三个内角 _，每个内角都等于，每个内角都等于 _(2)(2)等边三角形是轴对称图形，有等边三角形是轴对称图形，有_条对称轴条对称轴都相等都相等6060 3 3 等边三角形的判定等边三角形的判定(1)(1)三条边都相等的三角形是等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形(2)(2)三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形(3)(3)有一个角等于有一个角等于6060

4、的的_是等边三角形是等边三角形(4)(4)有两个角等于有两个角等于 _的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形等腰三角形等腰三角形6060知识点三知识点三 直角三角形直角三角形直角三角形的性质直角三角形的性质(1)(1)直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角 _(2)(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的直角三角形斜边上的中线等于斜边的 _(3)(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于3030，那么它所对的直角边等于，那么它所对的直角边等于斜边的斜边的_互余互余一半一半 一半一半 (4)(4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边在直角三角

5、形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于所对的角等于 _(5)(5)勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方如果勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方如果用用a a，b b和和c c分别表示直角三角形的两直角边长和斜边长，那么分别表示直角三角形的两直角边长和斜边长，那么_3030a a2 2b b2 2c c2 2直角三角形的判定直角三角形的判定(1)(1)有一个角是有一个角是 _的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形(2)(2)有两个角有两个角 _的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形(3)(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长勾股

6、定理的逆定理：如果三角形的三边长a a，b b，c c满足满足 _，那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形(4)(4)如果三角形一边上的如果三角形一边上的_等于这条边的一半，那么这个三角形是等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形直角三角形9090互余互余a a2 2b b2 2c c2 2 中线中线 知识点四知识点四 等腰直角三角形等腰直角三角形性质性质(1)(1)两直角边两直角边_；(2)(2)两锐角相等且都等于两锐角相等且都等于_；(3)(3)斜边长等于直角边长的斜边长等于直角边长的 倍倍判定判定(1)(1)顶角为顶角为9090的等腰三角形；的等腰三角形；(2)(2)有

7、两个角为有两个角为4545的三角形；的三角形；(3)(3)有一个锐角为有一个锐角为4545的直角三角形；的直角三角形；(4)(4)两直角边相等的直角三角形两直角边相等的直角三角形. .2相等相等4545考点一考点一 等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定命题角度命题角度等腰三角形性等腰三角形性质质求角度求角度例例1 1 (2017 (2017江西江西) )如如图图是一把园林剪刀，把它抽象是一把园林剪刀，把它抽象为图为图，其中，其中oaoaobob，若剪刀若剪刀张张开的角开的角为为3030，则则a a 度度【分析分析】 要求要求a a的度数，可在的度数，可在aobaob中利用三角形内角和求

8、解，而中利用三角形内角和求解，而oaoaobob，可利用等腰三角形的性质得到，可利用等腰三角形的性质得到a ab b，再由对顶角相等求解，再由对顶角相等求解【自主解答自主解答】 由对顶角相等可知由对顶角相等可知aobaob3030，oaoaobob，a ab b，由三角形的内角和为，由三角形的内角和为180180可知，可知，a ab baobaob180180，a a (180(180aob)aob)7575. .12命题角度命题角度等腰三角形判定与分类讨论思想等腰三角形判定与分类讨论思想例例2 2 (2016 (2016江西江西) )如图是一张长方形纸片如图是一张长方形纸片abcdabcd，

9、已知，已知abab8 8，adad7 7，e e为为abab上一点，上一点，aeae5 5，现要剪下一张等腰三角形纸片，现要剪下一张等腰三角形纸片( (aep)aep)，使点，使点p p落在长落在长方形方形abcdabcd的某一条边上，则等腰三角形的某一条边上，则等腰三角形aepaep的底边长是的底边长是 【分析分析】 由点由点p p在长方形在长方形abcdabcd的边上，分点的边上，分点p p在在adad上，点上，点p p在在bcbc上，点上，点p p在在cdcd上，分情况讨论来确定底边长上，分情况讨论来确定底边长【自主解答自主解答】abab8 8，adad7 7，aeae5 5，当点当点p

10、 p在在adad上时，若上时，若apeape是等是等腰三角形，则腰三角形，则apapaeae5 5，此时等腰三角形，此时等腰三角形apeape的底边的底边pepe的长为的长为5 5 ；当点；当点p p在在bcbc上时，只能是上时，只能是aeaepepe5 5，则在，则在rtrtbpebpe中，中，bebe3 3，pepe5 5，由勾股，由勾股定理得定理得bpbp4 4，则底边，则底边apap的长为的长为4 4 ；当点；当点p p在在cdcd上时，此时上时，此时apapepep，即点，即点p p在在aeae的垂直平分线上，此时底边的垂直平分线上，此时底边aeae5.5.故答案为：故答案为：5 5

11、 或或4 4 或或5.5. 2525 对于等腰三角形多解题，一般会已知一条边，然后在平面内找一点，对于等腰三角形多解题，一般会已知一条边，然后在平面内找一点，使得该点与这条边的两端点组成的图形是等腰三角形，解题时，可按以下使得该点与这条边的两端点组成的图形是等腰三角形，解题时，可按以下方式确定：分别以线段的两端点为圆心，以线段长为半径画圆；作线方式确定：分别以线段的两端点为圆心，以线段长为半径画圆；作线段的垂直平分线，从而确定点的位置简称段的垂直平分线，从而确定点的位置简称“两圆一中垂两圆一中垂”；分别确定；分别确定该三角形的三边长，再按两两相等分三类讨论计算该三角形的三边长，再按两两相等分三

12、类讨论计算考点二考点二 等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定例例3 3(2019(2019哈尔滨哈尔滨) )如图，在四边形如图，在四边形abcdabcd中，中，ababadad，bcbcdcdc，a a6060，点点e e为为adad边上一点，连接边上一点，连接bdbd，cece，cece与与bdbd交于点交于点f f，且，且ceabceab，若，若abab8 8，cece6 6，则，则bcbc的长为的长为 【分析分析】 要求要求bcbc的长，由题意的长，由题意ababadad，bcbccdcd，可知，可知acac垂直平分垂直平分bdbd，从而只需连接从而只需连接acac交交bdbd于

13、于o o，求，求bobo和和coco即可即可【自主解答自主解答】如解图，连接如解图，连接acac交交bdbd于点于点o o，ababadad，bcbcdcdc，a a6060，acac垂直平分垂直平分bdbd，abdabd是等边三角形，是等边三角形，baobaodaodao3030，ababadadbdbd8 8，bobododo4 4，ceabceab，baobaoaceace3030，cedced6060，daodaoaceace3030，aeaecece6 6，dede2.ced2.cedbadbadadbadb6060，defdef是等边三角形，是等边三角形，dfdfefef2 2，o

14、fofododdfdf2 2，在在rtrtofcofc中，中，ofcofcdfedfe6060，ococ ofof2 2 ，在在rtrtbocboc中，中，bcbc 故答案为故答案为2 .2 .3322boco2 7.7考点三考点三 直角三角形的性质与判定直角三角形的性质与判定命题角度命题角度直角三角形性质的计算直角三角形性质的计算例例4 4 (2020 (2020教材课后题改编教材课后题改编) )如图，在如图，在rtrtabcabc中，中，a a9090，bdbd平分平分abcabc交交acac于于d d，dede恰好垂直平分恰好垂直平分bcbc，若，若adad3 3，则，则cece的长为的

15、长为 【分析分析】 由由dede垂直平分垂直平分bcbc得到得到cdcdbdbd，从而得到，从而得到c ccbdcbd，再由，再由bdbd平分平分abcabc得到得到cbdcbdabdabd，结合三角形内角和可得结合三角形内角和可得c c，即可得到，即可得到abdabd，再由，再由直角三角形性质可求直角三角形性质可求abab，即可得到，即可得到bcbc，进而得到，进而得到cece的长的长【自主解答自主解答】 dede垂直平分垂直平分bcbc，dbdbdcdc，c cdbcdbc，bdbd平分平分abcabc，dbcdbcdbadba，abcabc2c2c，a a9090，abcabcc c90

16、90，c ccbdcbdabdabd3030，在，在rtrtabdabd中，中，adad3 3，abdabd3030，abab3 .3 .在在rtrtabcabc中，中，abab3 3 ，c c3030，bcbc2ab2ab6 6 ，cecebebe3 .3 .故填故填3 . 3 . 33333命题角度命题角度直角三角形判定与分类讨论思想直角三角形判定与分类讨论思想例例5 5 (2015(2015江西江西) )如图，在如图，在abcabc中，中，ababbcbc4 4，aoaobobo，p p是射线是射线coco上的一个动点，上的一个动点，aocaoc6060，则当，则当pabpab为直角为直

17、角三角形时，三角形时，apap的长为的长为 【分析分析】 根据根据pabpab是直角三角形，且点是直角三角形，且点p p是射线是射线coco上一点，可分上一点，可分apbapb9090，abpabp9090分类讨论分类讨论【自主解答自主解答】 ababbcbc，bacbacbcabca9090，当点，当点p p在在coco的延长线的延长线上时，若上时，若apbapb9090时时( (如解图如解图) )，aoaobobo，popobo.aocbo.aoc6060，bopbop6060，bopbop为等边三角形为等边三角形ababbcbc4 4，apapababsin 60sin 604 4 2 2 ；当；当abpabp9090时时( (如解图如解图) )，aocaocbopbop6060，bpobpo3030，bp bp 323在在rtrtabpabp中，中，apap 2 2 ；当点；当点p p在线段在线段coco上时，如解图上时，如解图，aoaobobo，apbapb9090，popoao.aocao.aoc6060，aopaop为等边三为等边三角形，角形，apapaoao2 2，故，故apap的长为的长为2 2