《中考课件初中数学总复习资料》专题52 中考数学最值问题（解析版）

1、专题52 中考数学最值问题在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。一、解决几何最值问题的要领（1）两点之间线段最短；（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。二、解决代数最值问题的方法要领1.二次函数的最值公式二次函数（a、b、c为常数且）其性质中有若当时，y有最小值。；若当时，y有最大值。2.一次函数的增减性.一次函数的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当时，则一次函数的图象是一条线段，根据

2、一次函数的增减性，就有最大（小）值。3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有，当且仅当时，等号成立，即的最小值为k。6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。7. 利用不等式与判别式求解.在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化

3、、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。【例题1】（2020黑龙江）如图，在边长为1的菱形abcd中，abc60°，将abd沿射线bd方向平移，得到efg，连接ec、gc求ec+gc的最小值为 【答案】3【解析】根据菱形的性质得到ab1，abd30°，根据平移的性质得到egab1，egab，推出四边形egcd是平行四边形，得到edgc，于是得到ec+gc的最小值ec+gd的最小值，根据平移的性质得到点e在过点a且平行于bd的定直线上，作点d关于定直线的对称点m，连接cm交定直线于ae，解直角三角形即可得到结论在边长

4、为1的菱形abcd中，abc60°，abcd1，abd30°，将abd沿射线bd的方向平移得到egf，egab1，egab，四边形abcd是菱形，abcd，abcd，bad120°，egcd，egcd，四边形egcd是平行四边形，edgc，ec+gc的最小值ec+ed的最小值，点e在过点a且平行于bd的定直线上，作点d关于定直线的对称点m，连接cm交定直线于e，则cm的长度即为ec+de的最小值，eadadb30°，ad1，adm60°，dhmh=12ad=12，dm1，dmcd，cdmmdg+cdb90°+30°120&#

5、176;，mdcm30°，cm2×32cd=3【对点练习】（2020内江）如图，在矩形abcd中，bc10，abd30°，若点m、n分别是线段db、ab上的两个动点，则am+mn的最小值为 【答案】15【解析】作点a关于bd的对称点a，连接ma，ba，过点ahab于h首先证明aba是等边三角形，求出ah，根据垂线段最短解决问题即可解：作点a关于bd的对称点a，连接ma，ba，过点ahab于hbaba，abddba30°，aba60°，aba是等边三角形，四边形abcd是矩形，adbc10，在rtabd中，ab=adtan30°=103

6、，ahab，ahhb53，ah=3ah15，am+mnam+mnah，am+mn15，am+mn的最小值为15【例题2】（2020襄阳）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示（1）直接写出当0x50和x50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克

7、如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100a）千克，根据实际意义可以确定a的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少（3）根据（2）的结论列不等式解答即可【解析】（1）当0x50是，设ykx，根据题意得50k1500

8、，解得k30；y30x；当x50时，设yk1x+b，根据题意得，50k+b=150070k+b=1980，解得k=24b=300，y24x+3000y=30x(0x50)24x+300(x50)，（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100a）千克，40a60，当40a50时，w130a+25（100a）5a+2500当a40 时wmin2700 元，当50a60时，w224a+25（100a）a+2500当a60时，wmin2440 元，24402700，当a60时，总费用最少，最少总费用为2440 元此时乙种水果1006040（千克）答：购进甲种水果为60千克，购进乙种水果40千克

9、，才能使经销商付款总金额w（元）最少（3）由题意得：（4024）×35a+（3625）×25a1650，解得a11767，a为正整数，a118，a的最小值为118【对点练习】（2020海南模拟）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1x15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间(

10、天)1x99x15x15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤)803x120x储存和损耗费用(元)403x3x264x400（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？【答案】看解析。【解析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为10(1x)，第二次降价后的价格为10(1x)2，进而可得方程；（2）分两种情况考虑，先利用“利润(售价进价)×销量储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论；（3）设第15天在第14天的价格基础上降a元，利用不等关

11、系“（2）中最大利润(8.1a4.1)×销量储存和损耗费用127.5”求解解答：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，依题意得：10(1x)28.1解方程得：x10.110%，x21.9(不合题意，舍去)答：该种水果每次降价的百分率为10%（2） 第一次降价后的销售价格为：10×(110%)9(元/斤)，当1x9时，y(94.1)(803x)(403x)17.7x352；当9x15时，y(8.14.1)(120x)(3x264x400)3x260x80，综上，y与x的函数关系式为：y当1x9时，y17.7x352，当x1时，y最大334.3(元)；当9x15时，y3x260

12、x803(x10)2380，当x10时，y最大380(元)；334.3380，在第10天时销售利润最大（3）设第15天在第14天的价格上最多可降a元，依题意得：380(8.1a4.1)(12015)(3×15264×15400)127.5，解得：a0.5，则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元所以当时，最大利润为1950元。【例题3】（2020乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线yx与双曲线y=kx交于a、b两点，p是以点c（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结ap，q为ap的中点若线段oq长度的最大值为2，则k的值为（）a-12b-32c2d-14【答案】a【

13、分析】确定oq是abp的中位线，oq的最大值为2，故bp的最大值为4，则bcbppc413，则（m2）2+（m2）232，即可求解【解析】点o是ab的中点，则oq是abp的中位线，当b、c、p三点共线时，pb最大，则oq=12bp最大，而oq的最大值为2，故bp的最大值为4，则bcbppc413，设点b（m，m），则（m2）2+（m2）232，解得：m2=12，km（m）=-12【对点练习】（2019云南）如图，mn是o的直径，mn=4，amn=40°，点b为弧an的中点，点p是直径mn上的一个动点，则pa+pb的最小值为 【答案】2【解析】过a作关于直线mn的对称点a，连接ab，由

14、轴对称的性质可知ab即为pa+pb的最小值，由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出aon的度数，再由勾股定理即可求解过a作关于直线mn的对称点a，连接ab，由轴对称的性质可知ab即为pa+pb的最小值，连接ob，oa，aa，aa关于直线mn对称，=，amn=40°，aon=80°，bon=40°，aob=120°，过o作oqab于q，在rtaoq中，oa=2，ab=2aq=2，即pa+pb的最小值2【例题4】（2020衡阳）在平面直角坐标系xoy中，关于x的二次函数yx2+px+q的图象过点（1，0），（2，0）（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当

15、2x1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y（2m）x+2m的图象与二次函数yx2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a3b，求m的取值范围【答案】见解析。【分析】（1）由二次函数的图象经过（1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x2，函数有最大值4；当x=12是函数有最小值-94，进而求得它们的差；（3）由题意得x2x2（2m）x+2m，整理得x2+（m3）x+m40，因为a2b，ab，（m3）24×（m4）（m5）20，把x3代入（2m）x+2mx2x2，解得m-12【解析】（1）由二次函数yx

16、2+px+q的图象经过（1，0）和（2，0）两点，1-p+q=04+2p+q=0，解得p=-1q=-2，此二次函数的表达式yx2x2；（2）抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1+22=12，在2x1范围内，当x2，函数有最大值为：y4+224；当x=12是函数有最小值：y=14-12-2=-94，的最大值与最小值的差为：4（-94）=254；（3）y（2m）x+2m与二次函数yx2x2图象交点的横坐标为a和b，x2x2（2m）x+2m，整理得x2+（m3）x+m40a3bab（m3）24×（m4）（m5）20m5a3b当x3时，（2m）x+2mx2x2，把x3代入（2m）x+2mx2

17、x2，解得m-12m的取值范围为m-12【对点练习】（2019海南）如图，已知抛物线yax2+bx+5经过a（5，0），b（4，3）两点，与x轴的另一个交点为c，顶点为d，连结cd（1）求该抛物线的表达式；（2）点p为该抛物线上一动点（与点b、c不重合），设点p的横坐标为t当点p在直线bc的下方运动时，求pbc的面积的最大值；该抛物线上是否存在点p，使得pbcbcd？若存在，求出所有点p的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析。【解析】（1）将点a、b坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）spbcpg（xcxb），即可求解；分点p在直线bc下方、上方两种情况，分别求解即可解：（1）将点a、

18、b坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx2+6x+5，令y0，则x1或5，即点c（1，0）；（2）如图1，过点p作y轴的平行线交bc于点g，将点b、c的坐标代入一次函数表达式并解得：直线bc的表达式为：yx+1，设点g（t，t+1），则点p（t，t2+6t+5），spbcpg（xcxb）（t+1t26t5）t2t6，0，spbc有最大值，当t时，其最大值为；设直线bp与cd交于点h，当点p在直线bc下方时，pbcbcd，点h在bc的中垂线上，线段bc的中点坐标为（，），过该点与bc垂直的直线的k值为1，设bc中垂线的表达式为：yx+m，将点（，）代入上式并解得：直线bc中

19、垂线的表达式为：yx4，同理直线cd的表达式为：y2x+2，联立并解得：x2，即点h（2，2），同理可得直线bh的表达式为：yx1，联立并解得：x或4（舍去4），故点p（，）；当点p（p）在直线bc上方时，pbcbcd，bpcd，则直线bp的表达式为：y2x+s，将点b坐标代入上式并解得：s5，即直线bp的表达式为：y2x+5，联立并解得：x0或4（舍去4），故点p（0，5）；故点p的坐标为p（，）或（0，5）【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要主要分类求解，避免遗漏【例题5】（2020无锡模拟）如图，线段ab的长为4，c为ab

20、上一动点，分别以ac、bc为斜边在ab的同侧作等腰直角acd和等腰直角bce，那么de长的最小值是 【答案】4【解析】设ac=x，bc=4x，根据等腰直角三角形性质，得出cd=x，cd=（4x），根据勾股定理然后用配方法即可求解解：设ac=x，bc=4x，abc，bcd均为等腰直角三角形，cd=x，cd=（4x），acd=45°，bcd=45°，dce=90°，de2=cd2+ce2=x2+（4x）2=x24x+8=（x2）2+4，根据二次函数的最值，当x取2时，de取最小值，最小值为：4【点拨】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法

21、求二次函数最值【对点练习】（2019年黑龙江大庆）如图，在rtabc中，a90°ab8cm，ac6cm，若动点d从b出发，沿线段ba运动到点a为止（不考虑d与b，a重合的情况），运动速度为2cm/s，过点d作debc交ac于点e，连接be，设动点d运动的时间为x（s），ae的长为y（cm）（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，bde的面积s有最大值？最大值为多少？【答案】见解析。【解析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键（1）由平行线得abcade，根据相似形的性质得关系式.动点d运动x秒

22、后，bd2x又ab8，ad82xdebc，y关于x的函数关系式为y（0x4）（2）由sbdae；得到函数解析式，然后运用函数性质求解sbde（0x4）当时，sbde最大，最大值为6cm2【点拨】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键一、填空题1（2020扬州）如图，在abcd中，b60°，ab10，bc8，点e为边ab上的一个动点，连接ed并延长至点f，使得df=14de，以ec、ef为邻边构造efgc，连接eg，则eg的最小值为 【答案】93【解析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到bd和ef的比值，再根据三角形相似和最短距离

23、，即可得到eg的最小值，本题得以解决作chab于点h，在abcd中，b60°，bc8，ch43，四边形ecgf是平行四边形，efcg，eodgoc，eogo=dooc=edgc，df=14de，deef=45，edgc=45，eogo=45，当eo取得最小值时，eg即可取得最小值，当eocd时，eo取得最小值，cheo，eo43，go53，eg的最小值是93，2（2020凉山州）如图，矩形abcd中，ad12，ab8，e是ab上一点，且eb3，f是bc上一动点，若将ebf沿ef对折后，点b落在点p处，则点p到点d的最短距离为 【答案】10【解析】先根据勾股定理计算ed的长，当e、p、

24、d共线时，dp最小，即最短距离是此时pd的长如图，连接pd，de，四边形abcd是矩形，a90°，ab8，be3，ae5，ad12，de=52+122=13，由折叠得：ebep3，ep+dped，当e、p、d共线时，dp最小，dpdeep133103（2020聊城）如图，在直角坐标系中，点a（1，1），b（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点c的纵坐标为1，且cacb，在y轴上取一点d，连接ac，bc，ad，bd，使得四边形acbd的周长最小，这个最小周长的值为 【答案】4+25【分析】根据平行线的性质得到bac45°，得到c90°，求得acbc2，作b关于y轴

25、的对称点e，连接ae交y轴于d，则此时，四边形acbd的周长最小，这个最小周长的值ac+bc+ae，过e作efac交ca的延长线于f，根据勾股定理即可得到结论解：点a（1，1），点c的纵坐标为1，acx轴，bac45°，cacb，abcbac45°，c90°，b（3，3）c（3，1），acbc2，作b关于y轴的对称点e，连接ae交y轴于d，则此时，四边形acbd的周长最小，这个最小周长的值ac+bc+ae，过e作efac交ca的延长线于f，则efbc2，af624，ae=ef2+af2=22+42=25，最小周长的值ac+bc+ae4+254如图，菱形abcd中，

26、a=60°，ab=3，a、b的半径分别为2和1，p、e、f分别是边cd、a和b上的动点，则pe+pf的最小值是 【答案】3 【解析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出p与d重合时pe+pf的最小值，进而求出即可由题意可得出：当p与d重合时，e点在ad上，f在bd上，此时pe+pf最小，连接bd，菱形abcd中，a=60°，ab=ad，则abd是等边三角形，bd=ab=ad=3，a、b的半径分别为2和1，pe=1，df=2，pe+pf的最小值是3【点拨】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出p点位置是解题关键5.（2020四川绵阳模拟）不等边三角形的

27、两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为_。【答案】5 【解析】设a、b、c三边上高分别为4、12、h因为，所以又因为，代入得，所以又因为，代入 得，所以 所以3<h<6，故整数h的最大值为5。6.（2020齐齐哈尔模拟）设a、b为实数，那么的最小值为_。【答案】-1 【解析】当，即时，上式等号成立。故所求的最小值为1。二、解答题7（2020达州）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a380940餐椅a140160已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同（1）

28、求表中a的值；（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？【答案】见解析。【分析】（1）根据数量总价÷单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出a值；（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，由餐桌和餐椅的总数量不超过200张，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设销售利润为y元，根据销售方式及总利润单件（单套）利润×销售数量，即可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的

29、性质即可解决最值问题【解析】（1）根据题意得：600a-140=1300a，解得a260，经检验，a260是原分式方程的解答：表中a的值为260（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，根据题意得：x+5x+20200，解得：x30设销售利润为y元，根据题意得：y9402604×（260140）×12x+（380260）×12x+160（260140）×（5x+204×12x）280x+800，k2800，当x30时，y取最大值，最大值为：280×30+8009200答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大

30、利润是9200元8（2020泸州）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？【答案】见解析。【分析】（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30x）件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了800元列方程30x+20（30x）800，然后解方程求出x，再计算30x即可；（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，由购买乙种奖品

31、的件数不超过甲种奖品件数的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价单价×数量，可得出w关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题【解析】（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30x）件，根据题意得30x+20（30x）800，解得x20，则30x10，答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，根据题意得 30x3x，解得x7.5，w30x+20（30x）10x+600，100，w随x的增大而减小，x8时，w有最小值为：w10×8+6006

32、80答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元9（2020重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程结合已有的学习经验，请画出函数y=-12x2+2的图象并探究该函数的性质 x432101234y-23 a24b42-1211 -23 （1）列表，写出表中a，b的值：a，b ；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“”作答，错误的用“×”作答）：函数y=-12x2+2的图象关于y轴对称；当x0时，函数y=-

33、12x2+2有最小值，最小值为6；在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小（3）已知函数y=-23x-103的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式-12x2+2-23x-103的解集【答案】见解析。【分析】（1）将x3，0分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；（3）根据图象求得即可【解析】（1）x3、0分别代入y=-12x2+2，得a=-129+2=-1211，b=-120+2=-6，故答案为-1211，6；画出函数的图象如图：，故答案为-1211，6；（2）根据函数图象：函数y=-12x2+2的图象关于y轴对称

34、，说法正确；当x0时，函数y=-12x2+2有最小值，最小值为6，说法正确；在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小，说法错误（3）由图象可知：不等式-12x2+2-23x-103的解集为x4或2x110（2020绥化）如图，在矩形oabc中，ab2，bc4，点d是边ab的中点，反比例函数y1=kx（x0）的图象经过点d，交bc边于点e，直线de的解析式为y2mx+n（m0）（1）求反比例函数y1=kx（x0）的解析式和直线de的解析式；（2）在y轴上找一点p，使pde的周长最小，求出此时点p的坐标；（3）在（2）的条件下，pde的周长最小值是 【答案】见解析。【分析】（1）根据线

35、段中点的定义和矩形的性质得到d（1，4），解方程和方程组即可得到结论；（2）作点d关于y轴的对称点d，连接de交y轴于p，连接pd，此时，pde的周长最小，求得直线de的解析式为y=-23x+103，于是得到结论；（3）根据勾股定理即可得到结论【解析】（1）点d是边ab的中点，ab2，ad1，四边形oabc是矩形，bc4，d（1，4），反比例函数y1=kx（x0）的图象经过点d，k4，反比例函数的解析式为y=4x（x0），当x2时，y2，e（2，2），把d（1，4）和e（2，2）代入y2mx+n（m0）得，2m+n=2m+n=4，m=-2n=6，直线de的解析式为y2x+6；（2）作点d关于y

36、轴的对称点d，连接de交y轴于p，连接pd，此时，pde的周长最小，d点的坐标为（1，4），d的坐标为（1，4），设直线de的解析式为yax+b，4=-a+b2=2a+b，解得：a=-23b=103，直线de的解析式为y=-23x+103，令x0，得y=103，点p的坐标为（0，103）；（3）d（1，4），e（2，2），be2，bd1，de=12+22=5，由（2）知，d的坐标为（1，4），bd3，de=22+32=13，pde的周长最小值de+de=5+13，故答案为：5+1311（2020临沂）如图，菱形abcd的边长为1，abc60°，点e是边ab上任意一点（端点除外），线段

37、ce的垂直平分线交bd，ce分别于点f，g，ae，ef的中点分别为m，n（1）求证：afef；（2）求mn+ng的最小值；（3）当点e在ab上运动时，cef的大小是否变化？为什么？【答案】见解析。【分析】（1）连接cf，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到cfef和cfaf即可得证；（2）连接ac，根据菱形对称性得到af+cf最小值为ac，再根据中位线的性质得到mn+ng的最小值为ac的一半，即可求解；（3）延长ef，交dc于h，利用外角的性质证明afcfce+fec+fae+fea，再由afcfef，得到aefeaf，fecfce，从而推断出afdfae+abffae+cef，从而可求出a

38、bfcef30°，即可证明【解析】（1）连接cf，fg垂直平分ce，cfef，四边形abcd为菱形，a和c关于对角线bd对称，cfaf，afef；（2）连接ac，m和n分别是ae和ef的中点，点g为ce中点，mn=12af，ng=12cf，即mn+ng=12（af+cf），当点f与菱形abcd对角线交点o重合时，af+cf最小，即此时mn+ng最小，菱形abcd边长为1，abc60°，abc为等边三角形，acab1，即mn+ng的最小值为12；（3）不变，理由是：延长ef，交dc于h，cfhfce+fec，afhfae+fea，afcfce+fec+fae+fea，点f在菱

39、形abcd对角线bd上，根据菱形的对称性可得：afdcfd=12afc，afcfef，aefeaf，fecfce，afdfae+abffae+cef，abfcef，abc60°，abfcef30°，为定值12（2020广元）如图，公路mn为东西走向，在点m北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校a；在点m北偏东45°方向上距离62千米处是学校b（参考数据：sin36.5°0.6，cos36.5°0.8，tan36.5°0.75）（1）求学校a，b两点之间的距离；（2）要在公路mn旁修建一个体育馆c，使得a，b两所学校到体育

40、馆c的距离之和最短，求这个最短距离【答案】见解析。【分析】（1）过点a作cdmn，bemn，在rtacm中求出cm，ac，在rtmbe中求出be，me，继而得出ad，bd的长度，在rtabd中利用勾股定理可得出ab的长度（2）作点b关于mn的对称点g，连接ag交mn于点p，点p即为站点，求出ag的长度即可【解析】（1）过点a作cdmn，bemn，如图：在rtacm中，cma36.5°，am5km，sin36.5°=ca5=0.6，ca3，mc4km，在rtmbe中，nmb45°，mb=62km，sin45°=be62=22，be6，me6km，adcdc

41、ameca3km，bdbedebecm2km，在rtabd中，ab=13km（2）作点b关于mn的对称点g，连接ag交mn于点p，连接pb，点p即为站点，此时pa+pbpa+pgag，即a，b两所学校到体育馆c的距离之和最短为ag长在rtadg中，ad3，dgde+egde+be4+610，adg90°，ag=ad2+dg2=32+102=109km答：最短距离为109km13（2020武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx2交x轴于a，b两点，交y轴于点c，且oa2oc8ob点p是第三象限内抛物线上的一动点（1）求此抛物线的表达式；（2）若pcab，求点p的坐标；（3

42、）连接ac，求pac面积的最大值及此时点p的坐标【答案】见解析。【分析】（1）抛物线yax2+bx2，则c2，故oc2，而oa2oc8ob，则oa4，ob=12，确定点a、b、c的坐标；即可求解；（2）抛物线的对称轴为x=-74，当pcab时，点p、c的纵坐标相同，即可求解；（3）pac的面积sspha+sphc=12ph×oa，即可求解【解析】（1）抛物线yax2+bx2，则c2，故oc2，而oa2oc8ob，则oa4，ob=12，故点a、b、c的坐标分别为（4，0）、（12，0）、（0，2）；则ya（x+4）（x-12）a（x2+72x2）ax2+bx2，故a1，故抛物线的表达式

43、为：yx2+72x2；（2）抛物线的对称轴为x=-74，当pcab时，点p、c的纵坐标相同，根据函数的对称性得点p（-74，2）；（3）过点p作phy轴交ac于点h，由点a、c的坐标得，直线ac的表达式为：y=-12x2，则pac的面积sspha+sphc=12ph×oa=12×4×（-12x2x2-72x+2）2（x+2）2+8，20，s有最大值，当x2时，s的最大值为8，此时点p（2，5）14（2020枣庄）如图，抛物线yax2+bx+4交x轴于a（3，0），b（4，0）两点，与y轴交于点c，ac，bcm为线段ob上的一个动点，过点m作pmx轴，交抛物线于点p

44、，交bc于点q（1）求抛物线的表达式；（2）过点p作pnbc，垂足为点n设m点的坐标为m（m，0），请用含m的代数式表示线段pn的长，并求出当m为何值时pn有最大值，最大值是多少？（3）试探究点m在运动过程中，是否存在这样的点q，使得以a，c，q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析。【分析】（1）将点a、b的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）pnpqsin45°=22（-13m2+43m）=-26（m2）2+223，即可求解；（3）分accq、acaq、cqaq三种情况，分别求解即可【解析】（1）将点a、b的坐标代入抛物线表达式得9a-3b+4=016a+4b+4=0，解得a=-13b=13，故抛物线的表达式为：y