(完整版)清华大一高数第一学期期末试题1

1、一、填空题 ( 本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分). （1）210)(coslimxxx=_. （2）曲线xxyln上与直线01yx平行的切线方程为_. （3）已知xxxeef)(，且0)1(f, 则)(xf_ . （4）曲线132xxy的斜渐近线方程为_. （5）微分方程522(1)1yyxx的通解为 _. 二、选择题 ( 本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分). （1）下列积分结果正确的是（）(a) 0111dxx(b) 21112dxx(c) 141dxx(d) 11dxx（2）函数)(xf在,ba内有定义，其导数)( xf的图形如图1-1 所示，则（）. (a)

2、21,xx都是极值点 . (b) )(,)(,2211xfxxfx都是拐点 . (c) 1x是极值点 .，)(,22xfx是拐点 . (d) )(,11xfx是拐点，2x是极值点 . 图 1-1 （3）函数212eeexxxyccx满足的一个微分方程是（）. （a）23 e .xyyyx（ b）23e .xyyy（c）23 e .xyyyx（ d）23e .xyyy（4）设)(xf在0 x处可导，则000limhfxfxhh为（）. (a) 0fx. (b) 0fx. (c) 0. (d)不存在. （5）下列等式中正确的结果是（）. (a)( )( ).f x dxf x(b)( )( ).d

3、fxf x(c)( )( ).df x dxf x(d)( )( ).fx dxf x算题（本题共4 小题，每小题6 分，共 24 分）. 1求极限)ln11(lim1xxxx.2.方程tttytxsincossinln确定y为x的函数，求dxdy与22dxyd. 3.3.计算不定积分arctan(1)xdxxx. )(xfyyo1x2xabx4.计算定积分3011dxxx.四、解答题（本题共4 小题，共29 分） . 1 （本题 6 分）解微分方程256xyyyxe2 （本题 7 分）一个横放着的圆柱形水桶（如图 4-1） ， 桶内盛有半桶水， 设桶的底半径为r，水的密度为，计算桶的一端面上

4、所受的压力3. （本题 8 分）设( )f x在 , a b上有连续的导数，( )( )0f af b，且2( )1bafx dx，试求( )( )baxf x fx dx. 4. （本题8 分）过坐标原点作曲线xyln的切线，该切线与曲线xyln及x轴围成平面图形 d.(1) (1)求 d 的面积 a; (2) (2)求 d 绕直线ex旋转一周所得旋转体的体积v.五、证明题（本题共1 小题，共7 分） . 1. 证明对于任意的实数x，1xex. 一、填空题 ( 本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分). （1）210)(coslimxxx=_e1_. （2）曲线xxyln上与直线01

5、yx平行的切线方程为_1xy_. （3）已知xxxeef)(，且0) 1(f, 则)(xf_)(xf2)(ln21x_ . （4）曲线132xxy的斜渐近线方程为_.9131xy（5）微分方程522(1)1yyxx的通解为 _.)1()1(32227xcxy二、选择题 ( 本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分).（1）下列积分结果正确的是（d ）(a) 0111dxx(b) 21112dxx(c) 141dxx(d) 11dxx（2）函数)(xf在,ba内有定义，其导数)( xf的图形如图1-1 所示，则（d ）. (a)21,xx都是极值点 . (b) )(,)(,2211xfxx

6、fx都是拐点 . (c) 1x是极值点 .，)(,22xfx是拐点 . (d) )(,11xfx是拐点，2x是极值点 . 图 1- )(xfyyo1x2xabx（3）函数212eeexxxyccx满足的一个微分方程是（d ）. （a）23 e .xyyyx（ b）23e .xyyy（c）23 e .xyyyx（ d）23e .xyyy（4）设)(xf在0 x处可导，则000limhfxfxhh为（a ）. (a) 0fx. (b) 0fx. (c) 0. (d) 不存在. （5）下列等式中正确的结果是（a ）. (a)( )( ).f x dxf x(b)( )( ).df xf x(c)(

7、)( ).df x dxf x(d)( )( ).fx dxf x三、计算题（本题共4 小题，每小题6 分，共 24 分）. 1求极限)ln11(lim1xxxx.解)ln11(lim1xxxx=xxxxxxln)1(1lnlim1-1 分 =xxxxxln1lnlim1-2 分 = xxxxxxln1lnlim1-1 分 = 211ln1ln1lim1xxx-2 分2.方程tttytxsincossinln确定y为x的函数，求dxdy与22dxyd. 解,sin)()(tttxtydxdy-（3 分）.sintansin)()sin(22tttttxttdxyd-（ 6 分）4.4. 计算不

8、定积分arctan(1)xdxxx. 2arctanarctan22(1)(1) =2arctanarctan2 =arctan2xxdxdxxxxxdxxc解：分分（）分4.计算定积分3011dxxx.解3030)11 (11dxxxxdxxx30)11(dxx- - （3分）35)1(3233023x- -（6 分）（或令tx1）四、解答题（本题共4 小题，共29 分） . 1 （本题 6 分）解微分方程256xyyyxe.2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12xxxxxxxrrrrec eyx b xb ebbyxxeyec

9、 exxe解：特征方程分特征解.分次方程的通解y=c分令分代入解得，所以分所以所求通解c分2 （本题 7 分）一个横放着的圆柱形水桶（如图 4-1） ，桶内盛有半桶水， 设桶的底半径为r，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力解：建立坐标系如图22022220322203241213213rrrpgxrx dxgrx d rxgrxgr分（）分 （） 分分3. （本题 8 分）设( )f x在 , a b上有连续的导数，( )( )0f af b，且2( )1bafx dx，试求( )( )baxf x fx dx. x y 222( )( )( )( )21( )221 =( )( )221

10、1 =0222bbaababbaaxf x fx dxxf x df xxdfxxfxfx dx解：分分分分4. （本题8 分）过坐标原点作曲线xyln的切线，该切线与曲线xyln及x轴围成平面图形 d.(3) (3)求 d 的面积 a; (4) (4)求 d 绕直线ex旋转一周所得旋转体的体积v.解 ： (1) 设 切 点 的 横 坐 标 为0 x， 则 曲 线xyln在点)ln,(00 xx处的切线方程是).(1ln000 xxxxy-1 分由该切线过原点知01ln0 x， 从而.0ex所以该切线的方程为.1xey-1 分平面图形 d 的面积10.121)(edyeyeay-2 分（2） 切线xey1与x轴及直线ex所围成的三角形绕直线ex旋转所得的圆锥体积为.3121ev-2 分曲线xyln与 x 轴及直线ex所围成的图形绕直线ex旋转所得的旋转体体积为dyeevy2102)(，-1 分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221eedyeeevvvy-1 分五、证明题（本题共1 小题，共7 分） . 1. 证明对于任意的实数x，1xex. xyo1e1d解法一：2112xeexxx解法二：设( )1.xf xex则(0)0.f-1分因为( )1.xfxe- 1 分当0 x时，( )0.fx( )f x单调增加，( )(0)0.f