《中考课件初中数学总复习资料》专题16二次函数的存在性问题（原卷版）

1、决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品专题16二次函数的存在性问题【典例分析】【考点1】二次函数与相似三角形问题【例1】已知抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点c（1）求抛物线的表达式及顶点d的坐标；（2）点f是线段ad上一个动点如图1，设，当k为何值时，.如图2，以a，f，o为顶点的三角形是否与相似？若相似，求出点f的坐标；若不相似，请说明理由【变式1-1】如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，抛物线与直线交于，两点（1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由（3）点在轴上且位于点的左侧，若以，为顶点的三角形

2、与相似，求点的坐标【变式1-2】如图，已知抛物线(m0)与x轴相交于点a，b，与y轴相交于点c，且点a在点b的左侧.（1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点h，使ah+ch的值最小，若存在，求出点h的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点m，使得以点a，b，m为顶点的三角形与acb相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【考点2】二次函数与直角三角形问题【例2】如图，抛物线的顶点坐标为，图象与轴交于点，与轴交于、两点求抛物线的解析式；设抛物线对称轴与直线交于点，连接、，求的面积；点为直线上的任意一点

3、，过点作轴的垂线与抛物线交于点，问是否存在点使为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由【变式2-1】如图，经过轴上两点的抛物线（）交轴于点，设抛物线的顶点为，若以为直径的g经过点，求解下列问题：（1）用含的代数式表示出的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）能否在抛物线上找到一点，使为直角三角形？如能，求出点的坐标，若不能，请说明理由。【变式2-2】已知抛物线与轴只有一个交点，且与轴交于点，如图，设它的顶点为b（1）求的值；（2）过a作x轴的平行线，交抛物线于点c，求证：abc是等腰直角三角形；（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线，且与x轴的左半轴交于e点，与y轴交于f点

4、，如图请在抛物线上求点p，使得是以ef为直角边的直角三角形？【考点3】二次函数与等腰三角形问题【例3】如图，已知：二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于a，b两点，其中a点坐标为（3，0），与y轴交于点c，点d（2，3）在抛物线上（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上有一动点p，求出pa+pd的最小值；（3）若抛物线上有一动点m，使abm的面积等于abc的面积，求m点坐标（4）抛物线的对称轴上是否存在动点q，使得bcq为等腰三角形？若存在，求出点q的坐标；若不存在，说明理由【变式3-1】如图，抛物线与x轴交于点a（1，0）和b（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴交

5、x轴于点e，点f是位于x轴上方对称轴上一点，fcx轴，与对称轴右侧的抛物线交于点c，且四边形oecf是平行四边形，求点c的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点p，使ocp是等腰三角形？若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由【变式3-2】如图，抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点.（1）求抛物线的解析式；（2）点是抛物线上的一个动点（不与点、点重合），过点作直线轴于点，交直线于点.当时，求点坐标； 是否存在点使为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.【考点4】二次函数与平行四边形问题【例4】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点a（

6、3，0），b（1，0），与y轴相交于（0，），顶点为p（1）求抛物线解析式；（2）在抛物线是否存在点e，使abp的面积等于abe的面积？若存在，求出符合条件的点e的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点f，使得以a、b、p、f为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点f的坐标，并求出平行四边形的面积【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-23x2+bx+c，经过a（0，4），b（x1，0），c（x2，0）三点，且|x2-x1|=5（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点d，使得四边形bdce是以bc为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点p，使得四边

7、形bpoh是以ob为对角线的菱形？若存在，求出点p的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由【变式4-2】如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴与点，点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点.(1)求抛物线的表达式；(2)连接，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；(3)在轴上存在一点，连接，当点运动到什么位置时，以为顶点的四边形是矩形？求出此时点的坐标；在的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最小值.【达标训练】一、单选题1将抛物线y=2x21向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（ ）a个单位 b1个

8、单位 c个单位 d个单位2如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线上的动点，若是以为底的等腰三角形，则的值为（ ）a或b或c或d或二、填空题3如图，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于，两点是抛物线上一点，过作轴，垂足为如果以，为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是_4如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于a（，）和b（4，m），点p是线段ab上异于a、b的动点，过点p作pcx轴于点d，交抛物线于点c当pac为直角三角形时点p的坐标 5如图，已知抛物线 与 轴交于a、c两点，与 轴交于点b，在抛物线的对称轴上找一点q，使abq成为等腰三角形，则q点的坐标是_. 6如图，抛物线y

9、x2+2x+4与y轴交于点c，点d（0，2），点m是抛物线上的动点若mcd是以cd为底的等腰三角形，则点m的坐标为_7如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y=x2+2x+3与x轴交于a，b两点，点m在这条抛物线上，点p在y轴上，如果四边形abmp是平行四边形，则点m的坐标为_8已知抛物线y（x2）2，p是抛物线对称轴上的一个点，直线xt分别与直线yx、抛物线交于点a，b，若abp是等腰直角三角形，则t的值为_9将抛物线向右平移2个单位,得到抛物线的图象是抛物线对称轴上的一个动点,直线平行于y轴,分别与直线、抛物线交于点a、若是以点a或点b为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值,则

10、 _ .10如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点若已知点的坐标为点在抛物线的对称轴上，当为等腰三角形时，点的坐标为_11如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点分别是直线与抛物线上的点，若点围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为_. 三、解答题12如图，抛物线y=ax2-52x+m与直线y=-12x+n交于a，b两点，交x轴于d，c两点，已知a(0,3)，c(3,0)(1)求抛物线的函数表达式并写出抛物线的对称轴；(2)在直线ab下方的抛物线上是否存在一点e，使得aeb的面积最大？如果存在，求出e点坐标；如果不存在，请说明理由(3)p为抛物线上一动点，连接pa，过点p作p

11、qoa交y轴于点q，问：是否存在点p，使得以a、p、q为顶点的三角形与acb相似？若存在，请直接写出所有符合条件的p点的坐标；若不存在，请说明理由13如图，抛物线经过点a（-1,0）、b（3,0）、c（0，），连接ac、bc，将abc绕点c逆时针旋转，使点a落在x轴上，得到dce，此时，de所在直线与抛物线交于第一象限的点f.（1）求抛物线对应的函数关系式.（2）求点a所经过的路线长.（3）抛物线的对称轴上是否存在点p使pdf是等腰三角形.若存在，求点p的坐标；若不存在，说明理由.14如图，抛物线经过原点o（0，0），点a（1，1），点b（，0）（1）求抛物线解析式；（2）连接oa，过点a作a

12、coa交抛物线于c，连接oc，求aoc的面积；（3）点m是y轴右侧抛物线上一动点，连接om，过点m作mnom交x轴于点n问：是否存在点m，使以点o，m，n为顶点的三角形与（2）中的aoc相似，若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由15如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，直线与轴交于点，点是抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点.（1）试求该抛物线的表达式；（2）如图（1），若点在第三象限，四边形是平行四边形，求点的坐标；（3）如图（2），过点作轴，垂足为，连接，求证：是直角三角形；试问当点横坐标为何值时，使得以点为顶点的三角形与相似？16如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点

13、，与轴交于点（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值17如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点a（-1，0）和c（0，4）（1）求这条抛物线的解析式；（2）直线y=x+1与抛物线相交于a、d两点，点p是抛物线上一个动点，点p的横坐标是m，且-1m3，设adp的面积为s，求s的最大值及对应的m值；（3）点m是直线ad上一动点，直接写出使acm为等腰三角形的点m的坐标18在平面直角坐标系中有，为原点，将此三角形绕点顺时针旋转得到，抛

14、物线过三点（1）求此抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）直线与抛物线交于两点，若，求的值；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点使得为直角三角形19如图，抛物线yx22x+3的图象与x轴交于a、b两点(点a在点b的左边)，与y轴交于点c，点d为抛物线的顶点(1)求点a、b、c的坐标；(2)点m(m，0)为线段ab上一点(点m不与点a、b重合)，过点m作x轴的垂线，与直线ac交于点e，与抛物线交于点p，过点p作pqab交抛物线于点q，过点q作qnx轴于点n，可得矩形pqnm如图，点p在点q左边，试用含m的式子表示矩形pqnm的周长；(3)当矩形pqnm的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的aem的面

15、积；(4)在(3)的条件下，当矩形pmnq的周长最大时，连接dq，过抛物线上一点f作y轴的平行线，与直线ac交于点g(点g在点f的上方)若fg2dq，求点f的坐标20如图，已知直线与x轴交于点b，与y轴交于点c，抛物线与x轴交于a、b两点（a在b的左侧），与y轴交于点c.（1）求抛物线的解析式；（2）点m是上述抛物线上一点，如果abm和abc相似，求点m的坐标；（3）连接ac，求顶点d、e、f、g在abc各边上的矩形defc面积最大时，写出该矩形在ab边上的顶点的坐标21如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于a，b两点，交x轴于c、d两点，连接ac、bc，已知a（0，3），c（3，

16、0）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点m，使|mbmd|的值最大，并求出这个最大值；（3）点p为y轴右侧抛物线上一动点，连接pa，过点p作pqpa交y轴于点q，问：是否存在点p使得以a，p，q为顶点的三角形与abc相似？若存在，请求出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由22如图，已知抛物线经过原点o，顶点a（1，1），且与直线ykx+2相交于b（2，0）和c两点（1）求抛物线和直线bc的解析式；（2）求证：abc是直角三角形；（3）抛物线上存在点e（点e不与点a重合），使bceacb，求出点e的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点f，使bdf是等腰三角形？若存

17、在，请直接写出点f的坐标23已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax24ax+1与x轴的正半轴交于点a和点b，与y轴交于点c，且ob=3oc，点p是第一象限内的点，连接bc，pbc是以bc为斜边的等腰直角三角形（1）求这个抛物线的表达式；（2）求点p的坐标；（3）点q在x轴上，若以q、o、p为顶点的三角形与以点c、a、b为顶点的三角形相似，求点q的坐标24如图，已知抛物线yax2+bx3与x轴交于a、b两点，与y轴交于c点，经过a、b、c三点的圆的圆心m（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，m的半径为设m与y轴交于d，抛物线的顶点为e（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设dbc，c

18、be，求sin（）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点p，使得以p、a、c为顶点的三角形与bce相似？若存在，请指出点p的位置，并直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由25抛物线的图象经过坐标原点，且与轴另交点为.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，直线与抛物线相交于点和点（点在第二象限），求的值（用含的式子表示）；（3）在（2）中，若，设点是点关于原点的对称点，如图.平面内是否存在点，使得以点、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.26已知：如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于a(-1，0)、b两点（a在b左），y轴交于点c（0，-3）（1）求抛物线的解析

19、式；（2）若点d是线段bc下方抛物线上的动点，求四边形abcd面积的最大值；（3）若点e在x轴上，点p在抛物线上是否存在以b、c、e、p为顶点且以bc为一边的平行四边形？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由 27如图，在平面直角坐标系中有抛物线ya（x2）22和ya（xh）2，抛物线ya（x2）22经过原点，与x轴正半轴交于点a，与其对称轴交于点b；点p是抛物线ya（x2）22上一动点，且点p在x轴下方，过点p作x轴的垂线交抛物线ya（xh）2于点d，过点d作pd的垂线交抛物线ya（xh）2于点d（不与点d重合），连接pd，设点p的横坐标为m：（1）直接写出a的值；直接写出抛物线ya（x2）22的函数表达式的一般式；（2）当抛物线ya（xh）2经过原点时，设pdd与oab重叠部分图形周长为l：求的值；直接写出l与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点p，使以点o、a、d、d为顶点的四边形是菱形？直接写出h的值28综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于a-3,0、b4,0两点，与y轴交于点c.（1）求抛物线解析式：（2）抛物线对称轴上存在一点，连接ah、ch，当ah-ch值最大时，求点h坐标：（3）若抛物线上存在一点pm,n，mn>0，当sabc=sabp时，求点p坐标：（4）若点m是bac平分线上的一点，点n是平面内一点，若以