《中考课件初中数学总复习资料》第09讲 四边形的存在性-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版

1、硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点中点坐标公式如图1，在平面直角坐标系中，若点，且为线段中点，则点坐标为. 图1 图2证明如下：如图2，分别过点a，c作y轴平行线，过点b作x轴平行线，分别交于点d和点e，则由图可得：，即，解得，故点的坐标为，可巧记为“中点对应平均数”.一、平行四边形四顶点的坐标关系如图3，在平行四边形abcd中，有，即相对两顶点的横纵坐标之和相等；或者也可记为，即对边两顶点之间的水平距离与垂直距离分别相等；图3证明：如图4，因为m点既是ac中点，也是bd中点，由中点坐标公式可得：，故有成立， 图4利用此关系可以在二次函数解答题中进行相关点坐标求解.二、平行四边形点的存

2、在性问题解法第一步：写出或设出三个顶点的坐标；第二步：以“哪两个顶点相对”为分类标准，分三类讨论，利用上述模型，求出第四个顶点的坐标；第三步：将第四个顶点坐标代入相应的函数关系式即可。【例题1】（贵阳中考）如图，经过点c（0，4）的抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴相交于a（2，0），b两点（1）a0，b24ac0（填“”或“”）；（2）若该抛物线关于直线x2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接ac，e是抛物线上一动点，过点e作ac的平行线交x轴于点f是否存在这样的点e，使得以a，c，e，f为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点e的坐标；若不存在，请

3、说明理由【解析】（1）a0，b24ac0；（2）直线x2是对称轴，a（2，0），b（6，0），点c（0，4），将a，b，c的坐标分别代入yax2+bx+c，解得：a，b，c4，抛物线的函数表达式为yx2x4；（3）存在，理由为：（i）假设存在点e使得以a，c，e，f为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点c作cex轴，交抛物线于点e，过点e作efac，交x轴于点f，如图1所示，则四边形acef即为满足条件的平行四边形，抛物线yx2x4关于直线x2对称，由抛物线的对称性可知，e点的横坐标为4，又oc4，e的纵坐标为4，存在点e（4，4）；（ii）假设在抛物线上还存在点e，使得以a，c，f，e为顶点

4、所组成的四边形是平行四边形，过点e作efac交x轴于点f，则四边形acfe即为满足条件的平行四边形，acef，acef，如图2，过点e作egx轴于点g，acef，caoefg，又coaegf90°，acef，caoefg，egco4，点e的纵坐标是4，4x2x4，解得：x12+2，x222，点e的坐标为（2+2，4），同理可得点e的坐标为（22，4），综上，点e的坐标为（4，4），（2+2，4），（22，4）【例题2】已知如图，矩形oabc的长oa，宽oc1，将aoc沿ac翻折得apc（1）求pcb的度数；（2）若p，a两点在抛物线yx2+bx+c上，求b，c的值，并说明点c在此抛物

5、线上；（3）（2）中的抛物线与矩形oabc边cb相交于点d，与x轴相交于另外一点e，若点m是x轴上的点，n是y轴上的点，以点e、m、d、n为顶点的四边形是平行四边形，试求点m、n的坐标【解析】（1）在rtoac中，oa，oc1，则oac30°，oca60°；根据折叠的性质知：oaap，acoacp60°；bcaoac30°，且acp60°，pcb30°（2）过p作pqoa于q；rtpaq中，paq60°，ap；oqaq，pq，所以p（，）；将p、a代入抛物线的解析式中，得：，解得；即yx2+x+1；当x0时，y1，故c（0，

6、1）在抛物线的图象上（3）若de是平行四边形的对角线，点c在y轴上，cd平行x轴，过点d作dmce交x轴于m，则四边形emdc为平行四边形，把y1代入抛物线解析式得点d的坐标为（，1）把y0代入抛物线解析式得点e的坐标为（，0）m（，0）；n点即为c点，坐标是（0，1）；若de是平行四边形的边，过点a作ande交y轴于n，四边形dane是平行四边形，dean2，tanean，ean30°，deaean，dea30°，m（，0），n（0，1）；同理过点c作cmde交y轴于n，四边形cmde是平行四边形，m（，0），n（0，1）【例题3】（2020河南模拟）如图，直线y2x+1

7、2与x轴交于点c，与y轴交于点b，抛物线y3ax2+10x+3c经过b，c两点，与x轴交于另一点a，点e是直线bc上方抛物线上的一动点，过e作efy轴交x轴于点f，交直线bc于点m（1）求抛物线的解析式；（2）求线段em的最大值；（3）在（2）的条件下，连接am，点q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点p，使得以p，q，a，m为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出p点坐标；如果不存在，请说明理由【解析】（1）直线y2x+12与x轴交于点c，与y轴交于点b，则点c、b的坐标分别为：（6，0）、（0，12），抛物线y3ax2+10x+3c经过b，c两点，则3c12，故抛物线的表达

8、式为：y3ax2+10x+12，将点c的坐标代入上式并解得：a，故抛物线的表达式为：y2x2+10x+12；（2）设点e（x，2x2+10x+12），则点m（x，2x+12），em（2x2+10x+12）（2x+12）2x2+12x，20，故em有最大值，最大值为18，此时x3；（3）y2x2+10x+12，令y0，则x1或6，故点a（1，0），由（2）知，x3，则点m（3，6），设点p的横坐标为：m，点q的坐标为：（，s），当am是边时，当点a向右平移4个单位向上平移6个单位得到点m，同样，点p（q）向右平移4个单位向上平移6个单位得到点得到点q（p），即m±4，解得：m或，故点p

9、（，）或（，）；当am是对角线时，由中点公式得：1+2m+，解得：m，故点p（，）；综上，点p的坐标为：（，）或（，）或（，）【例题4】如图，一次函数yx+5的图象与坐标轴交于a，b两点，与反比例函数y的图象交于m，n两点，过点m作mcy轴于点c，且cm1，过点n作ndx轴于点d，且dn1已知点p是x轴（除原点o外）上一点（1）直接写出m、n的坐标及k的值；（2）将线段cp绕点p按顺时针或逆时针旋转90°得到线段pq，当点p滑动时，点q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点q的坐标；如果不能，请说明理由；（3）当点p滑动时，是否存在反比例函数图象（第一象限的一支）上的点s，使

10、得以p、s、m、n四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点s的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）由题意m（1，4），n（4，1），点m在y上，k4；（2）当点p滑动时，点q能在反比例函数的图象上；如图1，cppq，cpq90°，过q作qhx轴于h，易得：copphq，coph，opqh，由（2）知：反比例函数的解析式：y；当x1时，y4，m（1，4），ocph4，设p（x，0），q（x+4，x），当点q落在反比例函数的图象上时，x（x+4）4，x2+4x+48，x2±2，当x2+2时，x+42+2，如图1，q（2+2，2+2）；当x22时，x+

11、422，如图2，q（22，22）；如图3，cppq，cpq90°，设p（x，0）过p作ghy轴，过c作cggh，过q作qhgh，易得：cpgpqh，pgqh4，cgphx，q（x4，x），同理得：x（x4）4，解得：x1x22，q（2，2），综上所述，点q的坐标为（2+2，2+2）或（22，22）或（2，2）（3）当mn为平行四边形对角线时，根据mn的中点的纵坐标为，可得点s的纵坐标为5，即s（，5）；当mn为平行四边形的边时，易知点s的纵坐标为3，即s（，3）；故点s坐标为（，5）或（，3）【例题5】（2020安阳模拟）如图，直线yx4与x轴、y轴分别交于a，b两点，抛物线yx2+

12、bx+c经过a，b两点，与x轴的另一交点为c，连接bc（1）求抛物线的解析式；（2）点m在抛物线上，连接mb，当mba+cbo45°时，求点m的横坐标；（3）点p从点c出发，沿线段ca由c向a运动，同时点q从点b出发沿线段bc由b向c运动，p，q的运动速度都是每秒1个单位长度，当q点到达c点时，p，q同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点d，使p，q运动过程中的某些时刻t，以c，d，p，q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由【解析】（1）直线解析式yx4，令x0，得y4；令y0，得x4a（4，0）、b（0，4）点a、b在抛物线yx2+bx+c上，解得，抛物

13、线解析式为：yx2x4（2）设m（x，y），令yx2x40，解得：x3或x4，c（3，0）当bmbc时，如答图21所示abo45°，mba+cbo45°，故点m满足条件过点m1作m1ey轴于点e，则m1ex，oey，be4+ytanm1betanbco，直线bm1的解析式为：yx4，（舍去），点m1的坐标（，）当bm与bc关于y轴对称时，如答图22所示abomba+mbo45°，mbocbo，mba+cbo45°，故点m满足条件过点m2作m2ey轴于点e，则m2ex，oey，be4+ytanm2betancbo，直线bm2的解析式为：yx4，（舍去），点

14、m2的坐标（5，），综上所述：点m的横坐标为：或5；（3）设bco，则tan，sin，cos假设存在满足条件的点d，设菱形的对角线交于点e，设运动时间为t若以cq为菱形对角线，如答图31此时bqt，菱形边长tcecq（5t）在rtpce中，cos，解得t若以pq为菱形对角线，如答图32此时bqt，菱形边长tbqcqt，t，若以cp为菱形对角线，如答图33此时bqt，菱形边长5t在rtceq中，cos，解得t综上所述，当t或或时，以c，d，p，q为顶点的四边形为菱形1（2016扬州）如图1，二次函数yax2+bx的图象过点a（1，3），顶点b的横坐标为1（1）求这个二次函数的表达式；（2）点p在

15、该二次函数的图象上，点q在x轴上，若以a、b、p、q为顶点的四边形是平行四边形，求点p的坐标；【解析】（1）二次函数yax2+bx的图象过点a（1，3），顶点b的横坐标为1，则有解得，二次函数yx22x，（2）由（1）得，b（1，1），a（1，3），直线ab解析式为y2x+1，ab2，设点q（m，0），p（n，n22n）以a、b、p、q为顶点的四边形是平行四边形，当ab为对角线时，根据中点坐标公式得，则有，解得或，p（1+，2）和（1，2）当ab为边时，根据中点坐标公式得解得或p（1+，4）或（1，4）故答案为p（1+，2）或（1，2）或p（1+，4）或（1，4）2（2018春吴中区期中）如图

16、1，已知直线y2x分别与双曲线y，y交于第一象限内p，q两点，且oqpq （1）则p点坐标是（2，4）；k2（2）如图2，若点a是双曲线y在第一象限图象上的动点，abx轴，acy轴，分别交双曲线y于点b，c；连接bc，请你探索在点a运动过程中，abc的面积是否变化，若不变，请求出abc的面积；若改变，请说明理由；若点d是直线y2x上的一点，请你进一步探索在点a运动过程中，以点a，b，c，d为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点a的坐标；若不能，请说明理由【解析】（1）过点q作qex轴，垂足为e，过点p作pfx轴，垂足为f，如图1，联立 ，解得：或x0，点p的坐标为（2，4）of2，p

17、f4qex轴，pfx轴，qepfoeqofpoqpqof2oe2，pf2eq4oe1，eq2点q的坐标为（1，2）点q（1，2）在双曲线y上，k1×22k的值为2故答案为（2，4），2（2）如图2，设点a的坐标为（a，b），点a（a，b）在双曲线y上，babx轴，acy轴，xcxaa，ybyab点b、c在双曲线y上，xb，yc点b的坐标为（，），点c的坐标为（a，）aba，acsabcabac××在点a运动过程中，abc的面积不变，始终等于当ac为平行四边形的一边，当点b在点q的右边时，如图3，四边形acbd是平行四边形，acbd，acbdxdxbyd2xddba

18、c，解得：a±2经检验：a±2是该方程的解a0，a2b点a的坐标为（2，）当点b在点q的左边且点c在点q的右边时，如图4，四边形acdb是平行四边形，acbd，acbdxdxbayd2xddbac，解得：a±2经检验：a±2是该方程的解a0，a2b4点a的坐标为（2，4）当ac为平行四边形的对角线，此时点b、点c都在点q的左边，如图5，四边形abcd是平行四边形，abcd，abcdydycxdcdaaba，a解得：a±经检验：a±是该方程的解a0，ab4点a的坐标为（，4 ）综上所述：当点a、b、c、d为顶点的四边形为平行四边形时，此

19、时点a的坐标为（2，）或（2，4）或（，4 ）3（2019春常熟市期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数yx+b的图象与反比例函数y在第二象限内的图象相交于点a，与x轴的负半轴交于点b，与y轴的负半轴交于点c（1）求bco的度数；（2）若y轴上一点m的纵坐标是4，且ambm，求点a的坐标；（3）在（2）的条件下，若点p在y轴上，点q是平面直角坐标系中的一点，当以点a、m、p、q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点q的坐标【解析】（1）一次函数yx+b的图象交x轴于b，交y轴于c，则b（b，0），c（0，b），obocb，boc90°obc是等腰直角三角形，bco45°（2）

20、如图1中，作mnab于nm（0，4），mnac，直线ac的解析式为yx+b，直线mn的解析式为yx+4，由，解得，n（，），mamb，mnab，nabn，设a（m，n），则有，解得，a（4，b+4），点a在y上，4（b+4）4，b3，a（4，1）（3）如图2中，由（2）可知a（4，1），m（0，4），am5，当菱形以am为边时，aqaq5，aqom，可得q（4，4），q（4，6），当a，q关于y轴对称时，也满足条件，此时q（4，1）当am为菱形的对角线时，设p（0，b），则有（4b）242+（b1）2，baqmp，q（4，），综上所述，满足条件的点q坐标为（4，4）或（4，6）或（4，）或（4

21、，1）5（2013黔西南州模拟）已知抛物线经过点a（2，0），设顶点为p，与x轴的另一交点b（1）求b的值和点p、点b的坐标；（2）在直线上是否存在点d，使四边形opbd为平行四边形？若存在，求出点d的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）抛物线yx2+bx+6经过a（2，0），0×22+b×2+6，解得b4，抛物线的解析式为yx24x+6yx24x+6（x28x）+6（x4）22，顶点p的坐标为（4，2），令y0，得x24x+60，解得x12，x26点b的坐标是（6，0）；（2）在直线yx上存在点d，使四边形opbd为平行四边形理由如下：设直线pb的解析式为ykx+b，

22、把b（6，0），p（4，2）分别代入，得，解得，直线pb的解析式为yx6直线od的解析式为yx，直线pbod设直线op的解析式为ymx，把p（4，2）代入，得4m2，解得m如果opbd，那么四边形opbd为平行四边形设直线bd的解析式为yx+n，将b（6，0）代入，得03+n，解得n3，直线bd的解析式为yx+3解方程组，得，d点的坐标为（2，2）5（2017宿迁）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线yx22x3交x轴于a，b两点（点a在点b的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作m，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作n，曲线n交y轴于点c，连接ac、bc（1）求曲线n

23、所在抛物线相应的函数表达式；（2）求abc外接圆的半径；（3）点p为曲线m或曲线n上的一动点，点q为x轴上的一个动点，若以点b，c，p，q为顶点的四边形是平行四边形，求点q的坐标【解析】（1）在yx22x3中，令y0可得x22x30，解得x1或x3，a（1，0），b（3，0），令x0可得y3，又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线n，c（0，3），设曲线n的解析式为yax2+bx+c，把a、b、c的坐标代入可得，解得，曲线n所在抛物线相应的函数表达式为yx2+2x+3；（2）设abc外接圆的圆心为m，则点m为线段bc、线段ab垂直平分线的交点，b（3，0），c（0，3），线段bc的垂直平

24、分线的解析式为yx，又线段ab的垂直平分线为曲线n的对称轴，即x1，m（1，1），mb，即abc外接圆的半径为；（3）设q（t，0），则bq|t3|当bc为平行四边形的边时，如图1，则有bqpc，p点纵坐标为3，即过c点与x轴平行的直线与曲线m和曲线n的交点即为点p，x轴上对应的即为点q，当点p在曲线m上时，在yx22x3中，令y3可解得x1+或x1，pc1+或pc1，当x1+时，可知点q在点b的右侧，可得bqt3，t31+，解得t4+，当x1时，可知点q在点b的左侧，可得bq3t，3t1，解得t4，q点坐标为（4+，0）或（4，0）；当点p在曲线n上时，在yx2+2x+3中，令y3可求得x0

25、（舍去）或x2，pc2，此时q点在b点的右侧，则bqt3，t32，解得t5，q点坐标为（5，0）；当bc为平行四边形的对角线时，b（3，0），c（0，3），线段bc的中点为（，），设p（x，y），x+t3，y+03，解得x3t，y3，p（3t，3），当点p在曲线m上时，则有3（3t）22（3t）3，解得t2+或t2，q点坐标为（2+，0）或（2，0）；当点p在曲线n上时，则有3（3t）2+2（3t）+3，解得t3（q、b重合，舍去）或t1，q点坐标为（1，0）；综上q点坐标为（4+，0）或（4，0）或（5，0）或（2+，0）或（2，0）或（1，0）6（2020山西模拟）综合与探究如图1，抛物线

26、yx2x2与x轴交于a，b两点，与y轴交于点c，经过点b的直线交y轴于点e（0，2）（1）求a，b，c三点的坐标及直线be的解析式（2）如图2，过点a作be的平行线交抛物线于点d，点p是抛物线上位于线段ad下方的一个动点，连接pa，pd，求oapd面积的最大值（3）若（2）中的点p为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点q，使得以a，d，p，q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点q的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）令y0，则x2x20，解得x4或x1，a（1，0），b（4，0），令x0，则y2，c（0，2），设直线be的解析式为ykx+b，将b（4，0）、e（0，2）代入得，解

27、得：，yx+2；（2）由题意可设ad的解析式为yx+m，将a（1，0）代入，得到m，yx，联立，解得：，d（3，2），过点p作pfx轴于点f，交ad于点n，过点d作dgx轴于点gsapdsapn+sdpnpnaf+pnfgpn（af+fg）pnag×4pn2pn，设p（a，a2a2），则n（a，a），pna2+a+，sapda2+2a+3（a1）2+4，10，1a3，当a1时，apd的面积最大，最大值为4；（3）存在；当pd与aq为平行四边形的对边时，aqpd，aq在x轴上，p（0，2），pd3，aq3，a（1，0），q（2，0）或q（4，0）；当pd与aq为平行四边形的对角线时，p

28、d与aq的中点在x轴上，p点的纵坐标为2，p（，2）或p（，2），pd的中点为（，0）或（，0），q点与a点关于pd的中点对称，q（，0）或q（，0）；综上所述：点q的坐标为（2，0）或（4，0）或（，0）或（，0）7（2016南充）如图，抛物线与x轴交于点a（5，0）和点b（3，0）与y轴交于点c（0，5）有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点p和q，交直线ac于点m和n交x轴于点e和f（1）求抛物线的解析式；（2）当点m和n都在线段ac上时，连接mf，如果sinamf，求点q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点p，q，m，n为顶点的四边

29、形是平行四边形时，求点m的坐标【解析】（1）抛物线与x轴交于点a（5，0），b（3，0），可以假设抛物线为ya（x+5）（x3），把点（0，5）代入得到a，抛物线的解析式为yx2x+5（2）作fgac于g，设点f坐标（m，0），则afm+5，aeemm+6，fg（m+5），fm，sinamf，整理得到2m2+19m+440，（m+4）（2m+11）0，m4或5.5（舍弃），点q坐标（4，）（3）当mn是对角线时，点m在y轴的右侧，设点f（m，0），直线ac解析式为yx+5，点n（m，m+5），点m（m+1，m+6），qnpm，m2m+5m5m+6（m+1）2（m+1）+5，解得m3+或3（舍弃），此时m（2+，3+），当mn是对角线时，