特殊平行四边形典型例题解析题

1、、参考例题例1如下图， ABC中，点0是AC边上的一个动点，过点0作直线MN/ BC，设MN交/BCA的平分线于点E,交/ BCA的外角平分线于点F.求证：EO=FO 当点0运动到何处时，四边形AECF是矩形并说明你的结论分析：（1）要证明OE=OF可借助第三条线段 0C即证：OE=OC OF=OC这 两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证 OEC OCF是等腰三角形，由 已知条件即可证明 假设四边形AECF是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角由已知可得到：/ ECF=90°,由可证得OE=OF,所以要使四边形AECF是 矩形，只需OA=OC证明：（1） tCE CF分别

2、是/ ACB / ACD的平分线./ ACZ BCE / ACf=Z DCF MN/ BC / OECZ ECB Z OFCZ FCDZ ACE：Z OECZ ACf=Z OFCOE=OC OF=OC OE=OF（2）当点O运动到AC的中点时，即OA=OC又由（1）证得OE=OF四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）由（1）知：Z ECAZ ACf=- Z ACB丄 Z ACD：丄（Z ACBZ ACD=90°2 2 2即Z ECF=90°四边形AECF是矩形因此：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.例2如下图，已知矩形 ABCD勺对角

3、线AC BD相交于0, 0巳AD于F,0F=3 cm, AE丄BD于 E,且 BE： ED=1 : 3,求 AC的长.平分且相等；可导出BE=0E进而得出AB=AQ即得出BE=0F=3 cm,求出BD的 长，即AC的长.解：四边形 ABCD是矩形.二 AGBD 0B=0D=0/=0C又 BE： ED=1 : 3 BE： BQ=1 : 2 二 BE=E0又 AE丄 B0 ABEA ADE AB=0Ag卩 AB=A0=0B / BAE=/ EA03O°,/ FA0=3O°ABEAA0FBE=0F=3 cm, BD=12 cm AC=BD=12 cm二、参考练习1. 如图，有一矩

4、形纸片ABCD AB=6 cm,BC=8 cm,将纸片沿EF折叠，使点B 与D重合，求折痕EF的长.解：连结BD BE DF由折叠的意义可知：EF丄BQ EF平分BD BE=ED BF=FD四边形 ABCD为矩形 AB=CD AD=BC, / C=90° , AD/ BC / ED(=Z FB0点 B 和 D 重合 BQ=D0 / B0=/ D0E BOFA DOE 二 ED=BF,. ED=BF=FD=BE四边形 BFDE是菱形S菱形X BDX EF=BFX CD2/ BF=DF,a 可设 BF=DF=x 则 FC=8 x在Rt FCD中，根据勾股定理得：x2=（8 x）2+62x

5、25 - 82 62 EF -25 6 EF=42、4因此，折痕EF的长为7.5 cm.2. 当平行四边形ABCD满足条件寸，它成为矩形（填上你认为正确的一个条件即可）.答案：/ BAC=90。或 AC=BD或 OA=OB或/ AB（+Z AD（=180° 或/ BADV BCD：180°等条件中的任一个即可.典型例题例1 如图，在菱形ABC冲，E是AB的中点，且丄丄丄二，求:（1）-比 的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD勺面积.分析（1）由E为AB的中点，二三一扛，可知DE是 AB的垂直平分线，从而一-亠，且 丄-亠上，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以

6、求出.（2）而丄，利用勾股定理可以求出AC （3）由菱形的g二J.甘匚.豆°对角线互相垂直，可知-解 （1）连结BD,:四边形ABCD1菱形，二'三是AB的中点，且三三，-亠匚匸二是等边三角形,=也是等边三角形.(2)V四边形ABCD是菱形， AC与BD互相垂直平分,O = -BD = -AB = -aoa/ab2-ob2 =E 二丄 ACBD = -a = ai(3)菱形ABCD勺面积说明：本题中的菱形有一个内角是 60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点.已知：如图，在菱形 ABC冲，匚E -工 于-于F.求证:分析要证明二三：匚匚，

7、可以先证明=匚G ,而根据菱形的有关性质不难证明-匚三-dF，从而可以证得本题的结论.证明四边形ABCD是菱形，丄- -丄一丄 ，且ZBEC = ZDFC = 90°扛配E 三 EE = EF? * * ? * * ?AB = AD AB-BE = AD-DP AE = AF.例3已知：如图，菱形ABCD中，E, F分别是BC, CD上的一点,四边形ABC助菱形,ZD = W= 1茁，求ZCEF 的度数.解答：连结AC N养"三60。 A£ = BC=CD = AD一匸:与匚-L-为等边三角形.AB 二 ACZB 二 £ACD 二 ZMC 二 60c丄三

8、壬=(:'J: _三諾三二二二盯丄二三三二:* ? * * * */. .43 = 7.乂曲戸二60。，.上曲F为等边三角形.:EF = 60°亠二二£ 二三壬 二一£三F 二 60c,+lS° = 60°+ZCr CEF=说明本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC，证出吕E三4ACF例4 如图，已知四边形匸三二 和四边形正三二 都是矩形，且亠4 匸圧求证：上匕垂直平分.分析由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明工三垂直平分证明：四边形"匚匚、匸三二71都是矩

9、形血跡 血"CD ZDFH =ZBCD = B AD = BC* * ? ? ?四边形是平行四边形 1-'/' , IF 比在 n上和日匚中= ZBCH；£DHF = ZBHC.DF = ECDFE 望 BU円.DH 二曲,HF = HC.四边形J是平行四边形四边形 m 是菱形m 平分三三匚上三平分三f - .4.工三垂直平分厂-.例5 如图，-广三匕中，二匸二：占三，丘、7在直线二匸上，且= CD = CF求证:BE _LAFHD分析 要证，关键是要证明四边形上弓匕三是菱形，然后利用菱形 的性质证明结论.证明四边形二匚是平行四边形加心，AU , ASEH

10、, aZ1 = Z5 CD=ED - AB 二 ED* ? * *N1二上丘Z2=Z3在血G和中厅二 ED £&望DEGAG=GD.卫 J 一辽.-1F-二 同理：一二僅三 H三上弓三£四边形口三上匸是平行四边形弓匚僅3E四边形?是菱形.匸丘一三三.典型例题例1一个平行四边形的一个内角是它邻角的 3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度分析根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数.解 设平行四边形的一个内角的度数为 x，则它的邻角的度数为3X，根据题意，得“九1 二，解得I- ,A - :?；这个平行四边形的四个内角的度数分别为 45°

11、, 135°，45°, 135°.例2 已知：如图，夕BCD的周长为60cm,对角线AC BD相交于点O,工 的周长比-三丁的周长多8cm求这个平行四边形各边的长.分析由平行四边形对边相等，可知S =平行四边形周长的一半二30cm又由一二、占的周长比-r，- 的周长多8cm,可知£ u = L cm由此两式, 可求得各边的长.解四边形匸三二 为平行四边形，亠 二一 J，-1'-AB-CD-ADBC = 60 ABBC = 30.AOABOB-(pBBC-OC) = 8 AS-BC = Z答：这个平行四边形各边长分别为 19cm, 11cm 19c

12、m 11cm说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行 四边形周长的一半.（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三 角形周长之差等于邻边之差.例3已知：如图，在心中，上二交于点O,过O点作EF交ABCD于 E、F,那么OE OF是否相等，说明理由.分析 观察图形，山月。三右捌用兰加尢即，从而可证明在夕百BCD中，曲 BD交于o,. AO = 0C._ AB / CD N创0 二"UQZAEO 二 ZCFO， ? -L 、疋-寸* ? * * " *已知：如图，点E在矩形ABCD勺边BC上，且一一，丄一丄，垂足为F。求证：=-J-分析 观察

13、图形，丄丄二二与二二 都是直角三角形，且锐角 一匚t 二二，斜边工匸：二三，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中, 若连结AE则一任三与丄壬全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。证明四边形ABCD1矩形，'一-1，二，二丁.丄F - £'S亠二厂二-匸* * ?yADuDE 边Dm ADCS AF-DC.例5 0是 ABCD寸角线的交点，-匚三的周长为59,三门-门，二，则砒=,若氐。眈与OAB的周长之差为15,则加二I口 ABCD的周长=.OA=OC = -AC OB = OD = -BD解答：厂ABC冲，】,1=OB +CC + 5C = -BD-h-AC-hBC_，二'.T的周长= 19 + 12+SC-59BC= 2S在ABCD中，序匚二勻D .-Z = 2E_<£?的周长 _ 二二 的周长'1 " .' 1:' 1'.= BC-AB=15.ABCD勺周长 上 - - - 一 _:二_ _ - 一一； I _ _：_说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将与丄二三的周长