《初中数学总复习资料》2018年中考数学复习方法技巧九大专题：2018年中考数学复习方法技巧专题六：中点联想解析

1、方法技巧专题六中点联想训练本文基于教学实践和反思提出了在初中数学教学中对“中点”的一些认识。并对中点问题进行了详细分类，对每种类型进行了举例、分析，特别是对各类中点问题的基本思路做了探讨和研究，并且针对学生在解题上存在的问题，提出了中点问题教学的几点建议：（1）在中点问题教学中，要积极培养学生的观察能力，提高学生的图形结合能力。（2）在中点问题教学中，要培养学生的分析能力与概括能力，并帮助学生实现各部分知识之间的联系与转换，从而提高学生的综合分析问题和概括问题的能力。（3）在中点问题教学中，要给学生有专题性的训练，从而提高学生解中点问题的能力。 1与中点有关的定理(1)直角三角形斜边

2、上的中线等于斜边的一半(2)等腰三角形“三线合一”的性质(3)三角形的中位线定理(4)垂径定理及其推论2与中点有关的辅助线(1)构造三角形的中位线，如连结三角形两边的中点；取一边的中点，然后与另一边的中点相连结；过三角形一边的中点作另一边的平行线等等(2)延长角平分线的垂线，构造等腰三角形的“三线合一”(3)把三角形的中线延长一倍，构造平行四边形一、中点在普通三角形中的应用【例题】（2017广西河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）a中线b角平分线c高d中位线【考点】k3：三角形的面积；k2：三角形的角平分线、中线和高【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答【解答】解

3、：三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分故选a【同步训练】（2017齐齐哈尔）如图，在abc中，adbc于d，bd=ad，dg=dc，e，f分别是bg，ac的中点（1）求证：de=df，dedf；（2）连接ef，若ac=10，求ef的长【考点】kd：全等三角形的判定与性质；kq：勾股定理【分析】（1）证明bdgadc，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明；（2）根据直角三角形的性质分别求出de、df，根据勾股定理计算即可【解答】（1）证明：adbc，adb=adc=90°，在bdg和adc中，bdgadc，bg=ac，bgd=c，

4、adb=adc=90°，e，f分别是bg，ac的中点，de=bg=eg，df=ac=af，de=df，edg=egd，fda=fad，edg+fda=90°，dedf；（2）解：ac=10，de=df=5，由勾股定理得，ef=5二、中点在等腰三角形中的应用【例题】（2016·广西桂林·3分）如图，在rtacb中，acb=90°，ac=bc=3，cd=1，chbd于h，点o是ab中点，连接oh，则oh=【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形【分析】在bd上截取be=ch，连接co，oe，根据相似三角形的性质得到，求

5、得ch=，根据等腰直角三角形的性质得到ao=ob=oc，a=aco=bco=abc=45°，等量代换得到och=abd，根据全等三角形的性质得到oe=oh，boe=hoc推出hoe是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：在bd上截取be=ch，连接co，oe，acb=90°chbd，ac=bc=3，cd=1，bd=，cdhbdc，ch=，acb是等腰直角三角形，点o是ab中点，ao=ob=oc，a=aco=bco=abc=45°，och+dch=45°，abd+dbc=45°，dch=cbd，och=abd，在cho与

6、beo中，chobeo，oe=oh，boe=hoc，ocbo，eoh=90°，即hoe是等腰直角三角形，eh=bddhch=，oh=eh×=，故答案为：【同步训练】（2016·湖北随州·10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图（1）、图（2）、图（3）中，am、bn是abc的中线，anbn于点p，像abc这样的三角形均为“中垂三角形”设bc=a，ac=b，ab=c【特例探究】（1）如图1，当tanpab=1，c=4时，a=4，b=4；如图2，当pab=30°

7、，c=2时，a=，b=；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论【拓展证明】（3）如图4，abcd中，e、f分别是ad、bc的三等分点，且ad=3ae，bc=3bf，连接af、be、ce，且bece于e，af与be相交点g，ad=3，ab=3，求af的长【考点】四边形综合题【分析】（1）首先证明apb，pef都是等腰直角三角形，求出pa、pb、pe、pf，再利用勾股定理即可解决问题连接ef，在rtpab，rtpef中，利用30°性质求出pa、pb、pe、pf，再利用勾股定理即可解决问题（2）结论a2+b2

8、=5c2设mp=x，np=y，则ap=2x，bp=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题（3）取ab中点h，连接fh并且延长交da的延长线于p点，首先证明abf是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题【解答】（1）解：如图1中，ce=ae，cf=bf，efab，ef=ab=2，tanpab=1，pab=pba=pef=pfe=45°，pf=pe=2，pb=pa=4，ae=bf=2b=ac=2ae=4，a=bc=4故答案为4，4如图2中，连接ef，ce=ae，cf=bf，efab，ef=ab=1，pab=30°，pb=1，pa=，在rtefp中，ef

9、p=pab=30°，pe=，pf=，ae=，bf=，a=bc=2bf=，b=ac=2ae=，故答案分别为，（2）结论a2+b2=5c2证明：如图3中，连接efaf、be是中线，efab，ef=ab，fpeapb，=，设fp=x，ep=y，则ap=2x，bp=2y，a2=bc2=4bf2=4（fp2+bp2）=4x2+16y2，b2=ac2=4ae2=4（pe2+ap2）=4y2+16x2，c2=ab2=ap2+bp2=4x2+4y2，a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2（3）解：如图4中，在age和fgb中，agefgb，bg=fg，取ab中点h，连接fh并且

10、延长交da的延长线于p点，同理可证aphbfh，ap=bf，pe=cf=2bf，即pecf，pe=cf，四边形cepf是平行四边形，fpce，bece，fpbe，即fhbg，abf是中垂三角形，由（2）可知ab2+af2=5bf2，ab=3，bf=ad=，9+af2=5×（）2，af=4三、中点在直角三角形中的应用【例题】（2017毕节）如图，rtabc中，acb=90°，斜边ab=9，d为ab的中点，f为cd上一点，且cf=cd，过点b作bedc交af的延长线于点e，则be的长为（）a6b4c7d12【考点】kx：三角形中位线定理；kp：直角三角形斜边上的中线【分析】先根

11、据直角三角形的性质求出cd的长，再由三角形中位线定理即可得出结论【解答】解：rtabc中，acb=90°，斜边ab=9，d为ab的中点，cd=ab=4.5cf=cd，df=cd=×4.5=3bedc，df是abe的中位线，be=2df=6故选a【同步训练】（2017黄石）如图，abc中，e为bc边的中点，cdab，ab=2，ac=1，de=，则cde+acd=（）a60°b75°c90°d105°【考点】ks：勾股定理的逆定理；kp：直角三角形斜边上的中线【分析】根据直角三角形的性质得到bc=2ce=，根据勾股定理的逆定理得到acb=

12、90°，根据三角函数的定义得到a=60°，求得acd=b=30°，得到dce=60°，于是得到结论【解答】解：cdab，e为bc边的中点，bc=2ce=，ab=2，ac=1，ac2+bc2=12+（）2=4=22=ab2，acb=90°，tana=，a=60°，acd=b=30°，dce=60°，de=ce，cde=60°，cde+acd=90°，故选c【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键四、中位线在三角形的应用【例题】（20

13、17毕节）如图，rtabc中，acb=90°，斜边ab=9，d为ab的中点，f为cd上一点，且cf=cd，过点b作bedc交af的延长线于点e，则be的长为（）a6b4c7d12【考点】kx：三角形中位线定理；kp：直角三角形斜边上的中线【分析】先根据直角三角形的性质求出cd的长，再由三角形中位线定理即可得出结论【解答】解：rtabc中，acb=90°，斜边ab=9，d为ab的中点，cd=ab=4.5cf=cd，df=cd=×4.5=3bedc，df是abe的中位线，be=2df=6故选a【同步训练】(2017湖北宜昌)如图，要测定被池塘隔开的a，b两点的距离可以

14、在ab外选一点c，连接ac，bc，并分别找出它们的中点d，e，连接ed现测得ac=30m，bc=40m，de=24m，则ab=（）a50mb48mc45md35m【考点】kx：三角形中位线定理【分析】根据中位线定理可得：ab=2de=48m【解答】解：d是ac的中点，e是bc的中点，de是abc的中位线，de=ab，de=24m，ab=2de=48m，故选b五、中点在圆的性质中的应用【例题】（2017广西百色）已知abc的内切圆o与ab、bc、ac分别相切于点d、e、f，若=，如图1，（1）判断abc的形状，并证明你的结论；（2）设ae与df相交于点m，如图2，af=2fc=4，求am的长 【

15、考点】mi：三角形的内切圆与内心【分析】（1）易证eof+c=180°，doe+b=180°和eof=doe，即可解题；（2）连接ob、oc、od、of，易证ad=af，bd=cf可得dfbc，再根据ae长度即可解题【解答】解：（1）abc为等腰三角形，abc的内切圆o与ab、bc、ac分别相切于点d、e、f，cfe=cef=bdo=beo=90°，四边形内角和为360°，eof+c=180°，doe+b=180°，=，eof=doe，b=c，ab=ac，abc为等腰三角形；（2）连接ob、oc、od、of，如图，等腰三角形abc中，

16、aebc，e是bc中点，be=ce，在rtaof和rtaod中，rtaofrtaod，af=ad，同理rtcofrtcoe，cf=ce=2，rtbodrtboe，bd=be，ad=af，bd=cf，dfbc，=，ae=4，am=4×=【同步训练】（2017呼和浩特）如图，点a，b，c，d是直径为ab的o上的四个点，c是劣弧的中点，ac与bd交于点e（1）求证：dc2=ceac；（2）若ae=2，ec=1，求证：aod是正三角形；（3）在（2）的条件下，过点c作o的切线，交ab的延长线于点h，求ach的面积【考点】mr：圆的综合题【分析】（1）由圆周角定理得出dac=cdb，证明acd

17、dce，得出对应边成比例，即可得出结论；（2）求出dc=，连接oc、od，如图所示：证出bc=dc=，由圆周角定理得出acb=90°，由勾股定理得出ab=2，得出ob=oc=od=dc=bc=，证出ocd、obc是正三角形，得出cod=boc=obc=60°，求出aod=60°，即可得出结论；（3）由切线的性质得出occh，求出h=30°，证出h=bac，得出ac=ch=3，求出ah和高，由三角形面积公式即可得出答案【解答】（1）证明：c是劣弧的中点，dac=cdb，acd=dce，acddce，=，dc2=ceac；（2）证明：ae=2，ec=1，ac

18、=3，dc2=ceac=1×3=3，dc=，连接oc、od，如图所示：c是劣弧的中点，oc平分dob，bc=dc=，ab是o的直径，acb=90°，ab=2，ob=oc=od=dc=bc=，ocd、obc是正三角形，cod=boc=obc=60°，aod=180°2×60°=60°，oa=od，aod是正三角形；（3）解：ch是o的切线，occh，coh=60°，h=30°，bac=90°60°=30°，h=bac，ac=ch=3，ah=3，ah上的高为bcsin60

19、6;=，ach的面积=×3×=六、中点在四边形中的性质应用【例题】（2017温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形abcd，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为s的小正方形efgh已知am为rtabm较长直角边，am=22ef，则正方形abcd的面积为（）a12sb10sc9sd8s【考点】kr：勾股定理的证明【分析】设am=2abm=b则正方形abcd的面积=4a2+b2，由题意可知ef=（2ab）2（ab）=2ab2a+2b=b，由此即可解决问题【解答】解：设am=2abm=b则正方形abcd的面积=4a2+b2由题意可知ef=（2ab）2（ab）=2ab2a

20、+2b=b，am=22ef，2a=22b，a=2b，正方形efgh的面积为s，b2=s，正方形abcd的面积=4a2+b2=9b2=9s，故选c【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题【同步训练】（2016·山东省德州市·4分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形（1）如图1，四边形abcd中，点e，f，g，h分别为边ab，bc，cd，da的中点求证：中点四边形efgh是平行四边形；（2）如图2，点p是四边形abcd内一点，且满足pa=pb，pc=

21、pd，apb=cpd，点e，f，g，h分别为边ab，bc，cd，da的中点，猜想中点四边形efgh的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使apb=cpd=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形efgh的形状（不必证明）【考点】平行四边形的判定与性质【分析】（1）如图1中，连接bd，根据三角形中位线定理只要证明ehfg，eh=fg即可（2）四边形efgh是菱形先证明apcbpd，得到ac=bd，再证明ef=fg即可（3）四边形efgh是正方形，只要证明ehg=90°，利用apcbpd，得acp=bdp，即可证明cod=cpd=90°，再根据平行线的性

22、质即可证明【解答】（1）证明：如图1中，连接bd点e，h分别为边ab，da的中点，ehbd，eh=bd，点f，g分别为边bc，cd的中点，fgbd，fg=bd，ehfg，eh=gf，中点四边形efgh是平行四边形（2）四边形efgh是菱形证明：如图2中，连接ac，bdapb=cpd，apb+apd=cpd+apd即apc=bpd，在apc和bpd中，apcbpd，ac=bd点e，f，g分别为边ab，bc，cd的中点，ef=ac，fg=bd，四边形efgh是平行四边形，四边形efgh是菱形（3）四边形efgh是正方形证明：如图2中，设ac与bd交于点oac与pd交于点m，ac与eh交于点napc

23、bpd，acp=bdp，dmo=cmp，cod=cpd=90°，ehbd，achg，ehg=eno=boc=doc=90°，四边形efgh是菱形，四边形efgh是正方形【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型七、中点在其它图形中的综合应用【达标训练】1. （2016·陕西·3分）如图，在正方形abcd中，连接bd，点o是bd的中点，若m、n是边ad上的两点，连接mo、no，并分别延长交边bc于两点m、n，则图中的全

24、等三角形共有（）a2对 b3对 c4对 d5对【考点】正方形的性质；全等三角形的判定【分析】可以判断abdbcd，mdombo，nodnob，monmon由此即可对称结论【解答】解：四边形abcd是正方形，ab=cd=cb=ad，a=c=abc=adc=90°，adbc，在abd和bcd中，abdbcd，adbc，mdo=mbo，在mod和mob中，mdombo，同理可证nodnob，monmon，全等三角形一共有4对故选c2. （2016·山东省东营市·3分）如图，在矩形abcd中，e是ad边的中点，beac，垂足为点f，连接df，分析下列四个结论：aefcab

25、；cf2af；dfdc；tancad其中正确的结论有( )a.4个 b3个 c2个 d1个【知识点】特殊平行四边形矩形的性质、相似三角形相似三角形的判定与性质、锐角三角函数锐角三角函数值的求法【答案】b.【解析】矩形abcd中，adbc.aefcab.正确；aefcab，cf2af正确；过点d作dhac于点h.易证abfcdh(aas).afch.efdh, 1.affh.fhch.dh垂直平分cf.dfdc. 正确；设ef1，则bf2.abfeaf.af.tanabf.cadabf，tancadtanabf.错误.故选择b.【点拨】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，图形面积的计算

26、，锐角三角函数值的求法，正确的作出辅助线是解本题的关键3. （2016·湖北荆门·3分）如图，已知点a（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接ao并延长交双曲线的另一分支于点b，点p是x轴上一动点；若pab是等腰三角形，则点p的坐标是（3，0）或（5，0）或（3，0）或（5，0）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质【分析】由对称性可知o为ab的中点，则当pab为等腰三角形时只能有pa=ab或pb=ab，设p点坐标为（x，0），可分别表示出pa和pb，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得p点坐标【解答】解：反比例函数y=图象关于原点对称，a、b两点关

27、于o对称，o为ab的中点，且b（1，2），当pab为等腰三角形时有pa=ab或pb=ab，设p点坐标为（x，0），a（1，2），b（1，2），ab=2，pa=，pb=，当pa=ab时，则有=2，解得x=3或5，此时p点坐标为（3，0）或（5，0）；当pb=ab时，则有=2，解得x=3或5，此时p点坐标为（3，0）或（5，0）；综上可知p点的坐标为（3，0）或（5，0）或（3，0）或（5，0），故答案为：（3，0）或（5，0）或（3，0）或（5，0）4. （2017广西）如图，a，b，c，d是o上的四个点，b是的中点，m是半径od上任意一点若bdc=40°，则amb的度数不可能是（）a

28、45°b60°c75°d85°【考点】m5：圆周角定理；m4：圆心角、弧、弦的关系【分析】根据圆周角定理求得aob的度数，则aob的度数一定不小于amb的度数，据此即可判断【解答】解：b是的中点，aob=2bdc=80°，又m是od上一点，ambaob=80°则不符合条件的只有85°故选d5. （2017江苏徐州）abc中，点d，e分别是ab，ac的中点，de=7，则bc=14【考点】kx：三角形中位线定理【分析】根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可知，bc=2de，进而由de的值求得bc【

29、解答】解：d，e分别是abc的边ac和ac的中点，de是abc的中位线，de=7，bc=2de=14故答案是：146. （2017.江苏宿迁）如图，在abc中，acb=90°，点d，e，f分别是ab，bc，ca的中点，若cd=2，则线段ef的长是2【考点】kx：三角形中位线定理；kp：直角三角形斜边上的中线【分析】首先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得ab的长，然后根据三角形的中位线定理求解【解答】解：rtabc中，acb=90°，d是ab的中点，即cd是直角三角形斜边上的中线，ab=2cd=2×2=4，又e、f分别是bc、ca的中点，即ef是abc的中

30、位线，ef=ab=×2=2，故答案为：27. （2017宁夏）在abc中，ab=6，点d是ab的中点，过点d作debc，交ac于点e，点m在de上，且me=dm当ambm时，则bc的长为8【分析】根据直角三角形的性质求出dm，根据题意求出de，根据三角形中位线定理计算即可【解答】解：ambm，点d是ab的中点，dm=ac=3，me=dm，me=1，de=dm+me=4，d是ab的中点，debc，bc=2de=8，故答案为：8【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键8. （2017哈尔滨）已知：ab是o的弦，点c是的中

31、点，连接ob、oc，oc交ab于点d（1）如图1，求证：ad=bd；（2）如图2，过点b作o的切线交oc的延长线于点m，点p是上一点，连接ap、bp，求证：apbomb=90°；（3）如图3，在（2）的条件下，连接dp、mp，延长mp交o于点q，若mq=6dp，sinabo=，求的值【考点】mr：圆的综合题【分析】（1）如图1，连接oa，利用垂径定理和圆周角定理可得结论；（2）如图2，延长bo交o于点t，连接pt，由圆周角定理可得bpt=90°，易得apt=apbbpt=apb90°，利用切线的性质定理和垂径定理可得abo=omb，等量代换可得abo=apt，易得

32、结论；（3）如图3，连接ma，利用垂直平分线的性质可得ma=mb，易得mab=mba，作pmg=amb，在射线mg上截取mn=mp，连接pn，bn，易得apmbnm，由全等三角形的性质可得ap=bn，map=mbn，延长pd至点k，使dk=dp，连接ak、bk，易得四边形apbk是平行四边形，由平行四边形的性质和平行线的性质可得pab=abk，apb+pbk=180°，由（2）得apb（90°mba）=90°，易得nbp=kbp，可得pbnpbk，pn=2ph，利用三角函数的定义可得sinpmh=，sinabo=，设dp=3a，则pm=5a，可得结果【解答】（1）

33、证明：如图1，连接oa，c是的中点，aoc=boc，oa=ob，odab，ad=bd；（2）证明：如图2，延长bo交o于点t，连接ptbt是o的直径bpt=90°，apt=apbbpt=apb90°，bm是o的切线，obbm，又oba+mba=90°，abo=omb又abo=aptapb90°=omb，apbomb=90°；（3）解：如图3，连接ma，mo垂直平分ab，ma=mb，mab=mba，作pmg=amb，在射线mg上截取mn=mp，连接pn，bn，则amp=bmn，apmbnm，ap=bn，map=mbn，延长pd至点k，使dk=dp

34、，连接ak、bk，四边形apbk是平行四边形；apbk，pab=abk，apb+pbk=180°，由（2）得apb（90°mba）=90°，apb+mba=180°pbk=mba，mbp=abk=pab，map=pba=mbn，nbp=kbp，pb=pb，pbnpbk，pn=pk=2pd，过点m作mhpn于点h，pn=2ph，ph=dp，pmh=abo，sinpmh=，sinabo=，设dp=3a，则pm=5a，mq=6dp=18a， 9. （2017黑龙江佳木斯）如图，在abc中，ab=bc=8，ao=bo，点m是射线co上的一个动点，aoc=60&#

35、176;，则当abm为直角三角形时，am的长为4或4或4【考点】kq：勾股定理；kh：等腰三角形的性质【分析】分三种情况讨论：当m在ab下方且amb=90°时，当m在ab上方且amb=90°时，当abm=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可【解答】解：如图1，当amb=90°时，o是ab的中点，ab=8，om=ob=4，又aoc=bom=60°，bom是等边三角形，bm=bo=4，rtabm中，am=4；如图2，当amb=90°时，o是ab的中点，ab=8，om=oa=4，又aoc=60°，aom是等边三角形，am=ao=4；如图3，当abm=90°时，bom=aoc=60°，bmo=30°，mo=2bo=2×4=8，rtbom中，