《中考课件初中数学总复习资料》第13关 以二次函数与圆的问题为背景的解答题（原卷版）

1、第十三关：以二次函数与圆的问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。“圆”在初中阶段学习占有重要位置,“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、“直线与圆的位置关系”的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结合,则多作为区分度较高的压轴题

2、中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数学思想,得到命题者的青睐【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓

3、住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。【典型例题】【例1】（2019·黑龙江中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx-53经过点a（1，0）和点b（5，0），与y轴交于点c（1）求抛物线的解析式；（2）以点a为圆心，作与直线bc相切的a，请判断a与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线bc上方的抛物线上任取一点p，连接pb、pc，请问：pbc的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点p的坐标；若不存在，请说明理由【例2】（2019·广西中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，点的坐标为，抛物线经过三点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴的交点为

4、点，点关于原点的对称点为，连接，以点为圆心，的长为半径作圆，点为直线上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）求周长的最小值；（3）若动点与点不重合，点为上的任意一点，当的最大值等于时，过两点的直线与抛物线交于两点（点在点的左侧），求四边形的面积【例3】（2018·青海中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形abcd是以ab为直径的m的内接四边形，点a，b在x轴上，mbc是边长为2的等边三角形，过点m作直线l与x轴垂直，交m于点e，垂足为点m，且点d平分（1）求过a，b，e三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形amcd是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点p，使得abp的面积等

5、于定值5？若存在，请求出所有的点p的坐标；若不存在，请说明理由【方法归纳】函数知识要理解好数形结合的思想，知识点的掌握中要理解文字解释和图像之间的关系，至于与圆、三角形、方程的综合题，往往最后一问难度大，要建立模型、框架，完善步骤，循序渐进.【针对练习】1我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”（1）在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ；在凸四边形abcd中，ab=ad且cbcd，则该四边形 “十字形”（填“是”或“不是”）（2）如图1，a，b，c，d是半径为1的o上按逆时针方向排列的四个动点，ac与bd交于点e，adbcdb=abdcbd，当6ac2+b

6、d27时，求oe的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0，c0）与x轴交于a，c两点（点a在点c的左侧），b是抛物线与y轴的交点，点d的坐标为（0，ac），记“十字形”abcd的面积为s，记aob，cod，aod，boc的面积分别为s1，s2，s3，s4求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；s=s1 +s2；s=s3 +s4；“十字形”abcd的周长为12102（2019·湖南中考真题）如图，抛物线(a为常数，a0)与x轴交于o，a两点，点b为抛物线的顶点，点d的坐标为(t，0)(3t0)，连接bd并延长与过o，a，b三

7、点的p相交于点c（1）求点a的坐标；（2）过点c作p的切线ce交x轴于点e如图1，求证：cede；如图2，连接ac，be，bo，当，caeobe时，求的值3（2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴和轴于点.(1)如图1，已知经过点，且与直线相切于点，求的直径长；(2)如图2，已知直线分别交轴和轴于点和点，点是直线上的一个动点，以为圆心，为半径画圆.当点与点重合时，求证: 直线与相切；设与直线相交于两点， 连结. 问:是否存在这样的点，使得是等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.4（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，

8、圆心为p（x，y）的动圆经过点a（1，2）且与x轴相切于点b（1）当x=2时，求p的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到 的距离等于到 的距离的所有点的集合（4）当p的半径为1时，若p与以上（2）中所得函数图象相交于点c、d，其中交点d（m，n）在点c的右侧，请利用图，求cosapd的大小5（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴

9、交于点a、b（点a在点b的左侧），与y轴交于点d，过其顶点c作直线cpx轴，垂足为点p，连接ad、bc（1）求点a、b、d的坐标；（2）若aod与bpc相似，求a的值；（3）点d、o、c、b能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.6（2017·江苏中考真题）如图，以原点o为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于a，b两点（点b在点a的右边），p是半径ob上一点，过p且垂直于ab的直线与o分别交于c，d两点（点c在点d的上方），直线ac，db交于点e若ac：ce=1：2（1）求点p的坐标；（2）求过点a和点e，且顶点在直线cd上的抛物线的函数表达式7（2019·山东

10、中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与m相交于a、b、c、d四点其中ab两点的坐标分别为（-1，0），（0，-2），点d在x轴上且ad为m的直径点e是m与y轴的另一个交点，过劣弧de上的点f作fhad于点h，且fh=15（1）求点d的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点p是x轴上的一个动点，试求出pef的周长最小时点p的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点q，使qcm是等腰三角形？如果存在，请直接写出点q的坐标；如果不存在，请说明理由8（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系xoy中，半径为1的圆的圆心o在坐标原点，且与两坐标轴分别交于a、b、c、

11、d四点抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点d，与直线y=x交于点m、n，且ma、nc分别与圆o相切于点a和点c（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点e，连结de，并延长de交圆o于f，求ef的长（3）过点b作圆o的切线交dc的延长线于点p，判断点p是否在抛物线上，说明理由9（2018·山东中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点a（3，0），b（1，0），c（0，3）（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点a为圆心的圆与直线bc相切于点m，求切点m的坐标；（3）若点q在x轴上，点p在抛物线上，是否存在以点b，c，q，p为顶点的四边形是平行四边形？若

12、存在，求点p的坐标；若不存在，请说明理由10（2018·湖南中考真题）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”（1）在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ；在凸四边形abcd中，ab=ad且cbcd，则该四边形 “十字形”（填“是”或“不是”）（2）如图1，a，b，c，d是半径为1的o上按逆时针方向排列的四个动点，ac与bd交于点e，adbcdb=abdcbd，当6ac2+bd27时，求oe的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0，c0）与x轴交于a，c两点（点a在点c的左侧），b是抛物

13、线与y轴的交点，点d的坐标为（0，ac），记“十字形”abcd的面积为s，记aob，cod，aod，boc的面积分别为s1，s2，s3，s4求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；= ；= ；“十字形”abcd的周长为1211（2017·广西中考真题）已知抛物线y1=ax2+bx-4（a0）与x轴交于点a（-1，0）和点b（4，0）（1）求抛物线y1的函数解析式；（2）如图，将抛物线y1沿x轴翻折得到抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点c，点d是线段bc上的一个动点，过点d作dey轴交抛物线y1于点e，求线段de的长度的最大值；（2）在（2）的条件下，当线段de处于长度最大值位置时，作

14、线段bc的垂直平分线交de于点f，垂足为h，点p是抛物线y2上一动点，p与直线bc相切，且sp：sdfh=2，求满足条件的所有点p的坐标12（2018·山东中考真题）抛物线y=ax2+bx+4（a0）过点a（1，1），b（5，1），与y轴交于点c（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接cb，以cb为边作cbpq，若点p在直线bc上方的抛物线上，q为坐标平面内的一点，且cbpq的面积为30，求点p的坐标；（3）如图2，o1过点a、b、c三点，ae为直径，点m为 上的一动点（不与点a，e重合），mbn为直角，边bn与me的延长线交于n，求线段bn长度的最大值13（2019·

15、;四川中考真题）如图，已知抛物线（a0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线与抛物线交于b，d两点，以bd为直径作圆，圆心为点c，圆c与直线m交于对称轴右侧的点m（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆c与x轴相切；（3）过点b作bem，垂足为e，再过点d作dfm，垂足为f，求mf的值14（2019·江苏中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点与轴交于点，的半径为为上一动点.（1）点的坐标分别为（ ），（ ）；（2）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接，若为的中点，连接，

16、则的最大值= .15（2017·黑龙江中考真题）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交直线于点，以为直径的圆交直线于另一点当点在轴上时，求的周长；（3）将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的坐标16（2017·甘肃中考真题）如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴与点，点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点.(1)求抛物线的表达式；(2)连接，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；(3)在轴上存在一点，连接，当点运动到什么位置时，以为顶点的四边形是矩形？求出此时点的坐标；在的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最小值.17（2017·湖南中考真题）已知二次函数y=x2+bx+c+1，当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程； 若c=b22b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？若二次函数的图象与x轴交于点a（x