一圆周角定理

1、配套练习题一选择题（共16 小题）1如图， A 、 B、 C 三点在 O 上，若 BOC=76 °，则 BAC 的度数是（）A 152°B 76°C 38°D 14°2如图， O 是 ABC 的外接圆，ACO=45 °，则 B 的度数为（）A 30°B 35°C 40°D 45°第1题图第2题图第3题图3如图，在图中标出的4 个角中，圆周角有（）个A 1B2C3D44如图，在O 中，直径CD 垂直于弦 AB ，若 C=25°，则 BOD 的度数是（）A 25°B 30

2、6;C 40°D 50°5如图，已知在 O 中，点 A ，B ，C 均在圆上， AOB=80 °，则 ACB 等于（）A 130°B 140°C 145°D 150°第4题图第5题图第6题图6如图， MN 是 O 的直径， PBN=50 °，则 MAP 等于（）A 50°B 40°C 30°D 20°7如图， CD 是 O 的直径， A 、 B 是 O 上的两点，若ABD=20 °，则 ADC 的度数为）A 40°B 50°C 60°D

3、 70°8如图， AB 是半圆的直径，点D 是的中点， ABC=50 °，则 DAB 等于（）A 55°B 60°C 65°D 70°第7题图第8题图第9题图第1页（共 36页）9如图， AB 是 O 的直径， C，D 为圆上两点，AOC=130 °，则 D 等于（）A 25°B 30°C 35°D 50°10如图， 1、 2、 3、 4 的大小关系是（）A 4 1 2 3B 4 1= 3 2C 4 1 3 2D 4 1 3= 211如图，AB 是半圆 O 的直径， BAC=60 &#

4、176;，D 是半圆上任意一点， 那么 D 的度数是（）A 30°B 45°C60°D90°第10题图第 11题图第12题图12如图，在O 中， OA BC， AOC=50 °，则 ADB 的度数为（）A 15°B 20°C 25°D 50°13在 O 中，点 A 、 B 在 O 上，且 AOB=84 °，则弦 AB 所对的圆周角是（）A 42°B 84°C 42°或 138°D 84°或 96°14如图所示， 在 O 中，AB 是 O

5、 的直径， ACB 的角平分线CD 交 O 于 D，则 ABD的度数等于（）A 90°B 60°C 45°D 30°15已知如图， AB 是 O 的直径， CD 是 O 的弦， CDB=40 °，则 CBA 的度数为 （）A 60°B 50°C 40°D 30°第 10题图第 11题图第 12题图16如图， AB 是圆的直径，AB CD， BAD=30 °，则 AEC 的度数等于（）A 30°B 50°C 60°D 70°二填空题（共8 小题）17如图，

6、O 的直径 CD 经过弦 EF 的中点 G， DCF=20 °，则 EOD 等于第2页（共 36页）第 17题图第 18题图第 19 题图18如图，点A 、B 在 O 上， AOB=100 °，点 C 是劣弧 AB 上不与 A 、 B 重合的任意一点，则 C=°19在 O 中，弦 AB=2cm ， ACB=30 °，则 O 的直径为cm20如图， O 中弦 AB 等于半径R，则这条弦所对的圆心角是，圆周角是第 20题图第 21题图第 22 题图21如图，等腰ABC 的底边 BC 的长为 4cm，以腰 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D，交AC 于点

7、E，则 DE 的长为cm22如图，在 “世界杯 ”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 进攻，当他带球冲到A 点时，同样乙已经助攻冲到 B 点，丙助攻到 C 点有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门第三种是甲将球传给丙，由丙射门仅从射门角度考虑，应选择种射门方式三解答题（共16 小题）25 28如图， AB 是 O 的直径， C 是 O 上的点， AC=6cm ， BC=8cm ， ACB 的平分线交 O 于点 D，求 AB 和 BD 的长26如图，已知CD 是 O 的直径，弦AB CD，垂足为点M，点 P 是上一点，且BPC=60 °试判断 ABC 的形状，

8、并说明你的理由第3页（共 36页）27、如图， ABC 的高 AD 、BE 相交于点 H，延长 AD 交 ABC 的外接圆于点G，连接 BG 求证： HD=GD 28已知：如图， AB 为 O 的直径， AB=AC ， BC 交 O 于点 D ，AC 交 O 于点 E BAC=40 °（ 1）求 EBC 的度数；（ 2）求证： BD=CD 29如图， ABC 是 O 的内接三角形，A=30 °， BC=3cm 求 O 的半径第4页（共 36页）30如图， AB 是 O 的直径，过圆上一点C 作 CD AB 于点 D，点 C 是弧 AF 的中点，连接AF交CD于点E，连接 B

9、C交AF于点G（1）求证： AE=CE ；31如图， ABC 中， AB AC， BAC 的平分线交外接圆于D ，DE AB 于 E，DM AC于 M （ 1）求证： BE=CM （ 2）求证： AB AC=2BE 32如图，OA 是 0 的半径，以 OA 为直径的 C 与 0 的弦 AB 相交于点D 求证：AD=BD 第5页（共 36页）33如图，已知：AB 是 O 的弦， D 为 O 上一点， DC AB 于 C， DM 平分 CDO 求证： M 是弧 AB 的中点34如图， ABC 的三个顶点都在 O 上，CD 是高，D 是垂足， CE 是直径， 求证： ACD= BCE 35已知：如图

10、，AE 是 O 的直径， AF BC 于 D，证明： BE=CF 第6页（共 36页）36已知 AB 为 O 的直径，弦BE=DE ， AD ， BE 的延长线交于点C，求证： AC=AB 37如图， AB 是圆 O 的直径， OC AB ，交一点， EC CD ，交 BD 于点 F问： AD 与 BFO于点 C，D是弧 AC 上一点， E是AB 上相等吗？为什么？38如图， AB 是 O 的直径， AC、 DE 是 O 的两条弦，且 DE AB ，延长 AC 、 DE 相交于点 F，求证： FCD= ACE 第7页（共 36页）39如图，已知 O 是 ABC 的外接圆， AD 是 O 的直径

11、，作 CEAD ，垂足为 E， CE 的延长线与 AB 交于 F试分析 ACF 与 ABC 是否相等，并说明理由40如图， ABC 内接于 O，AD 为 ABC 的外角平分线， 交 O 于点 D，连接 BD ，CD ，判断 DBC 的形状，并说明理由第8页（共 36页）41如图， AB 是 O 的直径，弦CD AB ，垂足为点E， G 是上的任意一点，AG 、 DC的延长线相交于点F， FGC 与 AGD 的大小有什么关系？为什么？42如图， AB 是圆 O 的直径， C 是圆 O 上一点， D 是弧 AC 中点， DE AB 垂足为 E，AC分别与 DE 、 DB 相交于点 F、 G，则 A

12、F 与 FG 是否相等？为什么？43如图， OA 是 O 的半径，以 OA 为直径的 C 与 O 的弦 AB 交于点 D，求证： D 是 AB 的中点第9页（共 36页）44如图，在 ABC 中， ACB=90 °， D 是 AB 的中点，以 DC 为直径的 O 交 ABC 的边于 G，F， E 点求证：（ 1） F 是 BC 的中点；（ 2） A= GEF45如图，圆内接四边形ABCD 的外角 DCH= DCA ，DP AC 垂足为 P，DH BH 垂足为 H ，求证： CH=CP ，AP=BH 第 10 页（共 36 页）圆周角定理 参考答案与试题解析一选择题（共16 小题）1（

13、 2012?呼伦贝尔）如图，A 、B 、C 三点在 O 上，若 BOC=76 °，则 BAC 的度数是（）A 152°B 76° C 38° D 14°【解答】 解：所对的圆心角是BOC ，圆周角是 BAC ，又 BOC=76 °， A=76 °×=38 °故选 C2（ 2015?眉山）如图，O 是 ABC 的外接圆， ACO=45 °，则 B 的度数为（）A 30° B 35° C 40° D 45°【解答】 解： OA=OC ， ACO=45 

14、6;， OAC=45 °， AOC=180 ° 45° 45°=90 °， B= AOC=45 °故选 D3（ 2010 秋 ?海淀区校级期末）如图，在图中标出的4 个角中，圆周角有（）个第 11 页（共 36 页）A1B2C3D4【解答】 解： 1 和 3 符合圆周角的定义， 2 顶点不在圆周上， 4 的一边不和圆相交，故图中圆周角有 1 和 3 两个故选 B4（ 2015?珠海）如图，在O 中，直径 CD 垂直于弦AB ，若 C=25 °，则 BOD 的度数是（）A 25° B 30° C 40

15、76; D 50°【解答】 解：在 O 中，直径CD 垂直于弦AB ， = ， DOB=2 C=50 °故选： D5（ 1997?陕西）如图，已知在O 中，点 A ， B， C 均在圆上，AOB=80 °，则 ACB 等于（）A 130°B 140°C 145°D 150°【解答】 解：设点 E 是优弧 AB 上的一点，连接 EA ， EB AOB=80 ° E= AOB=40 ° ACB=180 ° E=140°故选： B第 12 页（共 36 页）6如图， MN 是 O 的直径，

16、PBN=50 °，则 MAP 等于（）A 50° B 40° C 30° D 20°【解答】 解：连接 OP，可得 MAP= MOP ， NBP= NOP，MN 为直径， MOP+ NBP=180 °， MAP + NBP=90 °， PBN=50 °， MAP=90 ° PBN=40 °故选 B7（ 2007?太原）如图， CD 是 O 的直径， A 、B 是 O 上的两点， 若 ABD=20 °，则 ADC的度数为（）A 40° B 50° C 60°

17、 D 70°【解答】 解： ABD=20 ° C= ABD=20 °CD 是 O 的直径 CAD=90 °第 13 页（共 36 页） ADC=90 ° 20°=70 °故选 D8（ 2013?苏州）如图， AB 是半圆的直径，点D 是的中点， ABC=50 °，则 DAB 等于（）A 55° B 60° C 65° D 70°【解答】 解：连结 BD ，如图，点 D 是的中点，即弧CD= 弧 AD ， ABD= CBD ，而 ABC=50 °， ABD=×

18、; 50°=25°，AB 是半圆的直径， ADB=90 °， DAB=90 ° 25°=65 °故选 C9（ 2009?枣庄）如图，AB 是 O 的直径， C， D 为圆上两点，AOC=130 °，则 D 等于（）A 25° B 30° C 35° D 50°【解答】 解： AOC=130 °， BOC=50 °， D= BOC=25 °故选 A 10（ 2013 秋 ?沙洋县校级月考）如图，1、 2、 3、 4 的大小关系是（）第 14 页（共 36 页

19、）A 4 1 2 3B 4 1= 3 2C 4 1 3 2 D 4 1 3= 2【解答】 解：如图，利用圆周角定理可得： 1= 3= 5=6，根据三角形的外角的性质得： 5 4， 2 6， 4 1= 3 2，故选 B11（2012 秋 ?天津期末）如图，AB 是半圆 O 的直径， BAC=60 °， D 是半圆上任意一点，那么 D 的度数是（）A 30° B 45° C 60° D 90°【解答】 解：连接 BC ，AB 是半圆的直径 ACB=90 ° BAC=60 °， ABC=90 ° BAC=30 °

20、;， D= ABC=30 °故选 A12（2009?塘沽区二模） 如图，在 O 中，OA BC ， AOC=50 °，则 ADB 的度数为 （）第 15 页（共 36 页）A 15° B 20° C 25° D 50°【解答】 解： OA BC ， AOC=50 °， ADB= AOC=25 °故选 C13（ 2012 秋 ?宜兴市校级期中）在O 中，点 A、B 在 O 上，且 AOB=84 °，则弦 AB 所对的圆周角是（）A 42° B 84° C 42°或 138

21、76;D 84°或 96°【解答】 解：如图，AOB=84 °， ACB= AOB=× 84°=42°， ADB=180 ° ACB=138 °弦 AB 所对的圆周角是：42°或 138°故选 C14（ 2011?南岸区一模）如图所示，在O 中， AB 是 O 的直径， ACB 的角平分线CD交 O 于 D，则 ABD 的度数等于（）A 90° B 60° C 45° D 30°【解答】 解：连接 AD ，在 O 中， AB 是 O 的直径， ADB=90

22、 °，CD 是 ACB 的角平分线，第 16 页（共 36 页） = ，AD=BD ， ABD 是等腰直角三角形， ABD=45 °故选 C15（ 2015 秋 ?合肥校级期末）已知如图，AB 是 O 的直径， CD 是 O 的弦， CDB=40 °，则 CBA 的度数为（）A 60° B 50° C 40° D 30°【解答】 解：连接 AC ，AB 是 O 的直径， ACB=90 °， A= CDB=40 °， CBA=90 ° A=50 °故选 B16（ 2013?万州区校级模拟

23、）如图，AB 是圆的直径， AB CD ， BAD=30 °，则 AEC 的度数等于（）第 17 页（共 36 页）A 30° B 50° C 60° D 70°【解答】 解： BAD=30 °， =60°，AB 是圆的直径，AB CD ， = =60 °， =180°60°=120 °， AEC=× 120°=60°故选 C二填空题（共8 小题）17（2016?大冶市模拟） 如图， O 的直径 CD 经过弦 EF 的中点 G， DCF=20 °

24、，则 EOD 等于 40° 【解答】 解： O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G， DCF=20 °，弧 DF= 弧 DE ，且弧的度数是40°， DOE=40 °，答案为 40°18（ 2015?历城区二模）如图， AB 是半圆的直径，点 D 是弧 AC 的中点， ABC=50 °，则 DAB 的度数是 65° 【解答】 解：连结 BD ，如图，点 D 是的中点，即弧CD= 弧 AD ， ABD= CBD ，而 ABC=50 °， ABD=× 50°=25°，AB 是半圆的直径，

25、第 18 页（共 36 页） ADB=90 °， DAB=90 ° 25°=65 °故答案为65°19（ 2013 秋 ?滨湖区校级期末）如图，点 A、 B 在 O 上， AOB=100 °，点 C 是劣弧 AB 上不与 A 、 B 重合的任意一点，则 C= 130 °【解答】 解：在优弧AB 上取点 D ，连结 AD 、BD ，如图， D= AOB=× 100°=50°， D+ C=180°， C=180° 50°=130°故答案为13020（ 2008

26、 秋 ?苏州校级期中）球员甲带球冲到A 点时，同伴乙已经助攻冲到B 点有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门仅从射门角度考虑，应选择 第二种 种射门方式较为合理【解答】 解：连接 OC根据圆周角定理，得PCQ=B ，根据三角形的外角的性质，得PCQ A ，则 B A故答案为第二种第 19 页（共 36 页）21（2015?黄岛区校级模拟） 在 O 中，弦 AB=2cm ， ACB=30 °，则 O 的直径为4cm【解答】 解：连接 OA ， OB， ACB=30 °， AOB=60 °， AOB 是等边三角形， OA=OB=AB=2cm

27、 ， O 的直径 =4cm 故答案为： 422（ 2014 春?海盐县校级期末）如图，O 中弦 AB 等于半径R，则这条弦所对的圆心角是60° ，圆周角是30°或 150° 【解答】 解：连结 OA 、 OB， APB 和 AP B 为弦 AB 所对的圆周角，如图，弦 AB 等于半径R， OAB 为等边三角形， AOB=60 °， APB= AOB=30 °， APB=180 ° APB=150 °，即这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或 150°故答案为60°；是 30

28、76;或 150°第 20 页（共 36 页）23（2012?义乌市模拟）如图，等腰 ABC 的底边 BC 的长为 4cm，以腰 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，则 DE 的长为 2 cm【解答】解：连接 AD ， DEC 为圆内接四边形ABDE 的外角， DEC= B，又等腰 ABC ， BC 为底边， AB=AC ， B= C， DEC= C， DE=DC ，AB 为圆 O 的直径， ADB=90 °，即 AD BC，BD=CD=BC ，又 BC=4cm ， DE=2cm 故答案为： 224（ 2012 秋 ?哈密地区校级月考）如图，在“世界

29、杯 ”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 进攻，当他带球冲到A 点时，同样乙已经助攻冲到B 点，丙助攻到C 点有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门第三种是甲将球传给丙，由丙射门仅从射门角度考虑，应选择第二种射门方式第 21 页（共 36 页）【解答】 解：设 AP 与圆的交点是C，连接 CQ；则 PCQ A ；由圆周角定理知：PCQ= B；所以 B A ；因此选择第二种射门方式更好故答案为：第二三解答题（共16 小题）25（ 2009?沈阳模拟）如图，ABC 的高 AD 、BE 相交于点H，延长 AD 交 ABC 的外接圆于点 G，连接 BG 求证： HD=GD 【

30、解答】 证明： C= G， ABC 的高 AD 、 BE ， C+DAC=90 °， AHE + DAC=90 °， C= AHE ， AHE= BHG= C， G= BHG ，BH=BG ，又 AD BC，HD=DG 26（2013 秋 ?虞城县校级期末）如图，已知 CD 是 O 的直径，弦 AB CD，垂足为点 M ，点 P 是 上一点，且 BPC=60 °试判断 ABC 的形状，并说明你的理由第 22 页（共 36 页）【解答】 解： ABC 为等边三角形理由如下：AB CD ， CD 为 O 的直径，弧 AC= 弧 BC，AC=BC ，又 BPC= A=6

31、0 °， ABC 为等边三角形27（ 2013 秋 ?耒阳市校级期末）已知：如图，AB 为 O 的直径， AB=AC ，BC 交 O 于点D， AC 交 O 于点 E BAC=40 °（1）求 EBC 的度数；（2）求证： BD=CD 【解答】（ 1）解： AB=AC ， ABC= C， BAC=40 °， C=（ 180° 40°）=70 °，AB 为 O 的直径， AEB=90 °， EBC=90 ° C=20 °；证明：连结AD ，如图，AB 为 O 的直径， ADB=90 °，AD BC

32、，而 AB=AC ， BD=DC 28（2014 秋 ?高密市期中） 如图， AB 是 O 的直径， C 是 O 上的点， AC=6cm ，BC=8cm ， ACB 的平分线交 O 于点 D，求 AB 和 BD 的长第 23 页（共 36 页）【解答】 解：如图， AB 是 O 的直径， ACB=90 °， ADB=90 °AB=10（ cm） AC=6cm ， BC=8cm ， CD 是 ACB 的平分线， ACD= BCD ，则=，AD=BD ，BD=AB=5cm综上所述， AB 和 BD 的长分别是10cm， 5cm 29（ 2013 秋 ?宜兴市校级期中） 如图，

33、ABC 是 O 的内接三角形， A=30 °，BC=3cm 求 O 的半径【解答】 解：作直径CD，连结 BD ，如图，CD 为直径， CBD=90 °， D= A=30 °， CD=2BC=2 × 3=6， O 的半径为 3cm30（ 2010 秋 ?瑞安市校级月考）如图， AB 是 O 的直径，过圆上一点 C 作 CD AB 于点D，点 C 是弧 AF 的中点，连接 AF 交 CD 于点 E，连接 BC 交 AF 于点 G第 24 页（共 36 页）（ 1）求证： AE=CE ；（ 2）已知 AG=10 ， ED ：AD=3 ： 4，求 AC 的长【

34、解答】（ 1）证明：点C 是弧 AF 的中点， B= CAE ，AB 是 O 的直径， ACB=90 °，即 ACE + BCD=90 °，CDAB ， B+BCD=90 °， B= CAE= ACE ， AE=CE （ 6 分）（ 2）解： ACB=90 °， CAE + CGA=90 °，又 ACE + BCD=90 °， CGA= BCD ， AG=10 ， CE=EG=AE=5 ， ED ： AD=3 ：4， AD=4 ， DE=3 ，AC= （ 10 分）31（ 2015 秋 ?扬中市期中）如图， ABC 中， AB AC

35、， BAC 的平分线交外接圆于 D ， DE AB 于 E，DM AC 于 M （ 1）求证： BE=CM （ 2）求证： AB AC=2BE 第 25 页（共 36 页）【解答】 证明：（ 1）连接 BD ，DC ，AD 平分 BAC ， BAD= CAD ，弧 BD= 弧 CD，BD=CD ， BAD= CAD ，DEAB ，DM AC， M= DEB=90 °， DE=DM ，在 Rt DEB 和 Rt DMC 中， Rt DEB Rt DMC （HL ）， BE=CM （ 2） DEAB ，DM AC， M= DEA=90 °，在 Rt DEA 和 Rt DMA 中

36、 Rt DEA Rt DMA （HL ）， AE=AM ， AB AC ，=AE +BE AC ，=AM +BE AC ，=AC +CM +BE AC ，=BE +CM ，=2BE 32（ 2013?宁夏模拟）如图，OA 是 0 的半径，以OA 为直径的 C 与 0 的弦 AB 相交于点 D 求证： AD=BD 第 26 页（共 36 页）【解答】 证明：连结OD ，如图，OA 为 C 的直径， ADO=90 °，ODAB ，AD=BD 33（ 2011 秋 ?宁波期中）如图，已知：AB 是 O 的弦， D 为 O 上一点， DC AB 于 C，DM 平分 CDO 求证： M 是弧

37、AB 的中点【解答】 解：连接 OMOD=OM ， ODM= OMD ，DM 平分 ODC ， ODM= CDM ， CDM= OMD ，CDOM ，CDAB ，OM AB ，弧 AM=弧 BM，即点 M 为劣弧 AB 的中点第 27 页（共 36 页）34（ 2009 秋 ?哈尔滨校级期中）如图， ABC 的三个顶点都在 O 上， CD 是高， D 是垂足， CE 是直径，求证： ACD= BCE 【解答】 解：连接 AE ，CE 为直径， EAC=90 °， ACE=90 ° AEC ，CD 是高， D 是垂足， BCD=90 ° B， B= AEC （同弧所

38、对的圆周角相等）， ACE= BCD ， ACE + ECD= BCD +ECD ， ACD= BCE 35已知：如图，AE 是 O 的直径， AF BC 于 D，证明： BE=CF 【解答】 证明： AE 是 O 的直径，第 28 页（共 36 页） ABE=90 °， E+BAE=90 °， AF BC 于 D， FAC + ACB=90 °， E=ACB ， BAE= FAC ，弧 BE= 弧 CF， BE=CF 36（ 2015 秋 ?哈尔滨校级期中）已知 AB 为 O 的直径，弦 BE=DE ，AD ， BE 的延长线交于点 C，求证： AC=AB 【解答】 证明：连接AE ，AB 为 O 的直径， AEB=90 °， AEB= AEC=90 °，弦 BE=DE ， = ， DAE= BAE ， C=90° DAE ， B=90 ° BAE ， B= C， AC=AB 37如图， AB 是圆 O 的直径， OC AB ，交 O 于点 C， D 是弧 AC 上一点， E 是 AB 上一点， EC CD ，交 BD 于点 F问： AD 与 BF 相等吗？为什么？第 29