李庆扬-数值分析第五版习题答案20130808

1、第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现a： =0的情况，这时消去法无法进行；即时主元素a；=0，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。 计算时一般选择列主元消去法。2、 高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b有何不同？ A要满足什么 条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中

2、一个为上三角矩阵U, 个为下三角矩阵 L。用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，n-1 ）不为零。3、楚列斯基分解与 LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是 LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三

3、种常用的向量范数。 向量范数定义见p53，符合3个运算法则。正定性齐次性 三角不等式设X为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）nllxlli 八 |Xi|i 3n1l|x|2 = C Xi2）2i壬iixii：=ma：xixi i7、 何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = （aij ）的三种范数| A| i, II A| 2, IIA| J | A| i与| A| 2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见p162,需要满足四个条件。正定条件齐次条件三角不等式相容条件矩阵的算子范数有l|A|il|A|2l|A|：从定义可知，|A |i更容易计算。&什

4、么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？答：设A为非奇异阵，称数cond（A）v =|aMa|v （ v=1,2,血）为矩阵A的条件数当cond（A） . 1时，方程是病态的。9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？（1 ）矩阵行列式的值很小。（2 ）矩阵的范数小。（3 ）矩阵的范数大。（4）矩阵的条件数小。（5 ）矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有（1）、（2）注：矩阵的条件数小说明 A是良态矩阵。 矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。10、判断下列命题是否正确：（1 ）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组 Ax = b的解。答：错误，主元位置可能为0

5、，导致无法计算结果。（2 ）对称正定的线性方程组总是良态的。答：正确。（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。答：正确。（4）如果A非奇异，则Ax = b的解的个数是由右端向量 b的决定的。答：正确。解释：若 A|b与A的秩相同，贝U A有唯一解。若不同，则 A无解。（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。答：正确。（7）奇异矩阵的范数- -定是零。答：错误，« .一可以不为0。(8) 如果矩阵对称，则II A| 1 = | All 8。 答：根据范数的定义，正确。(9) 如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。答

6、：错误，不选主元时，可能除数为0。(10) 在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态， 用列主元消去法产生的误差也很 小。答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。(11) II A | i = | AT| 。 答：根据范数的定义，正确。(12 )若A是n n的非奇异矩阵，则1cond(A) = cond( A )。答：正确。A是nn的非奇异矩阵，则 A存在逆矩阵。cond( A) =|A| |aj|根据条件数的定义有：'con d(A) =|A制(A”| =|A卜 |A| =|A卜眉|习题I a11、设A是对称阵且an =0，经过高斯消去法一步后，A约化为步后a： I

7、A2称矩阵。证明:设对称矩阵ana11a12 .d n Ia12a22.an 2.a1na2n.anna12a1nai2ai2则经过1次高斯校区法后，有ai1an2a1n a12ai1a11a22an2所以a：aa1n aa2na12耳1ann-a1n a12a11ai2aln-a12 a12an2ai2a1 nai1a11a1 nai2anna1 na1 na11=a12an2；22-a12a11ai2an2旦2 amal1a1 nai2anna1 na1nanaii所以A2为对称矩阵。2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后,步后A 约化为 A = (aj )n，其中 A = (aj

8、)n ,A =(a)n -4 ；证明：（1）A的对角元素4 0 （i=1,2,，n） ；（ 2）A2是对称正定矩阵；（1）依次取Xj =（0,0,，0,1,0，0）：, i =1,2/ ,n，则因为A是对称正定矩阵, i所以有 aii 二 x： Ax 0 0（2） A2中的元素满足a（2> = aq 可1" , （i,j=2,3，n），又因为A是对称正定aii矩阵，满足 ay =aji， i, j =1,2,n，所以 a(2)=aqaiiaijajiaii a jiaiiaii二 a(2),即A是对称矩阵。3、设Lk为指标为k的初等下三角矩阵（除第k列对角元以下元素外，Lk和单

9、位阵I相同），即iiLk =mk+,k imn,ki 一求证当i,j k时，Lk=lijLklij也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中Iij为初等置换矩 阵。4、 试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩 阵。本题不推导。参见书上例题。Pi47页。5、设Ux =d，其中U为三角矩阵。（i ）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法（2）计算解三角方程组 Ux二d的乘除法次数（3）设U为非奇异矩阵，试推导求 U的计算公式本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算n-i,i时对应的求解公式。解法，略。6、证明：（1）如果A是对称

10、正定矩阵，则 A'也是对称正定矩阵（2） 如果A是对称正定矩阵，则 A可以唯一地写成 A二UL，其中L是具有正对角元的下 三角矩阵均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组12冶-3x2 3x3 =15三18x3x2 -x3 = -15x-i x2 x3 = 6并求出系数矩阵A的行列式的值12-33A= -183-1.1 1 1 一12-3315A|b=-183-1-151116使用列主元消去法，有-12-3315 1A|b =-183-1-151116 J-183-1-1512-33151116 一-183-1-150-175371731106186 一-18

11、3-1-1571731=061860-175-3-18311571731061861006666217 一A的行列式为-66方程组的解为X1=1,x2=2,x3=3&用直接三角分解(Doolittle分解)求线性方程组的解111小 X1x?X3 9456111c7 ： x2x3 =83451X1' x? '' 2 X3 8本题考查解：LU分解。31'2-|131_21511161360909575402 -1 0 0 0 111-12-10000-12-10，b =00 0-12-10JD00-12 一0 一Ax二b，其中9、用追赶法解三对角方程组A =

12、O解：追赶法实际为 LU分解的特殊形式。设 U为、单位上三角矩阵。有(1)计算的递推公式I = G / bj = -1/2 = -0.5j 二c2/(b2-a2 +) =-1/(2-(-1) (-0.5) = -2/33 =C3/(b3 -a3'2-1/(2 -(-1) (一2/3) =3/4':4 -C4/(ba4 订)=1/(2-(一1) (一3/4) =4/5(2) 解 Ly=fy- = f1 / bj =1/2y2 =(f2 72力)/山2 a2+) =(0-(一1) (1/2)/(2-(一1) (一0.5)=1/3y3 =(f3 a3y2)/(b3-a3Q=(0-(-

13、1) (1/3)/(2-(-1) (-2/3) =1/ 4y4 =(f4-a4y3)/(b4-a4 飞)=(0-(-1)(1/4)/(2-(-1)(-3/4) =1/5y5 =5a5y4)/(b5虫5*)=(0-(一1)(1/5)/(2-(一1)(一 4/5)=1/6(3) 解 UX=yX5 二 y5 = 1/ 6x4 二 y4 - ：4花=1/5-(-4/5) 1/6 =1/3X3 二 y3 - ：3x4 =1/4-(-3/4) 1/3 =1/2X2 =y2 -、X3 =1/3-(-2/3) 1/2 =2/3为- x2 =2-(一1/2) 2/3 =5/610、用改进的平方根法解方程组2-1

14、 1反 14_1-23X2=53 1 一'X3 一i 6本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见P15710723X1, X2, X399911、下列矩阵能否分解为 LU （其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一。12 3111126A =2 41，B =2 2 1，° =25 1546 713 3 1 _16 15 46一LU分解存在的条件一个可逆矩阵可以进行 LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵（或U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同，并且总是唯一的。即使矩阵不可逆

15、，LU仍然可能存在。实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零，那么它就可以进行 LU分解，但反之则不然。解：因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1, 0，-10,所以A不能直接分解为三 角阵的乘积，但换行后可以。因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1, 0, 0,所以B不能分解为三角阵的 乘积。因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1, 5, 1,所以C能够分解为三角阵的 乘积，并且分解是唯一的。12、设0.6 0.5_ A = I卫.1 0.3计算A的行范数,列范数，2-范数及F-范数。本题考查的是矩阵范数的疋义及求法行范数 0.6+0.5=1.1列范数 0.5+0.3=0.82-

16、范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幕法进行计算，也可以直接求。A A的最大特征值为0.3690所以2-范数为0.6074F-范数 0.842613、求证：（a）妝|訣 |x|L 兰 n|x仁；（b）IIAUIWUINf。根据定义求证。憑=憎1人AA nillAll1!nn igUAL =-max(ATn兰 |1=送 Xi 兰 n maxxi =n xldi =12aijA)14、设Rn>n且非奇异，又设llxll为Rn上一向量范数，定义|x|p =|Px|。试证明IIXIp是Rn上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然 IM

17、=IIPM "，网p = |pcx| =忖門=同|狐|X1 +X2|p =|P(X1 +X2)|=|PX1 +PX2|M|PXi| + |PX2 =|xi|p+|x2|p，从而 Hp 是 Rn上向量的一种范数。15、设A三Rn n为对称正定，定义1x|a =(Ax,x)2，试证明|x A是Rn上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。1 显然 xA = (Ax,x)2 二、xtAx 01 1|cx|A =(ACX,CX)2 = Jc2(XTAx) =C(Ax, x)2 =c|Xa1M +X2IL =(A(X1 +X2),(X1 +X2)2

18、= J(X1 +X2)T A(X1 +X2) 兰 JxAX1 + Jx2TAX2 = Ik |a +妝2 |Amaxx=0所以得证16、设A为非奇异矩阵，求证IIaXI= max x=° AA xmaxy =A £=0lylminy=0Aylyl一、，2人扎 1、217、矩阵第一行乘以一数，成为A = |，证明当九=土一时，cond (AV-有最小值。1 1 _ 3本题考查条件数的计算co nd(A&=|A%|A 仁首先计算A的逆阵2A32|3，|乞2|3纠2，当-=_23，取得最小值为2=1 2 | |：'| ' | ，当 取值越大，则最小值为 2

19、从而 cond(A&= Amax：3|,2f ,又当V时,1cond (A)閃=(丁 +2) max卜一弓 2) 2 =7。9当小3时,1+ 2) maxfeh九cond(A)：二(,2>= (卜2) 3扎综上所述，cond(A)閃=7时最小，这时=，即九18、设 aJ00"199 98，计算A的条件数cond(A)v (v=2,：)由A。1(999998可知，A98 99 ，从而|t_99-1004 T -4- (A ) (A )1-98 9999-98 99_ 19405-19602-1099-100_一 -1960219801 一r4 T4丸-1940519602kl -(A ) (A )=19602人19801 2 一 392061= 0 ,由s 100 99 1001(99 98 . |(99991980198_196021960219405 -19801-19602-19602'-19405-2 - 39206 仁 0 ,可得啊2 =|A*2 = J19603 + J384277608，从而cond(A)2 二 A2 A 2 =196