《中考课件初中数学总复习资料》题型七 综合实践题-2020年中考数学第二轮重难题型突破（解析版）

1、题型七题型七 综合实践题综合实践题例例 1 【问题情境】【问题情境】已知 rtabc 中，bac90，abac，点 e 是线段 ac 上的一个动点(不与 a、c 重合)，以 ce 为一边作 rtdce，使dce90， 且 cdca.沿 ca 方向平移cde， 使点 c 移动到点 a， 得到abf.过点 f 作 fgbc， 交线段 bc 于点 g，连接 dg、eg.【深入探究】(1)如图，当点 e 在线段 ac 上时，小文猜想 gcgf，请你帮他证明这一结论；(2)如图，当点 e 在线段 ac 的延长线上，且 ceca 时，猜想线段 dg 与 eg 的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；【拓展应

2、用】(3)如图，将(2)中的“ceca”改为“ceca”，若设cde，请用含的式子表示cge 的度数(直接回答即可，不必证明)第 1 题图【答案】(1)证明：在 rtbac 中，bac90，abac，bcaabc45，fgbc，fgc90，gfc90gcf45，gfcgcf，gcgf；(2)解：dgeg，dgeg；证明：同(1)可证 gcgf，dce90，bca45，dcg45，gfc45，dcgefg，cde 平移得到abf，ceaf，cecfafcf，即 efac，accd，efcd，dcgefg(sas)，dgeg，dgcegf，dgcegcegfegc，即dgecgf90，dgeg；(

3、3)解：cge180.例例 2在正方形 abcd 中，bd 是一条对角线，点 p 在直线 cd 上(不与点 c、d 重合)，连接 ap，平移adp，使点 d移动到点 c，得到bcq，过点 q 作 qhbd 于 h，连接 ah，ph.【问题发现】(1)如图，若点 p 在线段 cd 上，ah 与 ph 的数量关系是_，位置关系是_；【拓展探究】(2)如图，若点 p 在线段 cd 的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由；【解决问题】(3)若点 p 在线段 dc 的延长线上，且ahq120，正方形 abcd 的边长为 2，请直接写出 dp 的长度第 2

4、题图【答案】解：(1)ahph，ahph；【解法提示】如解图，连接 hc，第 2 题解图四边形 abcd 是正方形，bdc45，又qhbd，dhq 是等腰直角三角形，hdhq，hdphqc45，由平移的性质可知 dpcq，在hdp 和hqc 中，hdhqhdphqcdpqc，hdphqc.hphc，dhpqhc.根据正方形是轴对称图形得到 hahc，ahdchd，ahpahddhpchdqhc90，即 ahph.hahp，ahph.(2)(1)中的结论仍然成立，理由如下：如解图，连接 hc，第 2 题解图四边形 abcd 是正方形，bdc45，又qhbd，dhq 是等腰直角三角形，hdphqc

5、135，hdhq，由平移的性质可知 dpcq，在hdp 和hqc 中，hdhqhdphqcpdcq，hdphqc(sas)，hphc，dhpqhc，根据正方形是轴对称图形得到 hahc，ahdchd，ahpahddhpchdchq90，hahp，ahph；(3)dp2 3.【解法提示】由(1)知，ahph，ahph，hpa45，ahq120，phq1209030.phdqhdphq60，ahbchbahpphd30，chpchbahb30，cph180chp275，apdcphaph30，在 rtadp 中，ad2，dp2tanapd2 3.例例 3如图，在 rtabc 中，acb90，a30

6、，点 o 为 ab 中点，点 p 为直线 bc 上的动点(不与点 b、点 c 重合)，连接 oc、op，将线段 op 绕点 p 逆时针旋转 60，得到线段 pq，连接 bq.(1)如图，当点 p 在线段 bc 上时，请直接写出线段 bq 与 cp 的数量关系；(2)如图，当点 p 在 cb 延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图，当点 p 在 bc 延长线上时，若bpo45，ac 6，请直接写出 bq 的长第 3 题图【答案】解：(1)cpbq;【解法提示】如解图，连接 oq，第 3 题解图由旋转可知，pqop，opq60，poq 是等边三角形，

7、opoq，poq60，在 rtabc 中，o 是 ab 中点，ocoaob，boc2a60poq，copboq，在cop 和boq 中，ocobcopboq，opoqcopboq(sas)，cpbq；(2)成立，理由如下：如解图，连接 oq，图由旋转知 pqop，opq60，poq 是等边三角形，opoq，poq60，在 rtabc 中，o 是 ab 中点，ocoaob，boc2a60poq，copboq，在cop 和boq 中，ocobcopboq，opoqcopboq(sas)，cpbq；(3)bq6 22.【解法提示】在 rtabc 中，a30，ac 6，bcactana 2，如解图，过

8、点 o 作 ohbc 于点 h，第 3 题解图ohb90bca，ohac，o 是 ab 中点，ch12bc22，oh12ac62，bpo45，ohp90，bpopoh，phoh62，cpphch62226 22，连接 oq，同(1)的方法得，bqcp6 22.例例 4 已知正方形 abcd， 点 e 在直线 ad 上(不与点 a、 d 重合)， 连接 be， 作 efbe， 且 efbe， 过点 f 作 fgbc，交直线 bc 于点 g.(1)如图，当点 e 在边 ad 上，点 g 在边 bc 的延长线上时，求证：abaebg；(2)如图，当点 e 在边 da 的延长线上，点 g 在边 bc

9、上时，fg 交 ad 于点 h，试猜想 ab、ae 与 bg 的关系，并加以证明；(3)如图，当点 e 在边 ad 的延长线上，点 g 在边 bc 上时，fg 交 ad 于点 n，请直接写出线段 ab、ae、bg 之间的数量关系，不需要证明图图图第 4 题图【答案】(1)证明：如解图，延长 ad 交 gf 的延长线于点 m，四边形 abcd 是正方形，第 4 题解图a90，abc90，又fgbc，四边形 abgm 是矩形，ambg，a90，efbe，m90，aebmfe，在abe 和mef 中，amaebmfeebef，abemef(aas)，abem，amaeemaeab，abaebg；(2

10、)abaebg；证明：fehbea90，beaabe90，fehabe，在abe 和hef 中，baeehfabehefbeef，abehef(aas)，ehab，ehaeabaeah，四边形 abgh 是矩形，ahbg，abaebg；(3)aeabbg.【解法提示】由(2)得abenef，neab，anneanabae，bgan，aeabbg.例例 5如图，abc 中，abbc，bdac 于点 d，fac12abc，且fac 在 ac 下方，点 p，q 分别是射线 bd，射线 af 上的动点，且点 p 不与点 b 重合，点 q 不与点 a 重合，连接 cq，过点 p 作 pecq 于点 e，

11、连接 de.(1)若abc60，bpaq.如图，当点 p 在线段 bd 上运动时，请直接写出线段 de 和线段 aq 的数量关系和位置关系；如图，当点 p 运动到线段 bd 的延长线上时，试判断中的结论是否成立，并说明理由；(2)若abc260，请直接写出当线段 bp 和线段 aq 满足什么数量关系时，能使(1)中的结论仍然成立(用含的三角函数表示)第 5 题图【答案】解：(1)de12aq，deaq；成立；【解法提示】如解图，连接 pc、pq，第 5 题解图babc，abc60，abc 是等边三角形，bcac，bcac，facpbc30，aqbp，aqcbpc(sas)，qcpc，acqbc

12、p，acqacpbcpacp60，pcq 是等边三角形，又 peqc，e 为 qc 的中点，abbc，bdac，d 为 ac 的中点，de12aq，deaq；成立理由如下：如解图，连接 pc、pq.第 5 题解图babc，abc60，abc 是等边三角形，bcac，bcac，facpbc30，aqbp，aqcbpc(sas)，qcpc，acqbcp，pcqbca60，pcq 是等边三角形，又peqc，e 为 qc 的中点，abbc，bdac，d 为 ac 的中点，de12aq，deaq；第 5 题解图(2)如解图，连接 pc，取 pc 中点 m，连接 md、me，设 pe 与 ac 交点为 n

13、，pdc90，md12pc，同理 me12pc，即 mpmcmdme，p、d、e、c 四点共圆，ncenpd，edcnpc，deaq，qacedc，又qacpbc，npcpbc，epdnpcpbcbcp，epdbcp，ncebcp.由ncebcp，qacpbc，得qacpbc，aqbpacbc2dcbc2sindbc2sinabc2，即aqbp2sin.例例 6已知，abc 为直角三角形，acb90，点 p 是射线 cb 上一点(点 p 不与点 b、c 重合)，线段 ap 绕点 a 顺时针旋转 90得到线段 aq，连接 qb 交射线 ac 于点 m.(1)如图，当 acbc，点 p 在线段 c

14、b 上时，线段 pb，cm 的数量关系是_；(2)如图，当 acbc，点 p 在线段 cb 的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)如图，若acbc52，点 p 在线段 cb 的延长线上，cm2，ap13，求abp 的面积第 6 题图【答案】解：(1)pb2cm；【解法提示】如解图，过点 q 作 qdac 于点 d，第 6 题解图qebc 交 bc 的延长线于点 e.aq 是由 ap 绕点 a 顺时针旋转 90得到的，apaq，且paq90，pacqad90，又pacapc90，qadapc，acpqda(aas)，acqdce，又abc 为等腰

15、直角三角形，acbcec，即点 c 为 be 的中点，cm12qe，即 qe2cm，连接 ae，accebc，abe 为等腰直角三角形，aeab，baepaq90，bapeaq，又apaq，apbaqe(sas)，bpqe2cm，pb2cm；(2)(1)中的结论 pb2cm 仍然成立；证明：如解图所示，过点 q 作 qgbc 交 bc 的延长线于点 g，过点 a 作 afqg 交 qg 的延长线于点 f.第 6 题解图aq 是由 ap 绕点 a 顺时针旋转 90得到的，apaq，且paq90，paccaq90，又qafcaq90，pacqaf，pacqaf(aas)，acaf，四边形 afgc

16、 为正方形，cgacbc，即 c 为 bg 的中点，qg2cm，连接 ag 可得，abg 为等腰直角三角形，abag，pabbaqqagbaq90，pabqag，pabqag(sas)，pbqg2cm，pb2cm；(3)如解图所示，过点 q 作 qhac 交 ac 的延长线于点 h.第 6 题解图由题知，acbc52，设 ac5a，bc2a，由(2)知，acpqha，qhac5a，又bcmqhm，bcqhcmmh，2a5a2mh，mh5，又apaq13，在 rtahq 中，根据勾股定理得：qh2ah2aq2，(5a)2(5a25)2132，化简得：5a27a120，即(a1)(5a12)0，解

17、得：a11，a2125(舍)，bc2，ahcp12，ac5，bppcbc12210，sabp12bpac1210525.例例 7如图，等边abc 中，点 d，e，f 分别为边 ab，ac，bc 的中点，m 为直线 bc 上一动点，dmn 为等边三角形(1)如图，当点 m 在点 b 左侧时，请你判断 en 与 mf 有怎样的数量关系？(2)如图，当点 m 在线段 bc 上时，其他条件不变，(1)的结论中 en 与 mf 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图证明；若不成立，请说明理由；(3)若点 m 在点 c 右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出

18、结论，若不成立请说明理由第 7 题图【答案】解：(1)enmf；【解法提示】如解图，连接 de、df，d、e、f 是等边abc 三边中点，def 是等边三角形，dedf，edf60，dmn 为等边三角形，dmdn，mdn60，mdfnde60ndf，dmfdne(sas)，enmf.图图第 7 题解图(2)成立证明：如解图，连接 de、df 和 ef，abc 是等边三角形，abacbc.又d，e，f 是三边的中点，de，df，ef 为三角形的中位线，dedfef，fde60.又mdffdn60， ndefdn60，mdfnde.在dmf 和dne 中，dfde，mdfnde，dmdn，dmfd

19、ne(sas)，enfm；(3)画出图形如解图，第 7 题解图mf 与 en 相等的结论仍然成立(或 enmf 成立)【解法提示】如解图，连接 de、ef、df.第 7 题解图d、e、f 分别为 ab、ac、bc 的中点，且abc 是等边三角形，def 是等边三角形，dedf，edf60.dmn 是等边三角形，dmdn，mdn60，mdfmdemdende，mdfnde，mdfnde(sas)，mfne.例例 8已知，在矩形 abcd 中，bc2ab，点 m 为 ad 边的中点，连接 bd，点 p 是对角线 bd 上的动点，连接 ap，以点 p 为顶点作epf90，pe 交 ab 边于点 e，

20、pf 交 ad 边于点 f.(1)发现问题如图，当点 p 运动过程中pba 与pab 互余时，线段 be、mf 与 ab 的数量关系为_；(2)解决问题如图，当点 p 运动过程中pba 与pab 相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，连接 ef 并延长 ef，交直线 bd 于点 g，若 beaf23，ef 85，求 dg 的长第 8 题图【答案】解：(1)be12mf12ab；【解法提示】如解图，取 ab 的中点 n，连接 pn、pm.第 8 题解图pba 与pab 互余，pbapab90，apb90，apd90，n 是

21、 ab 的中点，m 是 ad 的中点，pnbnan12ab，amdmpm12ad，napnpa，mapmpa.四边形 abcd 是矩形，bad90，abcd，adbc.bc2ab，ad2ab，abad12，而napmapbad90，npampa90，即npm90.epf90，npmepf，npmepmepfepm，npempf.abpbap90，bapdap90，abpdap.pnbn，ampm，abpbpn，dapmpa，enpfmp，pnepmf，nemfpnpm12ab12ad12.ne12mf，benebn，be12mfbn，又bn12ab，be12mf12ab.(2)不成立；理由如下

22、：如解图，取 ab 的中点 n，连接 pn、pm，第 8 题解图四边形 abcd 是矩形，badabc90，abcd，adbc，adbc，adbcbd，pbapab，papb，n 是 ab 的中点，pnab，anp90，pabpad90，pbapbc90，padpbc，padpda，papd.m 是 ad 的中点，pmad，pma90，四边形 pman 是矩形，npm90，anpm，pnam.epf90，npmepf，npmepmepfepm，npempf.pnepmf90，pnepmf，nemfpnpm12ad12ab.ad2ab，ne2mf.benebn，be2mfbn，n 是 ab 的中

23、点，bn12ab，be2mf12ab，故(1)中结论不成立；(4)如解图，延长 cd 交 fg 于点 h，设 be2a，则 af3a.第 8 题解图be2mf12ab，be2(afam)12ab.amab，2a2(3aab)12ab，ab83a，ad163a，ae23a，fd73a.ae2af2ef2，(23a)2(3a)2( 85)2，解得 a13，a23(舍去)ae2，be6，af9，df7，bd8 5.hdab，aefdhf，dhaedfaf，dh279，dh149.四边形 abcd 是矩形，abcd，即 hdbe.gdhgbe，dgbgdhbe，dgdg8 51496，dg14 55.

24、例例 9如图，在等腰 rtabc 和等腰 rtedb 中，acbc，debd，acbedb90，p 为 ae 的中点(1)观察猜想连接 pc、pd，则线段 pc 与 pd 的位置关系是_，数量关系是_；(2)探究证明如图，当点 e 在线段 ab 上运动时，其他条件不变，作 efbc 于 f，连接 pf，试判断pcf 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸在点 e 的运动过程中，当pcf 是等边三角形时，直接写出acb 与edb 的两直角边之比第 9 题图【答案】解：(1)pcpd，pcpd；【解法提示】如解图，过点 e 作 efbc 于 f，过点 p 作 phbc 于 h，连接 pf，第 9 题解

25、图易得四边形 efbd 是正方形，efed，debfeb45，pefped135，在pef 和ped 中，efedpefpedpepe，pefped(sas)，pfpd，epfepd，acphef，点 p 为 ae 的中点，点 h 是 fc 的中点，chhf，又 phbc，pcpf，故pcf 是等腰三角形，cphfph，pcpd；hpbhpfepf45，cpdcphhpfepfepd2(hpfepf)90，pcpd.(2)pcf 为等腰三角形，理由如下：如解图，过点 p 作 phbc 于点 h，第 9 题解图则 acphef，p 为 ae 的中点，点 h 是 fc 的中点，chhf，又 phb

26、c，pcpf，pcf 为等腰三角形；(3) 32.【解法提示】如解图，过点 e 作 efbc 于点 f，过点 p 作 phbc 于点 h，由(1)知，四边形 bdef 为正方形，设efbfbdx，hfy，第 9 题解图pcf 是等边三角形，ph 3y，phef，befbph，efphbfbh，即x3yxxy，解得 y312x，bcx2y( 32)x，bcbd（ 32）xx 32.acb 与edb 的两直角边之比为 32.例例 10已知在abc 中，ab 边上的动点 d 由 a 向 b 运动(与 a，b 不重合)，点 e 与点 d 同时出发，由点 c 沿 bc 的延长线方向运动(e 不与 c 重合)，连接 de 交 ac 于 f，点 h 是线段 af 上一点(1)初步尝试如图，若abc 是等