等比数列时优质课学习教案

1、会计学1等比数列等比数列(dn b sh li)时优质课时优质课第一页，共22页。温故知新温故知新(wn g zh xn)第1页/共22页第二页，共22页。如果一碗面由如果一碗面由256256根面条组成根面条组成, ,请问需要拉面请问需要拉面(lmin)(lmin)师傅师傅拉几次才能得到拉几次才能得到? ?第2页/共22页第三页，共22页。我国古代一些学者提出：我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世一尺之棰，日取其半，万世(wnsh)不竭。不竭。”即一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完，这样每天剩下的部即一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完，这样每天剩下的部分都是前一天的一半

2、。如果把分都是前一天的一半。如果把“一尺之棰一尺之棰”看成单位看成单位“1”，那么得到，那么得到的数列是的数列是, ,. . . .2 21 1, ,. . . . . . ., ,1 16 61 1, ,8 81 1, ,4 41 1, ,2 21 11 1, ,1 1n n某种汽车购买时的价格是某种汽车购买时的价格是10万元，每年的折旧率是万元，每年的折旧率是15%，这，这辆车各年开始时的价值（单位辆车各年开始时的价值（单位(dnwi)：万元）分别是：万元）分别是：10，100.85,100.852 ,100.853,拉面时前拉面时前9次拉伸成的面条根数构成次拉伸成的面条根数构成(guch

3、ng)一个数列一个数列: 上面数列有什么上面数列有什么?从从第二项第二项起起,每一项与前一项的每一项与前一项的比比都等于都等于同一个常数同一个常数。1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 25610，100.85,100.852 ,100.853,1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256第3页/共22页第四页，共22页。) 2(1nqaann或)(*1Nnqaann其数学其数学(shxu)表达式表达式等比数列等比数列(dn b sh (dn b sh li)li)定义定义 一般地，如果(rgu)一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 等于 ，那么这个

4、数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的这个常数叫做等比数列的公比公比，通常用字母，通常用字母q表示。表示。比比同一个常数20na(判断一个数列是否为等比数判断一个数列是否为等比数列的依据列的依据)0q 第4页/共22页第五页，共22页。1.已知等比数列已知等比数列 an ：(1) an 能不能是零？能不能是零？(2)公比公比q能不能是能不能是1？2.用下列方法表示用下列方法表示(biosh)的数列中能确定的数列中能确定 是等比数列的是是等比数列的是 . 1，-1，1，(-1)n+1 ； 1，2，4，6； a，a，a，a； 已知已知a1=2，an=3an+1 ； 2a，2a，2a，2a.3.

5、什么样的数列既是等差数列又是等比数列？什么样的数列既是等差数列又是等比数列？不能不能能能非零的非零的 常数常数(chngsh)列列 思考思考(sko)1：23,2 ,4,8,.mmmm第5页/共22页第六页，共22页。思考思考2：若若a,G,b三个数成等比数列三个数成等比数列(dn b sh li)，那么这，那么这 三个数有何恒等关系？三个数有何恒等关系？结论结论(jiln)：G2=abG叫做叫做(jiozu)a,b的等的等比中项比中项(1)6(2)13等比中项有两个等比中项有两个第6页/共22页第七页，共22页。名称名称等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列通项通项公式公式dnaan)

6、 1(1daa12 d2aa13 d3aa14 由此归纳等差数列的通由此归纳等差数列的通项公式可得：项公式可得： 法法1 1：不完全：不完全归纳归纳法法d)1n(aa1n 1n1nqaa na 4a法法1 1：不完全：不完全归纳归纳法法qaaqaa1212 3a由此归纳等差数列的通由此归纳等差数列的通项公式可得：项公式可得： a a1 1q q2 2a a1 1q q3 3a a1 1q qn-1n-1第7页/共22页第八页，共22页。名称名称等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列通项通项公式公式dnaan) 1(1daa,2n12 daa23 daa34 把这把这n-1个式子个式子相加

7、相加，得：，得： 法法2 2：累加法：累加法d)1n(aa1n daa1nn 当当n=1时，时，a1=a1 上式成立上式成立 *1nNn,d)1n(aa qaa,2n12 法法2 2： 法法第8页/共22页第九页，共22页。名称名称等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列通项通项公式公式dnaan) 1(11n1nqaa daa,2n12 daa23 daa34 把这把这n-1个式子个式子相加相加，得：，得： 法法2 2：累加法：累加法d)1n(aa1n daa1nn 当当n=1时，上式成立时，上式成立 *1nNn,d)1n(aa qaa,2n12 法法2 2： 累乘累乘 法法qaa23

8、qaa1nn 把这把这n-1n-1个式子个式子相乘相乘，得：，得：1n1nqaa 当当n=1时，上式成立时，上式成立 *1n1nNn,qaa 第9页/共22页第十页，共22页。等比数列的通项公式：等比数列的通项公式： （nN,q0）11nnaa q第10页/共22页第十一页，共22页。例例1：在等比数列：在等比数列(dn b sh li)an中：中：1159115(1)2,3,162,;1(2)3,211,932,8,naqanaqaaqaaa 已知求已知，求 ；已知求 ；已知求q(3)(4)1,11naa qaq annn对于通项公式来说，有四个量，可以知三求一n=5a5=316a1=63q

9、=2第11页/共22页第十二页，共22页。例例2：在等比数列：在等比数列(dn b sh li)an中：中：362,16,naaa已知求1n1nqaa 解：解：2n1nn12135162221a2q21a2qaa16qaa 此题解法是利用数学此题解法是利用数学(shxu)的函数与方程思想，的函数与方程思想，函数与方程思想是数学函数与方程思想是数学(shxu)几个重要思想方法之一几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。第12页/共22页第十三页，共22页。名称名称等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列通项通项公式公式引申引申 *m

10、nNm,nd)mn(aa *,n mnmaa qn mNd)1m(aa1m d)1n(aa1n d)mn(aamn d)mn(aamn 可得可得已知等差数列已知等差数列(dn ch sh (dn ch sh li)li)anan中，公差为中，公差为d d，则，则anan与与amam（n,m Nn,m N* *）有何关）有何关系？系？已知等比数列已知等比数列anan中，中，公比公比(n b)(n b)为为q q，则，则anan与与amam（n,m Nn,m N* *）有何关）有何关系？系？an=a1qn-1am=a1qm-1mnmnqaa *mnmnNm,nqaa 可得可得第13页/共22页第十

11、四页，共22页。*6 36333323:,16222 22n mnmnnnnaa qn mNaa qqqaaq另解例例2：在等比数列：在等比数列(dn b sh li)an中：中：362,16,naaa已知求第14页/共22页第十五页，共22页。数数 列列等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列定定 义义公差（比）公差（比）通项公式通项公式 引申引申 0qqaa,2n1nn 1n1nqaa mnmnqaa daa,2n1nn d)1n(aa1n d)mn(aamn Rd 公差公差0q 公比公比类比类比(lib)小结小结(xi(xiojioji) )第15页/共22页第十六页，共22页。例如

12、例如(lr)：数列：数列an的首项是的首项是a1=1,公比公比q=2,则通项公式是：则通项公式是：上式还可以上式还可以(ky)写写成成nna221可见，这个可见，这个(zh ge)等比数列等比数列的图象都在函数的图象都在函数 的图象上，如右图所示。的图象上，如右图所示。xy221 0 1 2 3 4 nan87654321 的点函数的图象上一些孤立的图象是其对应的等比数列结论na：思考思考4：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？-12nna 第16页/共22页第十七页，共22页。33 ,nnnnaaa例 ：已知的通项公式求证：是等比数列.31.:,nnn

13、nana已知数列的前 项和为S求证：数列是式等比数列变定义法，只要看定义法，只要看1(nnaq qna是一个与 无关的非零常数）1111312naS 分析：当时，；111111231 (31)333 332 3nnnnnnnnnnnaSS 当时，1112 32 3.nnnnnaa当时，也满足1212 33(2).2 3nnnnana为常数第17页/共22页第十八页，共22页。1.1.下面有四个结论：下面有四个结论：（1 1）由第一项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比）由第一项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；数列；（2 2）常数列）常数列b,b,b,b,b b

14、一定为等比数列；一定为等比数列；（3 3）等比数列）等比数列 中，若公比中，若公比q=1q=1，则此数列各项相等；，则此数列各项相等；（4 4）等比数列中，各项与公比都不能为零。）等比数列中，各项与公比都不能为零。其中正确结论的个数是（）其中正确结论的个数是（）. 0 . 0 . 1 . 1 . 2 . 2 .3.32. 2. 等比数列等比数列 中中, , ,公比公比q=3q=3，则通项公式（，则通项公式（ ）. . . . . . . .3. 3. 在等比数列在等比数列 中，中， ，则，则 . .4. 4. 的等比中项为：的等比中项为： na232+ 3与14a 14 3n3n13 4n4nnana256,48aa8a C C384384D D1第18页/共22页第十九页，共22页。数数 列列等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列定定 义义公差（比）公差（比）通项公式通项公式 引申引申 0qqaa,2n1nn 1n1nqaa mnmnqaa daa,2n1nn d)1n(aa1n d)mn(aamn Rd