《初中数学总复习资料》2018年中考数学复习难题突破专题十讲：2018年中考数学复习难题突破专题八：类比、拓展探究题

1、难题突破专题八类比、拓展探究题类比、拓展探究题是近两年中考热门考题，题型的模式基本分为三步：初步尝试、类比发现、深入探究，考查的知识点有：三角形旋转、平行四边形性质、相似、全等、矩形折叠、勾股定理等此类问题解答往往是层层深入，从特殊到一般，然后是拓展运用在解题时需要牢牢把握特殊情况、特殊位置下的结论，然后探寻一般情况下是否也成立，最后是类比应用类比模仿是解决此类问题的重要手段例题1：（2017浙江衢州）问题背景如图1，在正方形abcd的内部，作dae=abf=bcg=cdh，根据三角形全等的条件，易得daeabfbcgcdh，从而得到四边形efgh是正方形类比探究如图2，在正abc的内部，作b

2、ad=cbe=acf，ad，be，cf两两相交于d，e，f三点（d，e，f三点不重合）（1）abd，bce，caf是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明（2）def是否为正三角形？请说明理由（3）进一步探究发现，abd的三边存在一定的等量关系，设bd=a，ad=b，ab=c，请探索a，b，c满足的等量关系【考点】lo：四边形综合题【分析】（1）由正三角形的性质得出cab=abc=bca=60°，ab=bc，证出abd=bce，由asa证明abdbce即可；（2）由全等三角形的性质得出adb=bec=cfa，证出fde=def=efd，即可得出结论；（3）作agbd于g，由正三角形的

3、性质得出adg=60°，在rtadg中，dg=b，ag=b，在rtabg中，由勾股定理即可得出结论【解答】解：（1）abdbcecaf；理由如下：abc是正三角形，cab=abc=bca=60°，ab=bc，abd=abc2，bce=acb3，2=3，abd=bce，在abd和bce中，abdbce（asa）；（2）def是正三角形；理由如下：abdbcecaf，adb=bec=cfa，fde=def=efd，def是正三角形；（3）作agbd于g，如图所示：def是正三角形，adg=60°，在rtadg中，dg=b，ag=b，在rtabg中，c2=（a+b）2+

4、（b）2，c2=a2+ab+b2例题2：（2017湖北随州）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，af经过点c，连接de交af于点m，观察发现：点m是de的中点下面是两位学生有代表性的证明思路：思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；思路2：不证三角形全等，连接bd交af于点h请参考上面的思路，证明点m是de的中点（只需用一种方法证明）；（2）如图2，在（1）的前提下，当abe=135°时，延长ad、ef交于点n，求的值；（3）在（2）的条件下，若=

5、k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值【考点】so：相似形综合题【分析】（1）证法一，利用菱形性质得ab=cd，abcd，利用平行四边形的性质得ab=ef，abef，则cd=ef，cdef，再根据平行线的性质得cdm=fem，则可根据“aas”判断cdmfem，所以dm=em；证法二，利用菱形性质得dh=bh，利用平行四边形的性质得afbe，再根据平行线分线段成比例定理得到=1，所以dm=em；（2）由cdmfem得到cm=fm，设ad=a，cm=b，则fm=b，ef=ab=a，再证明四边形abcd为正方形得到ac=a，接着证明anf为等腰直角三角形得到nf=a+b，则ne=nf+e

6、f=2a+b，然后计算的值；（4）由于=+=k，则=，然后表示出=+1，再把=代入计算即可【解答】解：（1）如图1，证法一：四边形abcd为菱形，ab=cd，abcd，四边形abef为平行四边形，ab=ef，abef，cd=ef，cdef，cdm=fem，在cdm和fem中，cdmfem，dm=em，即点m是de的中点；证法二：四边形abcd为菱形，dh=bh，四边形abef为平行四边形，afbe，hmbe，=1，dm=em，即点m是de的中点；（2）cdmfem，cm=fm，设ad=a，cm=b，abe=135°，baf=45°，四边形abcd为菱形，naf=45

7、6;，四边形abcd为正方形，ac=ad=a，abef，afn=baf=45°，anf为等腰直角三角形，nf=af=（a+b+b）=a+b，ne=nf+ef=a+b+a=2a+b，=；（4）=+=k，=k，=，=+1=+1=例题3：（2017江苏盐城）【探索发现】如图，是一张直角三角形纸片，b=60°，小明想从中剪出一个以b为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线de、ef剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为【拓展应用】如图，在abc中，bc=a，bc边上的高ad=h，矩形pqmn的顶点p、

8、n分别在边ab、ac上，顶点q、m在边bc上，则矩形pqmn面积的最大值为（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图，有一块“缺角矩形”abcde，ab=32，bc=40，ae=20，cd=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（b为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料abcd，经测量ab=50cm，bc=108cm，cd=60cm，且tanb=tanc=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点m、n在边bc上且面积最大的矩形pqmn，求该矩形的面积【考点】lo：四边形综合题【分析】【探索发现】：由中位线知ef=bc、ed=ab、由=可得；【拓展应用】：由ap

9、nabc知=，可得pn=apq，设pq=x，由s矩形pqmn=pqpn（x）2+，据此可得；【灵活应用】：添加如图1辅助线，取bf中点i，fg的中点k，由矩形性质知ae=eh20、cd=dh=16，分别证aefhed、cdghde得af=dh=16、cg=he=20，从而判断出中位线ik的两端点在线段ab和de上，利用【探索发现】结论解答即可；【实际应用】：延长ba、cd交于点e，过点e作ehbc于点h，由tanb=tanc知eb=ec、bh=ch=54，eh=bh=72，继而求得be=ce=90，可判断中位线pq的两端点在线段ab、cd上，利用【拓展应用】结论解答可得【解答】解：【探索发现】

10、ef、ed为abc中位线，edab，efbc，ef=bc，ed=ab，又b=90°，四边形fedb是矩形，则=，故答案为：；【拓展应用】pnbc，apnabc，=，即=，pn=apq，设pq=x，则s矩形pqmn=pqpn=x（ax）=x2+ax=（x）2+，当pq=时，s矩形pqmn最大值为，故答案为：；【灵活应用】如图1，延长ba、de交于点f，延长bc、ed交于点g，延长ae、cd交于点h，取bf中点i，fg的中点k，由题意知四边形abch是矩形，ab=32，bc=40，ae=20，cd=16，eh=20、dh=16，ae=eh、cd=dh，在aef和hed中，aefhed（a

11、sa），af=dh=16，同理cdghde，cg=he=20，bi=24，bi=2432，中位线ik的两端点在线段ab和de上，过点k作klbc于点l，由【探索发现】知矩形的最大面积为×bgbf=×（40+20）×（32+16）=720，答：该矩形的面积为720；【实际应用】如图2，延长ba、cd交于点e，过点e作ehbc于点h，tanb=tanc=，b=c，eb=ec，bc=108cm，且ehbc，bh=ch=bc=54cm，tanb=，eh=bh=×54=72cm，在rtbhe中，be=90cm，ab=50cm，ae=40cm，be的中点q在线段ab

12、上，cd=60cm，ed=30cm，ce的中点p在线段cd上，中位线pq的两端点在线段ab、cd上，由【拓展应用】知，矩形pqmn的最大面积为bceh=1944cm2，答：该矩形的面积为1944cm2专 题 训 练1. （2017湖北江汉）在rtabc中，acb=90°，点d与点b在ac同侧，dacbac，且da=dc，过点b作beda交dc于点e，m为ab的中点，连接md，me（1）如图1，当adc=90°时，线段md与me的数量关系是md=me；（2）如图2，当adc=60°时，试探究线段md与me的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当adc=时，求的值

13、【考点】so：相似形综合题【分析】（1）先判断出amfbme，得出af=be，mf=me，进而判断出ebc=bedecb=45°=ecb，得出ce=be，即可得出结论；（2）同（1）的方法即可；（3）同（1）的方法判断出af=be，mf=me，再判断出ecb=ebc，得出ce=be即可得出mde=，即可得出结论【解答】解：（1）如图1，延长em交ad于f，beda，fam=ebm，am=bm，amf=bme，amfbme，af=be，mf=me，da=dc，adc=90°，bed=adc=90°，acd=45°，acb=90°，ecb=45&#

14、176;，ebc=bedecb=45°=ecb，ce=be，af=ce，da=dc，df=de，dmef，dm平分adc，mde=45°，md=me，故答案为md=me；（2）md=me，理由：如图2，延长em交ad于f，beda，fam=ebm，am=bm，amf=bme，amfbme，af=be，mf=me，da=dc，adc=60°，bed=adc=60°，acd=60°，acb=90°，ecb=30°，ebc=bedecb=30°=ecb，ce=be，af=ce，da=dc，df=de，dmef，dm平分a

15、dc，mde=30°，在rtmde中，tanmde=，md=me（3）如图3，延长em交ad于f，beda，fam=ebm，am=bm，amf=bme，amfbme，af=be，mf=me，延长be交ac于点n，bnc=dac，da=dc，dca=dac，bnc=dca，acb=90°，ecb=ebc，ce=be，af=ce，df=de，dmef，dm平分adc，adc=，mde=，在rtmde中， =tanmde=tan2. （2017山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，ac，bd是四边形abcd的对角线，若acb=acd=abd=adb=60°，则线

16、段bc，cd，ac三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长cb到e，使be=cd，连接ae，证得abeadc，从而容易证明ace是等边三角形，故ac=ce，所以ac=bc+cd小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将abc绕着点a逆时针旋转60°，使ab与ad重合，从而容易证明acf是等边三角形，故ac=cf，所以ac=bc+cd在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“acb=acd=abd=adb=60°”改为“acb=acd=abd=adb=45°”，其它条件不变，那么线段bc，cd，ac三者之间有何等量

17、关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明（2）小华提出：如图5，如果把“acb=acd=abd=adb=60°”改为“acb=acd=abd=adb=”，其它条件不变，那么线段bc，cd，ac三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明【分析】（1）先判断出ade=abc，即可得出ace是等腰三角形，再得出aec=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断ade=abc也可以先判断出点a，b，c，d四点共圆）（2）先判断出ade=abc，即可得出ace是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论【解答】解：（1）bc+cd=ac；理由：如图1，延长

18、cd至e，使de=bc，abd=adb=45°，ab=ad，bad=180°abdadb=90°，acb=acd=45°，acb+acd=45°，bad+bcd=180°，abc+adc=180°，adc+ade=180°，abc=ade，在abc和ade中，abcade（sas），acb=aed=45°，ac=ae，ace是等腰直角三角形，ce=ac，ce=ce+de=cd+bc，bc+cd=ac；（2）bc+cd=2accos理由：如图2，延长cd至e，使de=bc，abd=adb=，ab=ad，ba

19、d=180°abdadb=180°2，acb=acd=，acb+acd=2，bad+bcd=180°，abc+adc=180°，adc+ade=180°，abc=ade，在abc和ade中，abcade（sas），acb=aed=，ac=ae，aec=，过点a作afce于f，ce=2cf，在rtacf中，acd=，cf=accosacd=accos，ce=2cf=2accos，ce=cd+de=cd+bc，bc+cd=2accos【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是构造

20、全等三角形，是一道基础题目3. （2017山东烟台）【操作发现】（1）如图1，abc为等边三角形，现将三角板中的60°角与acb重合，再将三角板绕点c按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与ab交于点d，在三角板斜边上取一点f，使cf=cd，线段ab上取点e，使dce=30°，连接af，ef求eaf的度数；de与ef相等吗？请说明理由；【类比探究】（2）如图2，abc为等腰直角三角形，acb=90°，先将三角板的90°角与acb重合，再将三角板绕点c按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45&

21、#176;），旋转后三角板的一直角边与ab交于点d，在三角板另一直角边上取一点f，使cf=cd，线段ab上取点e，使dce=45°，连接af，ef，请直接写出探究结果：求eaf的度数；线段ae，ed，db之间的数量关系【考点】rb：几何变换综合题【分析】（1）由等边三角形的性质得出ac=bc，bac=b=60°，求出acf=bcd，证明acfbcd，得出caf=b=60°，求出eaf=bac+caf=120°；证出dce=fce，由sas证明dcefce，得出de=ef即可；（2）由等腰直角三角形的性质得出ac=bc，bac=b=45°，证出a

22、cf=bcd，由sas证明acfbcd，得出caf=b=45°，af=db，求出eaf=bac+caf=90°；证出dce=fce，由sas证明dcefce，得出de=ef；在rtaef中，由勾股定理得出ae2+af2=ef2，即可得出结论【解答】解：（1）abc是等边三角形，ac=bc，bac=b=60°，dcf=60°，acf=bcd，在acf和bcd中，acfbcd（sas），caf=b=60°，eaf=bac+caf=120°；de=ef；理由如下：dcf=60°，dce=30°，fce=60°3

23、0°=30°，dce=fce，在dce和fce中，dcefce（sas），de=ef；（2）abc是等腰直角三角形，acb=90°，ac=bc，bac=b=45°，dcf=90°，acf=bcd，在acf和bcd中，acfbcd（sas），caf=b=45°，af=db，eaf=bac+caf=90°；ae2+db2=de2，理由如下：dcf=90°，dce=45°，fce=90°45°=45°，dce=fce，在dce和fce中，dcefce（sas），de=ef，在rta

24、ef中，ae2+af2=ef2，又af=db，ae2+db2=de24. （2017湖南岳阳）问题背景：已知edf的顶点d在abc的边ab所在直线上（不与a，b重合），de交ac所在直线于点m，df交bc所在直线于点n，记adm的面积为s1，bnd的面积为s2（1）初步尝试：如图，当abc是等边三角形，ab=6，edf=a，且debc，ad=2时，则s1s2=12；（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点d沿ab平移，使ad=4，再将edf绕点d旋转至如图所示位置，求s1s2的值；（3）延伸拓展：当abc是等腰三角形时，设b=a=edf=（）如图，当点d在线段ab上运动时，设ad=a，bd=b，求s1s2的表达式（结果用a，b和的三角函数表示）（）如图，当点d在ba的延长线上运动时，设ad=a，bd=b，直