《中考课件初中数学总复习资料》专题15动点综合问题（原卷版）

1、决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品专题15 动点综合问题【典例分析】【考点1】动点之全等三角形问题【例1】如图，直线与轴和轴分别交于两点，另一条直线过点和点. (1)求直线的函数表达式; (2)求证: ; (3)若点是直线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以为顶点的三角形与全等，求点的坐标.【变式1-1】）如图,cabc,垂足为c,ac=2cm,bc=6cm,射线bmbq,垂足为b,动点p从c点出发以1cm/s的速度沿射线cq运动,点n为射线bm上一动点,满足pn=ab,随着p点运动而运动,当点p运动_秒时，bca与点p、n、b为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)【考点2】动点之直

2、角三角形问题【例2】（模型建立）（1）如图1，等腰直角三角形中，直线经过点，过作于点，过作于点.求证：；（模型应用）（2）已知直线：与坐标轴交于点、，将直线绕点逆时针旋转至直线，如图2，求直线的函数表达式；（3）如图3，长方形，为坐标原点，点的坐标为，点、分别在坐标轴上，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限.若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标.【变式2-1】（2019·辽宁中考模拟）如图，已知二次函数yax2+bx+4的图象与x轴交于点a(4，0)和点d(1，0)，与y轴交于点c，过点c作bc平行于x轴交抛物线于点b，连接ac(1)求这个二次函数的表达式

3、；(2)点m从点o出发以每秒2个单位长度的速度向点a运动；点n从点b同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点c运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点n作nq垂直于bc交ac于点q，连结mq.求aqm的面积s与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t为何值时，s有最大值，并求出s的最大值；是否存在点m，使得aqm为直角三角形？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由【变式2-2】如图，四边形abcd是正方形，以dc为边向外作等边dce，连接ae交bd于点f，交cd于点g，点p是线段ae上一动点，连接dp、bp（1）求afb的度数；（2）在点p从a到e的运动过程中，

4、若dp平分cde，求证：agdpdgbd；（3）已知ad6，在点p从a到e的运动过程中，若dbp是直角三角形，请求dp的长【考点3】动点之等腰三角形问题【例3】（2019·湖南中考真题）如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接（1）求的大小；（2）问题探究：动点在运动的过程中，是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由（3）问题解决：如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度【变式3-1】如图，已知正方形边长为2，点是

5、边上的一个动点，点关于直线的对称点是点，连结、.设ap=x.（1）当时，求长；（2）如图，若的延长线交边于，并且，求证：为等腰三角形；（3）若点是射线上的一个动点，则当为等腰三角形时，求的值.【变式3-2】（2019·河南中考模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+3交y轴于点a，交x轴于点b（-3，0）和点c（1，0），顶点为点m（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点e为x轴上一动点，若ame的周长最小，请求出点e的坐标；（3）点f为直线ab上一个动点，点p为抛物线上一个动点，若bfp为等腰直角三角形，请直接写出点p的坐标【变式3-3】（2019·广西中考真题）已知抛物线和直

6、线都经过点，点为坐标原点，点为抛物线上的动点，直线与轴、轴分别交于两点（1）求的值；（2）当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；（3）满足（2）的条件时，求的值【考点4】动点之相似三角形问题【例4】在边长为的正方形中，动点以每秒个单位长度的速度从点开始沿边向点运动,动点以每秒个单位长度的速度从点开始沿边向点运动，动点比动点先出发秒,其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点的运动时间为秒. 如图，连接，若，求的值如图，连接，当为何值时，【变式4-1】已知：如图，在平面直角坐标系中，abc是直角三角形，acb90°，点a，c的坐标分别为a（3，0），c（1，0），bcac

7、（1）求过点a，b的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点d，连接db，使得adb与abc相似（不包括全等），并求点d的坐标；（3）在（2）的条件下，如p，q分别是ab和ad上的动点，连接pq，设apdqm，问是否存在这样的m，使得apq与adb相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由【变式4-2】如图，已知抛物线经过a（3，0）、b（8，0）、c（0，4）三点，点d是抛物线上的动点，连结ad与y轴相交于点e，连结ac，cd（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当ad平分cab时求直线ad所对应的函数表达式；设p是x轴上的一个动点，若pad与cad相似，求点p的坐标【考点5】动点之平

8、行四边形问题（含特殊四边形）【例5】（2019·广东中考模拟）如图，点o是平面直角坐标系的原点，点a（，3），acoa与x轴的交点为c动点m以每秒个单位长度由点a向点o运动同时，动点n以每秒3个单位长度由点o向点c运动，当一动点先到终点时，另一动点立即停止运动（1）写出aoc的值；（2）用t表示出四边形amnc的面积；（3）求点p的坐标，使得以o、n、m、p为顶点的四边形是特殊的平行四边形？【变式5-1】（2019·江西中考真题）在图1，2，3中，已知abcd，abc=120°，点e为线段bc上的动点，连接ae，以ae为边向上作菱形aefg，且eag=120

9、76;（1）如图1，当点e与点b重合时，cef=_°；（2）如图2，连接af填空：fad_eab（填“>”，“<”，“=”）；求证：点f在abc的平分线上；（3）如图3，连接eg，dg，并延长dg交ba的延长线于点h，当四边形aegh是平行四边形时，求bcab的值【变式5-2】（2019·湖南中考真题）如图，二次函数的图象过原点，与x轴的另一个交点为【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点是坐标原点，点坐标为，、两点关于直线对称，反比例函数图象经过点，点是直线上一动点.（1）点的坐标为_；（2）若点是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点，使得以、四点为顶

10、点的四边形是平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点是线段上一点（不与、重合），当四边形为菱形时，过点分别作直线和直线的垂线，垂足分别为、，当的值最小时，求出点坐标.【考点6】动点之线段面积问题【例6】如图已知平面内有一动点a，x轴上有一定点b（4，0），连接ab，且将线段ab绕b点逆时针旋转90°得到线段bc当a点坐标为（1，1）时，求c点坐标；当a点在直线x=1上滑动时，求在此运动过程中boc的面积是否发生变化，若不变，请求出面积，若变化，请说明理由；若总条件中的动点a改为直线y=x上的动点a，其余条件都不变，请直接写出当a点在直线y=x上滑动时，点d（0

11、，-2）到c点的最短距离【变式6-1】（2019·山东中考模拟）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点在抛物线上，且，求点的坐标；（3）如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值，并求出面积的最大值.【变式6-2】如图，矩形中，点是对角线上一动点（不与重合），连接，过点作，交射线于点，以线段为邻边作矩形，过点作。分别交于点。（1）求证：的值；（2）求的值；（3）求矩形的面积的最小值。【变式6-2】已知：在四边形中，（）求四边形的面积（）点是线段上的动点，连接、，求周长的最小值及此时的长（）点是线段上的动点，、为边上的点，连接

12、、，分别交、 于点、，记和重叠部分的面积为，求的最值【达标训练】一、单选题1如图，在abc中，ab=2，ao=bo，p是直线co上的一个动点，aoc=60°，当pab是以bp为直角边的直角三角形时，ap的长为（ ） a,1,2b,2c,1d，22如图，在矩形abcd中，ab=5，ad=3，动点p在直线ab上方，且满足spabs：矩形abcd=1：3，则使pab为直角三角形的点p有()个 a1b2c3d43已知抛物线具有如下性质:抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等.如图点的坐标为 , 是抛物线上一动点，则周长的最小值是（ ）abcd二、填空题4如图,四边形abcd中,abcd

13、,b=90°,ab=1,cd=2,bc=3,点p为bc边上一动点,若pab与pcd是相似三角形,则bp的长为 _5如图，于,于,，点为边上一动点，当_时，形成的与全等.6如图，矩形中，点是对角线上一动点，过点作于点，若点，构成以为腰的等腰三角形时，则线段的长是_7如图，在矩形中， ，为中点，连接. 动点从点出发沿边向点运动，动点从点出发沿边向点运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接，设运动时间为（秒）. 则_时，为直角三角形8如图，在中，已知，是边上的一动点（不与点、重合）.连接，边与交于点，当为等腰三角形时，则之长为_.9如图，抛物线y=x2+mx+n与x轴交于a、

14、b两点，与y轴交于点c，抛物线的对称轴交x轴于点d，已知a（1，0），c（0，2），点e是线段bc上的一个动点，过点e作x轴的垂线与抛物线相交于点f，当四边形cdbf的面积最大时，e点的坐标为_10如图，直线经过的直角顶点的边上有两个动点，点以的速度从点出发沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点过点分别作，垂足分别为点.若，设运动时间为，则当_时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等11如图，已知以点a(0，1)、c(1，0)为顶点的abc中，bac=60°，acb=90°，在坐标系内有一动点p（不与a重合），以p

15、、b、c为顶点的三角形和abc全等，则p点坐标为_.12如图，矩形中，点为中点，点为线段上一个动点，连接，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为_13如图，中，, 分别是上动点，且，当=_时，才能使和全等.14如图，已知sino，oa6，点p是射线on上一动点，当aop为直角三角形时，则ap_15如图，矩形中，点是线段上一动点，连接，将沿直线折叠，点落到处，连接，当为等腰三角形时，的长为_16如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，_ 三、解答题17如图，抛物线与x轴交于两点，与轴交于点.（1）求该抛物线的解析式；（2）若点为线段上一动点，试求的最小值；（3）点

16、是轴左侧的抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标.18如图,在菱形中,=60°, ab=2,点e是ab上的动点,作edq=60°交bc于点q,点p在ad上,pd=pe.（1）求证：ae=bq；（2）连接pq, eq,当peq=90°时,求的值；（3）当ae为何值时,peq是等腰三角形.19已知：如图，b=90°abdf，ab=3cm，bd=8cm，点c是线段bd上一动点，点e是直线df上一动点，且始终保持acce（1）试说明：acb =ced（2）当c为bd的中点时，abc与edc全等吗？若全等，请说明理由；若不全等，请改变bd的长（直接写出答案），使它

17、们全等（3）若ac=ce ,试求de的长 （4）在线段bd的延长线上，是否存在点c，使得ac=ce，若存在，请求出de的长及aec的面积；若不存在，请说明理由 20如图1所示，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点 求抛物线的函数表达式；如图2所示，若点m是抛物线上一动点，且，求点m的坐标；如图3所示，设点n是线段ac上的一动点，作轴，交抛物线于点p，求线段pn长度的最大值21如图，已知抛物线经过a（1，0），b（0，3）两点，对称轴是x=1（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点q从点o出发，以每秒1个单位长度的速度在线段oa上运动，同时动点m从m从o点出发以每秒3个单位长度的速度在线段ob上运

18、动，过点q作x轴的垂线交线段ab于点n，交抛物线于点p，设运动的时间为t秒当t为何值时，四边形ompq为矩形；aon能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由22如图，在平面直角坐标系中，已知矩形abcd的三个顶点b（1，0），c（3，0），d（3，4）以a为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点c动点p从点a出发，沿线段ab向点b运动同时动点q从点c出发，沿线段cd向点d运动点p，q的运动速度均为每秒1个单位运动时间为t秒过点p作peab交ac于点e（1）直接写出点a的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点e作efad于f，交抛物线于点g，当t为何值时，acg的面积最大？最大值为多

19、少？（3）在动点p，q运动的过程中，当t为何值时，在矩形abcd内（包括边界）存在点h，使以c，q，e，h为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值23如图，平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，抛物线经过、三点，连接，线段交轴于点.（1）求点的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点为线段上的一个动点（不与点、重合），直线与抛物线交于、两点（点在轴右侧），连接，当四边形的面积最大时，求点的坐标并求出四边形面积的最大值.24如图1,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的顶点为轴于点将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直的抛物线(1)求抛物线的解析式；(2)如图2,在直线上是否存在点,使是等腰

20、三角形?若存在,请求出所有点的坐标:若不存在,请说明理由；(3)点为抛物线上一动点,过点作轴的平行线交抛物线于点，点关于直线的对称点为，若以为顶点的三角形与全等,求直线的解析式25如图在平面直角坐标系中抛物线yx2+bx+c与x轴交于a两点，与y轴交于点c，点a的坐标为（1，0），点c的坐标为（0，2）已知点e（m，0）是线段ab上的动点（点e不与点a，b重合）过点e作pex轴交抛物线于点p交bc于点f（1）求该抛物线的表达式；（2）当线段ef，pf的长度比为1：2时，请求出m的值；（3）是否存在这样的m，使得bep与abc相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由26如图，已知一次函

21、数的图像与x轴交于a（-6,0）与y轴相交于点b，动点p从a出发，沿x轴向x轴的正方向运动.（1）求b的值，并求出pab为等腰三角形时点p的坐标；（2）在点p出发的同时，动点q也从点a出发，以每秒个单位的速度，沿射线ab运动，运动时间为t（s）；点q的坐标（用含t的表达式表示）；若点p的运动速度为每秒k个单位，请直接写出当apq为等腰三角形时k的值.27如图，在平面直角坐标系中，已知矩形oabc的顶点b（6，8），动点m，n同时从o点出发，点m沿射线oa方向以每秒1个单位的速度运动，点n沿线段ob方向以每秒0.6个单位的速度运动，当点n到达点b时，点m，n同时停止运动，连接mn，设运动时间为t

22、（秒）（1）求证onmoab；（2）当点m是运动到点时，若双曲线的图象恰好过点n，试求k的值；（3）mnb与oab能否相似？若能试求出所有t的值，若不能请说明理由28如图，直线ab与x轴，y轴分别交于点a（2，0），点b（0，2），动点d以1个单位长度/秒的速度从点a出发向x轴负半轴运动，同时动点e以个单位长度/秒的速度从点b出发向y轴负半轴运动，设运动时间为t秒，以点a为顶点的抛物线经过点e，过点e作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点g，与ab相交于点f（1）求oab度数；（2）当t为何值时，四边形adef为菱形，请求出此时二次函数解析式；（3）是否存在实数t，使agf为直角三角形？若存

23、在，求t的值；若不存在，请说明理由29已知边长为4的正方形abcd，顶点a与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点c，动点p以每秒1个单位速度从点a出发沿ab方向运动，动点q同时以每秒4个单位速度从d点出发沿正方形的边dccbba方向顺时针折线运动，当点p与点q相遇时停止运动，设点p的运动时间为t求出该反比例函数解析式；连接pd，当以点q和正方形的某两个顶点组成的三角形和pad全等时，求t值；30综合与探究如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+x+3与x轴交于a，b两点（a在b左侧），与y轴交于点c点a坐标为（1，0）直线l为该抛物线的对称轴，且交直线bc于点d抛物线上有一动点p，且横坐标

24、为m（4m9），连接pd，过点p作pel于点e（1）求抛物线及直线bc的函数表达式（2）当dep与boc相似时，求m的值；（3）如图2，点m为直线bc上一动点，是否存在点p，使得以点a，c，pm为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出此时点p和点m的坐标；若不存在，说明理由31如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其对称轴交抛物线于点，交轴于点，已知.求抛物线的解析式及点的坐标；连接为抛物线上一动点，当时，求点的坐标；平行于轴的直线交抛物线于两点，以线段为对角线作菱形，当点在轴上，且时，求菱形对角线的长.32如图，已知直线与抛物线交于点、两点，抛物线与轴另一交点为.（1）求抛物线的解析式；

25、（2）若点为直线上一动点，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点作匀速运动，设运动时间为.当与相似时，求出点的运动时间；（3）点是位于直线上方轴上一点，点为直线上一点，点为第一象限内抛物线上一动点，是否存在以点，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.33如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴分别交于a（3，0），b两点，与y轴交于点c，点d为抛物线的顶点，抛物线的对称轴是x1，且与x轴交于e点（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点d的坐标；（2）如图2，连接ad，设点p是线段ad上的一个动点，过点p作x轴的垂线交抛物线于点g，交x轴于点h，连

26、接ag、gd，当adg的面积为1时，求点p的坐标；连接pc、pe，探究pc、pe的数量关系和位置关系，并说明理由;（3）设m为抛物线上一动点，n为抛物线的对称轴上一动点，q为x轴上一动点，当以q、m、n、e为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点q的坐标34已知二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于a、b两点，与y轴交于点c，它的顶点为p，直线与过点b且垂直于x轴的直线交于点d，且（1）求a、b两点的坐标；（2）若，求这个二次函数的关系式；（3）在（2）的基础上，将直线先绕点c旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，q是直线n上的动点，是否存在点q，使为直角三角形？若存在，求出

27、所有点q的坐标；若不存在，请说明理由35如图，在平面直角坐标系中，直线l1：yx+2向下平移1个单位后，得到直线l2，l2交x轴于点a，点p是直线l1上一动点，过点p作pqy轴交l2于点q（1）求出点a的坐标；（2）连接ap，当apq为以pq为底边的等腰三角形时，求点p和点q的坐标；（3）点b为oa的中点，连接oq、bq，若点p在y轴的左侧，m为直线y1上一动点，当pqm与boq全等时，求点m的坐标36如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，直线与直线关于轴对称，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动.当点出发后，过点作交折线于点，以为边向上作等边，设与重叠部分图形的面积

28、为.点运动的时间为秒.（1）写出坐标：点（ ），（ ），（ ）；（2）当点在线段上时，求与之间的函数关系式；（3）求出以点、为顶点的三角形是直角三角形时的值；（4）直接写出点运动的路径长为 .37如图，在矩形中，点为原点，点的坐标为，点的坐标为，抛物线经过点、，与交于点 备用图求抛物线的函数解析式；点为线段上一个动点（不与点重合），点为线段上一个动点，连接，设，的面积为求关于的函数表达式；抛物线的顶点为，对称轴为直线，当最大时，在直线上，是否存在点，使以、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由38如图，ab是半圆o的直径，半径ocab，ob4，d是o

29、b的中点，点e是弧bc上的动点，连接ae，de（1）当点e是弧bc的中点时，求ade的面积；（2）若 ，求ae的长；（3）点f是半径oc上一动点，设点e到直线oc的距离为m，当def是等腰直角三角形时，求m的值.39如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，动点从原点o出发，沿着轴正方向移动，以为斜边在第一象限内作等腰直角三角形，设动点的坐标为.(1)当时，点的坐标是 ；当时，点的坐标是 ；(2)求出点的坐标(用含的代数式表示)；(3)已知点的坐标为，连接、，过点作轴于点，求当为何值时，当与全等.40如图所示抛物线过点，点，且（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为35两部分，求点的坐标.41如图，在中，现在有动点从点出发，沿线段向终点运动，动点从点出发，沿折线向终点运动如果点的速度是秒，点的速度是秒它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动设运动的时间为秒如图，在上，当为多少秒时，以点、为顶点的三角形与相似？如图，在上，是否存着某时刻，使得以点、