《中考课件初中数学总复习资料》专题11 四边形问题（解析版）

1、决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品专题11 四边形问题【考点1】多边形的内角和与外角和【例1】（2020·湖北宜昌·中考真题）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）a每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走b每段直路要短c每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走d每段直路要长【答案】a【分析】根据题意可知封闭的图形是正五边形，求出正五边形内角的度数即可解决问题【详解】根据题意可知，从起点走五段相等直路之后回到起点的封闭图形是正五边形，正五边形的每个内

2、角的度数为： 它的邻补角的度数为：180°-108°=72°，因此，每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走，故选：a【点睛】此题主要考查了求正多边形内角的度数，掌握并能运用多边形内角和公式是解题的关键【变式1-1】（2020·内蒙古赤峰·中考真题）一个边形的内角和是它外角和的4倍，则_【答案】10【分析】利用多边形的内角和公式与外角和公式，根据一个n边形的内角和是其外角和的4倍列出方程求解即可【详解】多边形的外角和是360°，根据题意得：，解得：故答案为：10【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的性质求多边形的边数，

3、可以转化为方程的问题来解决【变式1-2】（2020·山东烟台·中考真题）若一个正多边形的每一个外角都是40°，则这个正多边形的内角和等于 【答案】1260°【解析】一个多边形的每个外角都等于40°，多边形的边数为360°÷40°=9，这个多边形的内角和=180°×（9-2）=1260°【考点2】平行四边形的判定与性质的应用【例2】（2020·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，（1）求证：四边形为平行四边

4、形；（2）若，且，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）通过证明aom和con全等，可以得到，又因为，所以可以证明四边形为平行四边形；（2）根据，从而可以证明平行四边形是菱形，得到，再使用勾股定理计算出bn的长度，从而可以得到dm的长度【详解】（1）证明：四边形abcd是矩形，在aom和con中aomcon又四边形为平行四边形（2）四边形为平行四边形平行四边形是菱形设bn的长度为x在rtabn中，【点睛】（1）本题主要考查了如何证明平行四边形，明确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键；（2）本题主要考查了菱形的证明以及勾股定理的应用，知晓对角线互相垂直的平行四边形是

5、菱形是解题的关键【变式2-1】（2020·四川中考真题）如图，在平行四边形abcd中，be平分abc，cfbe，连接ae，g是ab的中点，连接gf，若ae4，则gf_【答案】2【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解cbe=bec，即可得cb=ce，利用等腰三角形的性质得到bf=ef，进而可得gf是abe的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解【详解】在平行四边形abcd中，abcd，abe=becbe平分abc，abe=cbe，cbe=bec，cb=cecfbe，bf=efg是ab的中点，gf是abe的中位线，gf=ae，ae=4，gf=2故答案为：2【点睛】本题主要考

6、查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明gf是abe的中位线是解题的关键【变式2-2】（2020·四川广元·中考真题）已知，o为对角线ac的中点，过o的一条直线交ad于点e，交bc于点f（1）求证：；（2）若，的面积为2，求的面积【答案】（1）见解析；（2）16.【分析】（1）由平行四边形的性质得出adbc，得出eaofco，由asa即可得出结论；（2）由于，o为对角线ac的中点，得出aeoadc，根据的面积为2，可得adc的面积，进而得到的面积【详解】解：（1）四边形abcd是平行四边形，adbc，eaofco，o是ac的中点，oaoc，在a

7、oe和cof中，aoecof（asa）；（2）=1：2，o为对角线ac的中点，ao:ac=1:2，eaodac，aeoadc，的面积为2，adc的面积为8，的面积为16.【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形面积比，要熟练掌握全等三角形的判定和相似三角形的判定.【变式2-3】（2020·四川乐山·中考真题）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、点为的中点（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 ；（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的

8、结论是否仍然成立？（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、之间的关系【答案】（1）；（2）补图见解析，仍然成立，证明见解析；（3），证明见解析【分析】（1）证明aoecof即可得出结论；（2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明aoecgo，得oeog，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论；（3）fcaeoe，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得，得出，再根据，推出，即可得证【详解】解：（1）如图1，四边形abcd是平行四边形，oaoc，aebp，cfbp，aeocfo90°，aoecof，aoecof（aas），oe

9、of； （2）补全图形如图所示，仍然成立，证明如下：延长交于点，点为的中点，又， ，；（3）当点在线段的延长线上时，线段、之间的关系为，证明如下：延长交的延长线于点，如图所示， 由（2） 可知 ，又，【点睛】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，从而使问题得以解决【考点3】矩形的判定与性质的应用【例3】（2020·湖南郴州·中考真题）如图，在矩形中，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和作直线分别与交于点，则_【答案】2【分析】连接d

10、n，在矩形abcd中，ad=4，ab=8，根据勾股定理可得bd的长，根据作图过程可得，mn是bd的垂直平分线，所以dn=bn，在rtadn中，根据勾股定理得dn的长，在rtdon中，根据勾股定理得on的长，进而可得mn的长【详解】如图，连接dn，在矩形abcd中，ad=4，ab=8，bd=，根据作图过程可知：mn是bd的垂直平分线，dn=bn，ob=od=2，an=ab-bn=ab-dn=8-dn，在rtadn中，根据勾股定理，得dn2=an2+ad2，dn2=（8-dn）2+42，解得dn=5，在rtdon中，根据勾股定理，得on=，cdab，mdo=nbo，dmo=bno，od=ob，dm

11、obno（aas），om=on=，mn=2故答案为：2【点睛】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质【变式3-1】（2020·广东广州·中考真题）如图，矩形的对角线，交于点，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）abcd【答案】c【分析】根据勾股定理求出ac=bd=10，由矩形的性质得出ao=5，证明得到oe的长，再证明可得到ef的长，从而可得到结论【详解】四边形abcd是矩形，又，同理可证，故选：c【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键【变

12、式3-2】10（2020·湖北鄂州·中考真题）如图，在平行四边形中，对角线与交于点o，点m，n分别为、的中点，延长至点e，使，连接（1）求证：；（2）若，且，求四边形的面积【答案】(1)见解析；(2)24【分析】(1)由四边形abcd是平行四边形得出ab=cd，abcd，进而得到bac=dca，再结合ao=co，m,n分别是oa和oc中点即可求解；(2)证明abo是等腰三角形，结合m是ao的中点，得到bmo=emo=90°，同时doc也是等腰三角形，n是oc中点，得到dno=90°，得到emdn，再由(1)得到em=dn，得出四边形emnd为矩形，进而求

13、出面积【详解】解：(1)证明：四边形abcd是平行四边形，ab=cd，abcd，oa=oc，bac=dca，又点m，n分别为、的中点，在和中，(2)bd=2bo，又已知bd=2ab，bo=ab，abo为等腰三角形；又m为ao的中点，由等腰三角形的“三线合一”性质可知：bmao，bmo=emo=90°，同理可证doc也为等腰三角形，又n是oc的中点，由等腰三角形的“三线合一”性质可知：dnco，dno=90°，emo+dno=90°+90°=180°，emdn，又已知em=bm，由(1)中知bm=dn，em=dn，四边形emnd为平行四边形，又e

14、mo=90°，四边形emnd为矩形，在rtabm中，由勾股定理有：，am=cn=3，mn=mo+on=am+cn=3+3=6，故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、矩形的面积公式等，熟练掌握其性质和判定方法是解决此类题的关键【考点4】菱形判定与性质的应用【例4】（2020·广东广州·中考真题）如图，中，（1）作点关于的对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，连接，连接，交于点求证：四边形是菱形；取的中点，连接，若，求点到的距离【答案】（1）见解析；（2）见解析：【分析】（1）过点做的垂线交于点，在的延长

15、线上截取，即可求出所作的点关于的对称点；（2）利用，得出，利用，以及得出四边形是菱形；利用为中位线求出的长度，利用菱形对角线垂直平分得出的长度，进而利用求出的长度，得出对角线的长度，然后利用面积法求出点到的距离即可【详解】（1）解：如图：点即为所求作的点；（2）证明：，又，；，又，四边形是菱形；解：四边形是菱形，又，为的中点，为的中位线，菱形的边长为13，在中，由勾股定理得：，即：，,设点到的距离为，利用面积相等得：，解得：，即到的距离为【点睛】本题考查了对称点的作法、菱形的判定以及菱形的面积公式的灵活应用，牢记菱形的判定定理，以及对角线乘积的一半等于菱形的面积是解决本题的关键【变式4-1】（

16、2020·北京中考真题）如图，菱形abcd的对角线ac，bd相交于点o，e是ad的中点，点f，g在ab上，efab，ogef（1）求证：四边形oefg是矩形；（2）若ad=10，ef=4，求oe和bg的长【答案】(1)见解析；(2)oe=5，bg=2.【分析】(1)先证明eo是dab的中位线，再结合已知条件ogef，得到四边形oefg是平行四边形，再由条件efab，得到四边形oefg是矩形；(2)先求出ae=5，由勾股定理进而得到af=3，再由中位线定理得到oe=ab=ad=5，得到fg=5，最后bg=ab-af-fg=2【详解】解：(1)证明:四边形abcd为菱形，点o为bd的中点

17、，点e为ad中点，oe为abd的中位线，oefg，ogef，四边形oefg为平行四边形efab，平行四边形oefg为矩形(2)点e为ad的中点，ad=10，ae=efa=90°，ef=4，在rtaef中，四边形abcd为菱形，ab=ad=10，oe=ab=5，四边形oefg为矩形，fg=oe=5，bg=ab-af-fg=10-3-5=2故答案为：oe=5，bg=2【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握【变式4-2】（2020·山东临沂·中考真题）如图，菱形的边长为1，点e是边上任意一点

18、（端点除外），线段的垂直平分线交，分别于点f，g，的中点分别为m，n（1）求证：；（2）求的最小值；（3）当点e在上运动时，的大小是否变化？为什么？【答案】（1）见解析；（2）；（3）不变，理由见解析.【分析】（1）连接cf，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到cf=ef和cf=af即可得证；（2）连接ac，根据菱形对称性得到af+cf最小值为ac，再根据中位线的性质得到mn+ng的最小值为ac的一半，即可求解；（3）延长ef，交dc于h，利用外角的性质证明afc=fce+fec+fae+fea，再由af=cf=ef，得到aef=eaf，fec=fce，从而推断出afd=fae+abf=fa

19、e+cef，从而可求出abf=cef=30°，即可证明.【详解】解：（1）连接cf，fg垂直平分ce，cf=ef，四边形abcd为菱形，a和c关于对角线bd对称，cf=af，af=ef；（2）连接ac，m和n分别是ae和ef的中点，点g为ce中点，mn=af，ng=cf，即mn+ng=（af+cf），当点f与菱形abcd对角线交点o重合时，af+cf最小，即此时mn+ng最小，菱形abcd边长为1，abc=60°，abc为等边三角形，ac=ab=1，即mn+ng的最小值为；（3）不变，理由是：延长ef，交dc于h，cfh=fce+fec，afh=fae+fea，afc=fc

20、e+fec+fae+fea，点f在菱形abcd对角线bd上，根据菱形的对称性可得：afd=cfd=afc，af=cf=ef， aef=eaf，fec=fce，afd=fae+abf=fae+cef，abf=cef，abc=60°，abf=cef=30°，为定值.【点睛】本题考查了菱形的性质，最短路径，等边三角形的判定和性质，中位线定理，难度一般，题中线段较多，需要理清线段之间的关系【变式4-3】（2019·辽宁中考真题）如图，bd是abcd的对角线，按以下步骤作图：分别以点b和点d为圆心，大于bd的长为半径作弧，两弧相交于e，f两点；作直线ef，分别交ad，bc于

21、点m，n，连接bm，dn若bd8，mn6，则abcd的边bc上的高为_【答案】.【解析】【分析】由作法得mn垂直平分bd，则mb=md，nb=nd，再证明bmn为等腰三角形得到bm=bn，则可判断四边形bmdn为菱形，利用菱形的性质和勾股定理计算出bn=5，然后利用面积法计算的边bc上的高【详解】由作法得mn垂直平分bd，mbmd，nbnd，四边形abcd为平行四边形，adbc，mdbnbd，而mbmd，mbdmdb，mbdnbd，而bdmn，bmn为等腰三角形，bmbn，bmbnndmd，四边形bmdn为菱形，设abcd的边bc上的高为h，即abcd的边bc上的高为故答案为【点睛】本题考查了

22、作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了平行四边形的性质【考点5】正方形的判定与性质的应用【例5】（2020·江苏盐城·中考真题）如图，点是正方形，的中心（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作bc的垂直平分线即可求解；（2）根据题意证明即可求解【详解】如图所示，点即为所求连接由得：是正方形中心，在和中，【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知

23、正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的判定与性质【变式5-1】（2020·四川内江·中考真题）如图，正方形abcd中，p是对角线ac上的一个动点（不与a、c重合），连结bp，将bp绕点b顺时针旋转到bq，连结qp交bc于点e，qp延长线与边ad交于点f（1）连结cq，求证：；（2）若，求的值；（3）求证：【答案】(1)见解析；(2) ；(3)见解析【分析】(1)由旋转知pbq为等腰直角三角形，得到pb=qb，pbq=90°，进而证明apbcqb即可；(2)设ap=x，则ac=4x，pc=3x，由(1)知cq=ap=x，又abc为等腰直角三角形，所以bc=，p

24、q=，再证明bqebcq，由此求出be，进而求出ce:bc的值；(3)在ce上截取cg，并使cg=fa，证明pfaqgc，进而得到pf=qg，然后再证明qge=qeg即可得到qg=eq，进而求解【详解】解：四边形abcd为正方形，ab=bc，abc=90°，bp绕点b顺时针旋转到bq，bp=bq，pbq=90°，abc-pbc=pbq-pbc,abp=cbq，在apb和cqb中，apbcqb(sas)，ap=cq(2) 设ap=x，则ac=4x，pc=3x，由(1)知cq=ap=x，abc为等腰直角三角形，bc=，在rtpcq中，由勾股定理有：，且pbq为等腰直角三角形，又

25、bcq=bap=45°，bqe=45°，bcq=bqe=45°，且cbq=cbq，bqebcq，代入数据：，be=，ce=bc-be=，故答案为：(3) 在ce上截取cg，并使cg=fa，如图所示：fap=gcq=45°，且由(1)知ap=cq，且截取cg=fa，故有pfaqgc(sas)，pf=qg，pfa=cgq，又dfp=180°-pfa，qge=180°-cgq，dfp=qge，dabc，dfp=ceq，qge=ceq，qge为等腰三角形，gq=qe，故pf=qe【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定和性

26、质、相似三角形判定和性质的综合，具有一定的综合性，本题第(3)问关键是能想到在ce上截取cg，并使cg=fa这条辅助线【变式5-2】（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，四边形是正方形，点为对角线的中点（1）问题解决：如图，连接，分别取，的中点，连接，则与的数量关系是_，位置关系是_；（2）问题探究：如图，是将图中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，判断的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图，是将图中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，若正方形的边长为1，求的面积【答案】（1），；（2）的形状是等腰直角三

27、角形，理由见解析；（3）【分析】（1）根据题意可得pq为boc的中位线，再根据中位线的性质即可求解；（2）连接并延长交于点，根据题意证出，为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形，由且可得是等腰直角三角形；（3）延长交边于点，连接，证出四边形是矩形，为等腰直角三角形，再证出为等腰直角三角形，根据图形的性质和勾股定理求出oa，ob和bq的长度，即可计算出的面积【详解】解：（1）点p和点q分别为，的中点，pq为boc的中位线，四边形是正方形，acbo，；故答案为：，；（2）的形状是等腰直角三角形理由如下：连接并延长交于点，由正方形的性质及旋转可得，是等腰直角三角形，又点是的中点，为等腰直角三角形，也为

28、等腰直角三角形又点为的中点，且的形状是等腰直角三角形（3）延长交边于点，连接，四边形是正方形，是对角线，由旋转得，四边形是矩形，为等腰直角三角形点是的中点，为等腰直角三角形是的中点，【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转图形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质和勾股定理，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键1（2020·浙江绍兴·中考真题）如图，点o为矩形abcd的对称中心，点e从点a出发沿ab向点b运动，移动到点b停止，延长eo交cd于点f，则四边形aecf形状的变化依次为（）a平行四边形正方形平行四边形矩形b平行四边形菱形平行

29、四边形矩形c平行四边形正方形菱形矩形d平行四边形菱形正方形矩形【答案】b【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形aecf形状的变化情况【详解】解：观察图形可知，四边形aecf形状的变化依次为平行四边形菱形平行四边形矩形故选：b【点睛】考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据ef与ac的位置关系即可求解2（2020·山东烟台·中考真题）如图，在矩形abcd中，点e在dc上，将矩形沿ae折叠，使点d落在bc边上的点f处若ab3，bc5，则tandae的值为（ ）abcd【答案】d【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得afadbc=5，e

30、fde，在rtabf中，利用勾股定理可求出bf的长，则cf可得，设cex，则deef3x，然后在rtecf中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得de的长，再根据正切的定义即可求解【详解】解：四边形abcd为矩形，adbc5，abcd3，矩形abcd沿直线ae折叠，顶点d恰好落在bc边上的f处，afad5，efde，在rtabf中，bf，cfbcbf541，设cex，则deef3x在rtecf中，ce2+fc2ef2，x2+12（3x）2，解得x，deef3x，tandae，故选：d【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用

31、这些性质进行推理与计算是解题的关键3（2020·四川中考真题）多边形的内角和不可能为（）a180°b540°c1080°d1200°【答案】d【分析】多边形的内角和可以表示成（n2）180°（n3且n是整数），则多边形的内角和是180度的倍数，由此即可求出答案【详解】多边形的内角和可以表示成（n-2）180°（n3且n是整数），n应为整数，所以n-2也是整数，所以多边形的内角能被180整除，因为在这四个选项中不是180°的倍数的只有1200°故选：d【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，牢记定理是解答

32、本题的关键，难度不大4（2020·广西河池·中考真题）如图，在abcd中，ce平分bcd，交ab于点e，ea3，eb5，ed4则ce的长是（）a5b6c4d5【答案】c【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得adbceb5，根据勾股定理的逆定理可得aed90°，再根据平行四边形的性质可得cdab8，edc90°，根据勾股定理可求ce的长【详解】解：ce平分bcd，bcedce，四边形abcd是平行四边形，abcd，adbc，abcd，becdce，becbce，bcbe5，ad5，ea3，ed4，在aed中，32+4252，即ea2+ed2ad2

33、，aed90°，cdab3+58，edc90°，在rtedc中，ce4故选：c【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，关键是掌握平行四边形对边平行且相等5（2020·云南中考真题）如图，平行四边形的对角线，相交于点，是的中点，则与的面积的比等于（ ）abcd【答案】b【分析】先证明oe/bc，再根据deodcb求解即可【详解】四边形abcd是平行四边形，bo=do，是的中点，oe是dcb的中位线，oe/bc，oe=bc，deodcb，deo：dcb=故选b【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线，以及相似三角形

34、的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键6（2020·四川眉山·中考真题）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接以下四个结论：；其中正确的个数为（ ）a个b个c个d个【答案】d【分析】四边形aefg和四边形abcd均为正方形，eab、gad与bag的和均为90°，即可证明eab与gad相等；由题意易得ad=dc，ag=fg，进而可得，dag=caf，然后问题可证；由四边形aefg和四边形abcd均为正方形，可求证haffac，则有，然后根据等量关系可求解；由及题意知adg=acf=45°

35、;，则问题可求证【详解】解：四边形aefg和四边形abcd均为正方形eag=bad=90°又eab=90°-bag，gad=90°-bageab=gad正确四边形aefg和四边形abcd均为正方形ad=dc，ag=fgac=ad，af=ag，即又dag+gac=fac+gacdag=caf正确四边形aefg和四边形abcd均为正方形，af、ac为对角线afh=acf=45°又fah=cafhaffac即又af=ae正确由知又四边形abcd为正方形， ac为对角线adg=acf=45°dg在正方形另外一条对角线上dgac正确故选：d【点睛】本题主

36、要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明7（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）正n边形的一个内角等于135°，则边数n的值为_【答案】8【分析】先根据多边形的外角与相邻的内角互补求出外角的度数，再根据外角和求边数即可.【详解】多边形的外角是：180135=45°，n=8【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解答本题的关键.8（2020·江苏镇江·中考真题）如图，点p是正方形abcd内位于对角线ac下方的一点，12，则bpc的

37、度数为_°【答案】135【分析】由正方形的性质可得acbbac45°，可得2bcp45°1bcp，由三角形内角和定理可求解【详解】解：四边形abcd是正方形，acbbac45°，2+bcp45°，12，1+bcp45°，bpc180°1bcp，bpc135°，故答案为：135【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键9（2020·河南中考真题）如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为_【答案】1【分析】过e作，过g作，过h作，与相

38、交于i，分别求出hi和gi的长，利用勾股定理即可求解【详解】过e作，过g作，过h作，垂足分别为p，r，r，与相交于i，如图，四边形abcd是正方形，四边形aepd是矩形，点e，f分别是ab，bc边的中点， ，点g是ec的中点，是的中位线，同理可求：，由作图可知四边形hiqp是矩形，又hp=fc，hi=hr=pc，而fc=pc， ，四边形hiqp是正方形， 是等腰直角三角形，故答案为：1【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线与勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键10（2020·湖南）如图1，已知四边形abcd是正方形，将，分别沿de，df向内折叠得到图2，此

39、时da与dc重合（a、c都落在g点），若gf4，eg6，则dg的长为_【答案】12【分析】设正方形abcd的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出be、bf及ef的长；在中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为dg的长【详解】设正方形abcd的边长为，则，由翻折的性质得：，如图，在中，由勾股定理得：即整理得：，即解得或（不符题意，舍去）则故答案为：12【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键11（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点o，点e在线段bo上，连接ae，若，,则线

40、段ae的长为_ 【答案】【分析】设be=x，根据菱形性质可得到ab= ad=cd=2x，进而得到，解得x值，根据勾股定理即可求得ae值【详解】解：设be=x，菱形，ab= ad=cd=2x，,bd=3x，ob=od=，x=2，ab=4，be=2，,故答案为：【点睛】本题考查菱形的性质结合勾股定理的应用，熟练掌握菱形性质是解题的关键12（2020·四川中考真题）如图，在平行四边形abcd中，be平分abc，cfbe，连接ae，g是ab的中点，连接gf，若ae4，则gf_【答案】2【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解cbe=bec，即可得cb=ce，利用等腰三角形的性质得

41、到bf=ef，进而可得gf是abe的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解【详解】在平行四边形abcd中，abcd，abe=becbe平分abc，abe=cbe，cbe=bec，cb=cecfbe，bf=efg是ab的中点，gf是abe的中位线，gf=ae，ae=4，gf=2故答案为：2【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明gf是abe的中位线是解题的关键13（2020·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，点e是的中点，的延长线交于点f若的面积为1，则四边形的面积为_【答案】3【分析】根据abcd的对边互相平行的性质及中位线的性

42、质知ec是abf的中位线；然后根证明abfcef，再由相似三角形的面积比是相似比的平方及ecf的面积为1求得abf的面积；最后根据图示求得s四边形abce=sabf-scef=3【详解】解：在abcd中，abcd，点e是cd中点，ec是abf的中位线；在abf和cef中，b=dcf，f=f，abfecf，sabf：scef=1：4；又ecf的面积为1，sabf=4，s四边形abce=sabf-scef=3故答案为：3【点睛】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质；解得此题的关键是根据平行四边形的性质及三角形的中位线的判定证明ec是abf的中位线，从而求得abf与cef的相似比1

43、4（2020·江苏连云港·中考真题）如图，正六边形内部有一个正五形，且，直线经过、，则直线与的夹角_【答案】48【分析】已知正六边形内部有一个正五形，可得出正多边形的内角度数，根据和四边形内角和定理即可得出的度数【详解】多边形是正六边形，多边形是正五边形故答案为：48【点睛】本题考查了正多边形内角的求法，正n多边形内角度数为，四边形的内角和为360°，以及平行线的性质定理，两直线平行同位角相等15（2020·辽宁铁岭·中考真题）如图，以为边，在的同侧分别作正五边形和等边，连接，则的度数是_【答案】66°【分析】由是正五边形可得ab=a

44、e以及eab的度数，由abf是等边三角形可得ab=af以及fab的度数，进而可得ae=af以及eaf的度数，进一步即可根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出答案【详解】解：五边形是正五边形，ab=ae，eab=108°，abf是等边三角形，ab=af，fab=60°，ae=af，eaf=108°60°=48°，efa=故答案为：66°【点睛】本题考查了正多边形的内角问题、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键16（2020·辽宁盘锦·中考

45、真题）如图，菱形的边长为4，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为_【答案】【分析】连接be，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得be=ae=， 再得ebc=90°，利用勾股定理即可求出ce的长度【详解】解：连接be，如图：由题意可知，mn垂直平分ab，ae=be，则aeb=90°，在等腰直角三角形abe中，ab=4，be=ae=，四边形abcd为菱形，adbc，ebc=aeb=90°，在rtbce中，由勾股定理，则；故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题

46、的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到ebc=aeb=90°17（2020·山东聊城·中考真题）如图，已知平行四边形abcd中，e是bc的中点，连接ae并延长，交dc的延长线于点f，且afad，连接bf，求证：四边形abfc是矩形【答案】见解析【分析】先根据平行四边形的性质、平行线的性质得到两角一边对应相等，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形abfc是平行四边形，又根据等量代换可得，最后根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）可得四边形abfc是矩形【详解】四边形abcd是平行四边形e为bc的中点四边形abfc是平行四边形

47、平行四边形abfc是矩形【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、矩形的判定等知识点，熟练运用各判定与性质是解题关键18（2020·四川中考真题）如图，四边形abcd为矩形，g是对角线bd的中点连接gc并延长至f，使cfgc，以dc，cf为邻边作菱形dcfe，连接ce（1）判断四边形cedg的形状，并证明你的结论（2）连接df，若bc，求df的长【答案】（1）菱形，证明见解析；（2）【分析】（1）证出gb=gc=gd=cf，由菱形的性质的cd=cf=de，decg，则de=gc，证出四边形cedg是平行四边形，进而得出结论；（2）过点g作ghbc于h，设d

48、f交ce于点n，由等腰三角形的性质得ch=bh=bc=，证出cdg是等边三角形，得gcd=60°，由三角函数定义求出cg=1，则cd=1，由菱形的性质得dn=fn，cndf，dce=fce=60°，由三角函数定义求出dn=，则df=2dn=【详解】（1）四边形cedg是菱形，理由如下：四边形abcd为矩形，g是对角线bd的中点，gb=gc=gd，cf=gc，gb=gc=gd=cf，四边形dcfe是菱形，cd=cf=de，decg，de=gc，四边形cedg是平行四边形，gd=gc，四边形cedg是菱形；（2）过点g作ghbc于h，设df交ce于点n，如图所示：cd=cf，g

49、b=gd=gc=cf，ch=bh=bc=，cdg是等边三角形，gcd=60°，dcf=180°gcd=180°60°=120°，四边形abcd为矩形，bcd=90°，gch=90°60°=30°，cg=1，cd=1，四边形dcfe是菱形，dn=fn，cndf，dce=fce=dcf=×120°=60°，在rtcnd中，dn=cdsindce=1×sin60°=1×=，df=2dn=2×=【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平

50、行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键19（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点作于，延长交于点（1）如图1，若，易证：；（2）如图2，；如图3，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由【答案】（1）见解析；（2）时，（1）中结论成立，证明见解析；时，（1）中结论成立，证明见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出mac=45°，证得ean=nag，由等腰三角形的性质得出结论；（2）如

51、图1，2，证明方法相同，利用“aas”证明abm和eap全等，根据全等三角形对应边相等可得ep=am，同理可证gq=am，从而得到ep=gq，再利用“aas”证明epn和gqn全等，根据全等三角形对应边相等可得en=ng【详解】（1）证明：，同理，四边形和四边形为正方形，.（2）如图1，时，（1）中结论成立.理由：过点作交的延长线于，过点作于，四边形是正方形，在和中，同理可得：，在和中，.如图2，时，（1）中结论成立.理由：过点作交的延长线于，过点作于，四边形是正方形，在和中，同理可得：，在和中，.【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确作出辅助线，构造全等三角形，运用全等三角形的性质是解题的关键20（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，四边形是矩形，是边上一点，点在的延长线上，且（1）求证：四边形是平行四边形；（2）连接，若，求四边形的面积【答案】（1）见解析；（2）40【分析】（1）直接利用矩形的性质结合be=