例谈放缩法证明不等式的基本策略

1、例谈“放缩法”证明不等式的基本策略江苏省苏州市木渎笫二高级中学 母建军215101近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高屮数学屮的 一个难点，它可以考察学牛逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提 的是，高考中对以用“放缩法''证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基 本出发点，冇极大的迁移性，对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知 识内容结合，对应变能力有较高的耍求。因为放缩必须有目标，而ii要恰到好处，目标往 往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试 题，例谈“放缩”的

2、基本策略，期望对读者能有所帮助。1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知色=2”-1（mwn*）求证："丄去+幺+ 仏5丘“）.23 勺色粘】.0 + 幺 +昇丄(+丄)丄丄(1-丄)2 3 2 2222 3 tn 1>239乞+鱼+a2 a3<切“)证明：'二色+1_ 2k- _ 1 1 _ 1 1 、1 1 1 ,_1 °2如一1一 22(2a+,-1)_2 3.2*+2'-2一2 3*2' ? 一 '若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的 值变小。由于证明不筹式的需要，有时需要舍去或添加

3、一些项，使不等式一边放人或缩小, 利用不等式的传递性，达到证明的日的。本题在放缩时就舍去了 2*-2,从而是使和式得 到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数/(%)1 + 4"求证：/ ( 1 )(2) + 4/ («)=1 > 1 1+4”1 + 4"22"得/ (1) +f (2) +£ 5) >1一一 +1一一 + + 1-一 2-21 2-22 22"1z111 1 、 11/=n (1 + + + +) = n +(n e n )4242n_i2w+i2此题不等式左边不易求和匕时根据不等式右边特征，

4、先将分子变为常数，再対分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一 变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放人，则只要把分子放人或分 母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例3、己知an=n ,求证:<3.n"i证明：言4k总v - luk1川7f<1+'=2 心一1）檢+i）n< 1 + £k=2寸伙一1）伙+i）（讥+1 +心_ ）+占j伙_i）伙+1）n=1 + £k=2 f ) -1)w+1)<2+¥<

5、3.,y/21=1 +1 + f= i 2 yn 7（+1）本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式s1 ni例 4、已知数列色满足 an+ =a,o<al< 一，求证：(tza. ak+x)ak+2 <.2 k=i32证明/ 0< 6/, <,an+1 =,. a2 =af <9a3 <当r > 10,0< ak+2 <a3< 241616"1 z,j二工 一 +1)畋+2 t7ak _+i)= 77(1 cln<'k=1° *=1本题通过对因

6、式色+2放大，而得到一个容易求和的式子£（务+j,最终得出证明. *=15>逐项放大或缩小2例 5、设 =71立+71不+7+.+如+1)求证：""f ” <(/7 + 1)证明：t n(n +1) >= n jrt(n +1) < j(n + )t7t 2« + 1i =t 2/ n < 5/77(77 + 1) <2m + 11 + 3 + + (2m +1)2s + l)22本题利用"<师莉<罗对6中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。6、固定一部分项，放缩另外的项；1

7、1117例 6、求证：- + + + - + < i2 2232 n2 4证明： < 1-=-一丄rr n(n-l) n-1 n.1111.1j111、_51l7i2 2232n2 2223n-/42n4此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项吋，不一眾从第一项开始，须根 据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。7、利用基本不等式放缩例7、已知绻=54,证明：不等式伍打-禹石>1对任何正整数加都成立. 证明：要证伍打-ylaman > 1 ,只要证5% >l + a/“+2ja/“ .因为 amn = 5tnn - 4 , am

8、an = (5m 一 4)(5n -4) = 25mn - 20(zn + n) + 16,故只要证 5(5/m/7 一 4)1 + 25mn - 20(? + /?) +16 + 2血/” ,即只要证 20m + 20/? - 37 > 2yjaman .因为 2yj a ltjan < a “i += 5？ + 5n 一 8 < 5m + 5/? -8 + (15/n +15/? - 29) = 20m + 20n 一 37 ,所以命题得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由2臥兀 s+5放人即可.8、先适当组合，排序，再逐项比较或放缩例8、.已知i,加、是正整数，

9、且1 <iwm<n.证明：風：5爲(2)证明:(t>(1+犷证明：对于 1 <iwm,且 a； =m(/n /+1),a；? m m -1=. tn1 m inn n-吧艺同理等“ n由于m<nf对于整数k=l, 2,，l1,有 一>-, n ma* a，所以玉玉,即亦a：/a；”n1 ml(2)由二项式定理有:(1+m)"=1+c； ni+c: /+c ； mn f(1+町性1+cm+c細2+c制”,a'a'由(1)知),而 c； = -,c；? =-fil/.肘c；>ndm( <tn<n)m°c 号=

10、n°c=1, tnc =nc ； =m n, m2c : > n2c 爲 ，mwc：>nmc：, mw+,c：+1>0, ,加"c： >0,1+c 777+c ； /+c ；加"> 1+c ： ”+c：肿+c ； nm, 即(1+?)"> (1+m” 成立.以上介绍了用“放缩法"证明不筹式的儿种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征 选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以 化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩厉得 不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩1