《中考课件初中数学总复习资料》专题06：三角形求角度模型之三角形内外角平分线交角-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）

1、专题06:第2章三角形求角度模型之三角形内外角平分线交角学校:_姓名：_班级：_考号：_一、填空题1如图，在中，如果与的平分线交于点，那么_ 度2如图，在中，平分，平分，则_.3（2018育才单元考） 如图，在abc中，和的角平分线交于点，得，和的角平分线交于点，得，和的角平分线交于点，得（1）若，则_，_，_（2）若，则_4如图，在abc中，a=60°，bd、cd分别平分abc、acb，m、n、q分别在db、dc、bc的延长线上，be、ce分别平分mbc、bcn，bf、cf分别平分ebc、ecq，则f=_二、解答题5在abc中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1

2、的正整数），则称abc为n倍角三角形例如，在abc中，a80°，b75°，c25°，可知b3c，所以abc为3倍角三角形（1）在abc中，a80°，b60°，则abc为 倍角三角形；（2）若锐角三角形mnp是3倍角三角形，且最小内角为，请直接写出的取值范围为 （3）如图，直线mn与直线pq垂直相交于点o，点a在射线op上运动（点a不与点o重合），点b在射线om上运动（点b不与点o重合）延长ba至g，已知bao、oag的角平分线与boq的角平分线所在的直线分别相交于e、f，若aef为4倍角三角形，求abo的度数6在abc中，已知a（1）如图1，a

3、bc、acb的平分线相交于点d求bdc的大小（用含的代数式表示）；（2）如图2，若abc的平分线与ace的平分线交于点f，求bfc的大小（用含的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，将fbc以直线bc为对称轴翻折得到gbc，gbc的平分线与gcb的平分线交于点m（如图3），求bmc的度数（用含的代数式表示）7如图1，abc的外角平分线交于点f（1）若a40°，则f的度数为 ；（2）如图2，过点f作直线mnbc，交ab，ac延长线于点m，n，若设mfb，nfc，则a与+的数量关系是 ；（3）在（2）的条件下，将直线mn绕点f转动如图3，当直线mn与线段bc没有交点时，试探索a与，之间的

4、数量关系，并说明理由；当直线mn与线段bc有交点时，试问中a与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系8（1） 如图1所示，bd，cd分别是abc的内角abc，acb的平分线，试说明：d=90°+a（2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由：如图2所示，bd，cd分别是abc两个外角ebc和fcb的平分线，试探究a与d之间的等量关系；如图3所示，bd，cd分别是abc一个内角abc和一个外角ace的平分线，试探究a与d之间的等量关系9如图，在abc中，abc与acb的平分线相交于点p（1）如果a80°，求bp

5、c的度数；（2）如图，作abc外角mbc、ncb的平分线交于点q，试探索q、a之间的数量关系（3）如图，延长线段bp、qc交于点e，bqe中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出a的度数10（问题背景）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明a+b=c+d；（简单应用）（2）如图2， ap、cp分别平分bad bcd，若abc=46°，adc=26°，求p的度数；（问题探究）（3）如图3，直线ap平分bad的外角fad，cp平分bcd的外角bce，若abc=36°，adc=16°，请猜想p的度数，并说明理由（拓展延伸）（4） 在图4中，若

6、设c=，b=，cap=cab，cdp=cdb，试问p与c、b之间的数量关系为： （用、表示p）； 在图5中，ap平分bad，cp平分bcd的外角bce， 猜想p与b、d的关系，直接写出结论 参考答案1125【解析】【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，进而可求的度数，最后再利用三角形内角和定理即可求出答案【详解】 ， bd平分，cd平分 ，故答案为：125【点评】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键2【解析】【分析】先根据角平分线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解.【详解】解：平分，平分，.【点评】本题考查了角平分线的

7、性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.340° 20° 10° 【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证a1=a，进而可求a1，同理易证a2=a1，a3=a2，进而可求a2和a3；（2）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证a1=a，进而可求a1，同理易证a2=a1，a3=a2，以此类推可知a2015即可求得【详解】解：（1）a=acdabc，a1=a1cda1bc和的角平分线交于点，a1cd=acd，a1bc=abca1=a1cda1bc=acdabc=（acdabc）=a=40°同理可证：a2=a1=2

8、0°，a3=a2=10°故答案为：40°；20°；10°（2）a=acdabc，a1=a1cda1bc和的角平分线交于点，a1cd=acd，a1bc=abca1=a1cda1bc=acdabc=（acdabc）=a=°同理可证：a2=a1=°，a3=a2=°a2015=°故答案为：°【点评】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出a1=a，并依此找出规律415°【解析】【分析】先由bd、cd分别平分abc、acb得到dbc=abc，dcb=acb，在abc中根据三角形

9、内角和定理得dbc+dcb=（abc+acb）=（180°-a）=60°，则根据平角定理得到mbc+ncb=300°；再由be、ce分别平分mbc、bcn得5+6=mbc，1=ncb，两式相加得到5+6+1=（ncb+ncb）=150°，在bce中，根据三角形内角和定理可计算出e=30°；再由bf、cf分别平分ebc、ecq得到5=6，2=3+4，根据三角形外角性质得到3+4=5+f，2+3+4=5+6+e，利用等量代换得到2=5+f，22=25+e，再进行等量代换可得到f=e【详解】解：bd、cd分别平分abc、acb，a=60°，

10、dbc=abc，dcb=acb，dbc+dcb=（abc+acb）=（180°-a）=×（180°-60°）=60°，mbc+ncb=360°-60°=300°，be、ce分别平分mbc、bcn，5+6=mbc，1=ncb，5+6+1=（ncb+ncb）=150°，e=180°-（5+6+1）=180°-150°=30°，bf、cf分别平分ebc、ecq，5=6，2=3+4，3+4=5+f，2+3+4=5+6+e，即2=5+f，22=25+e，2f=e，f=e=&#

11、215;30°=15°故答案为：15°【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°也考查了三角形外角性质5（1）2；（2）22.5°30°；（3）45°或36°【解析】【分析】（1）由a80°，b60°，可求c的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，（2）def是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，（3）首先证明eaf90°，分两种情形分别求出即可【详解】解：（1）a80°，b60°，c180&

12、#176;ab40°，a2c，abc为2倍角三角形，故答案为：2；（2）最小内角为，3倍角为3，由题意可得：390°，且180°490°，最小内角的取值范围是22.5°30°故答案为22.5°30°（3）ae平分bao，af平分aog，eabeao，oaffag，eafeao+oaf（bao+oag）90°，eaf是4倍角三角形，e×90°或×90°，ae平分bao，oe平分boq，eabo，abo2e，abo45°或36°【点评】本题考查了三角

13、形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解题的基础和关键6（1）bdc90°+；（2）bfc；（3）bmc90°+【解析】【分析】（1）由三角形内角和可求abc+acb180°，由角平分线的性质可求dbc+bcd（abc+acb）90°，由三角形的内角和定理可求解；（2）由角平分线的性质可得fbcabc，fceace，由三角形的外角性质可求解；（3）由折叠的性质可得gbfc，方法同（1）可求bmc90°+，即可求解.【详解】解：（1）a，abc+acb180°，bd平分abc，c

14、d平分acb，dbcabc，bcdacb， dbc+bcd（abc+acb）90°，bdc180°（dbc+bcd）90°+；（2）abc的平分线与ace的平分线交于点f，fbcabc，fceace，acea+abc，fcebfc+fbc，bfca；（3）gbc的平分线与gcb的平分线交于点m，方法同（1）可得bmc90°+， 将fbc以直线bc为对称轴翻折得到gbc，gbfc，bmc90°+.【点评】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线的性质定理，折叠的性质.7（1）70°（2） （3）见解

15、析 不成立；或【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到f的度数；（2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到bfc的度数，再根据平行线的性质，即可得到a与+的数量关系；（3）根据（2）中的结论bfc90°a，以及平角的定义，即可得到a与，之间的数量关系；分两种情况进行讨论，根据（2）中的结论bfc90°a，以及平角的定义，即可得到a与，之间的数量关系【详解】解：（1）如图1，a40°，abc+acb140°，dbc+ecb360°140°220°，又abc的外角平分线交于点f，fbc+

16、fcb（dbc+ecb）×220°110°，bcf中，f180°110°70°，故答案为：70°；（2）如图2，abc+acb180°a，dbc+ecb360°（180°a）180°+a，又abc的外角平分线交于点f，fbc+fcb（dbc+ecb）×（180°+a）90°+a ，bcf中，bfc180°（90°+a ）90°a，又mfb，nfc，mnbc，fbc，fcb，bcf中，fbc+fcb+bfc180°，+

17、90°a180°，即+a90°，故答案为：+a90°；（3）+a90°，理由如下：如图3，由（2）可得，bfc90°a，mfb+nfc+bfc180°，+90°a180°，即+a90°，当直线mn与线段bc有交点时，中a与，之间的数量关系不成立分两种情况：如图4，当m在线段ab上，n在ac延长线上时，由（2）可得，bfc90°a，bfcmfb+nfc180°，90°a+180°，即a90°；如图5，当m在ab的延长线上，n在线段ac上时，由（2）

18、可得，bfc90°a，bfcnfc+mfb180°，90°a+180°，即a90°；综上所述，a与，之间的数量关系为a90°或a90°【点评】此题主要考查三角形的角度求解与证明，解题的关键是根据题意分情况作图8（1）证明见解析；（2）a=180°2d，理由见解析；a=2d，理由见解析【解析】【分析】（1）首先利用角平分线性质得出dbc=abc，dcb=acb，再利用三角形内角和定理得出a+abc+acb=180°以及dbc+dcb+d=180°，据此进一步加以变形求证即可；（2）首先理由角平分线

19、性质得出ebc=2dbc，fcb=2dcb，然后再利用三角形内角和性质进一步整理得出a2(dbc+dcb)=-180°，据此进一步加以分析证明即可；利用三角形外角性质可知dce=dbc+d，然后再利用角平分线性质得出2dbc=abc，2dce=ace，最后再结合a+abc=ace进一步证明即可.【详解】（1）bd，cd分别是abc，acb的平分线，dbc=abc，dcb=acb，a+abc+acb=180°，abc+acb=180°a，又dbc+dcb+d=180°，d=180°(dbc+dcb)=180°(abc+acb)=180&

20、#176;(180°a)=180°90°+a=90°+a，即：d=90°+a；（2）a=180°2d，理由如下：bd，cd分别是ebc和fcb的平分线，ebc=2dbc，fcb=2dcb，a+abc+acb=180°，abc=180°(a+acb)=180°2dbc，acb=180°(a+abc)=180°2dcb，a+180°2dbc+180°2dcb=180°，a2(dbc+dcb)=180°，又dbc+dcb+d=180°，dbc

21、+dcb=180°d，a2(dbc+dcb)=a2(180°d)=180°，即：a360°+2d=180°，2d=180°a，即：a=180°2d；a=2d，理由如下：dce是abc的一个外角，dce=dbc+d，bd，cd分别是abc和ace的平分线，2dbc=abc，2dce=ace，a+abc=ace，a+2dbc=2dce，a+2dbc=2dbc+2d，a=2d.【点评】本题主要考查了三角形内角和定理与三角形外角性质及角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.9（1）130°；（2）；（3）60&

22、#176;或120°或45°或135°【解析】【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出abc+acb，进而求出bpc即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出mbc与bcn，再根据角平分线的性质可求得cbq+bcq，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在bqe中，由于q90°a，求出ea，ebq90°，所以如果bqe中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：ebq3e90°；ebq3q90°；q3e；e3q；分别列出方程，求解即可【详解】（1）解：a80°abc

23、+acb100°，点p是abc和acb的平分线的交点，p180°（abc+acb）180°×100°130°，（2）外角mbc，ncb的角平分线交于点q，qbc+qcb（mbc+ncb）（360°abcacb）（180°+a）90°+aq180°（90°+a）90°a；（3）延长bc至f，cq为abc的外角ncb的角平分线，ce是abc的外角acf的平分线，acf2ecf，be平分abc，abc2ebc，ecfebc+e，2ecf2ebc+2e，即acfabc+2e，又acf

24、abc+a，a2e，即ea；ebqebc+cbqabc+mbc（abc+a+acb）90°如果bqe中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：ebq3e90°，则e30°，a2e60°；ebq3q90°，则q30°，e60°，a2e120°；q3e，则e22.5°，解得a45°；e3q，则e67.5°，解得a135°综上所述，a的度数是60°或120°或45°或135°【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键10（1）见解析；（2）36°；（3）26°，理由见解析；（4）p=p=【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的