2020连云港高考模拟江苏省连云港市老六所四星高中2020届高三下学期模拟考试数学试题Word版含答案

1、高三数学模拟试题、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合A1,2,3 ,B2,3,4，则集合A B中元素的个数为3 .已知一组数据4,6,5,8,6,7,那么该组数据的方差为4 .根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为5 . yJ1IgG的定义域为6 .从长度分别为1、2、&4的四种，在这些取法中,以取出的T7ElJWlii1er<iO ；丁年；If 2:End While ; Print i条线段中，任取三条的不同取法共有 n三条线段为边可组成的三角形的个数2X7.若双曲线 m的一条渐近线方程为8 .已

2、知Sn是等差数列an的前n项和，若a1a2a34, S610,则 a39 .若关于x的不等式2mxmx 1 0的解集不是空集，则m的取值范围是-13 -10.已知等边三角形 ABC的边长为8, D为BC边的中点，沿AD将 ABC折成直二面角B AD C ,则三棱锥A DCB的外接球的表面积为11 .若tan , tan 是方程x26x 7 0的两个根，则a12 .设a,b为正实数，则a 2b-b-的最小值为a buuv13 .已知点A, B, C均位于同一单位圆。上，且BAuuv BC14 H uuv uuv L r ，右 PB PC 3,则uiv uuvPA PBuuvPC的取值范围为ln

3、x, x14.已知函数f x x1 2,x1，若 F x f f x 11 m有两个零点Xi,x2 ,则Xi x2的取值范围二、解答题(本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.)15 .(本题满分14分)2设函数 f x 2cos x cos 2x 一3(1)当x 0,时，求f x的值域；23(2)已知 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,若f B C 2, a 2,求 ABC 面积的最大值.16 .(本题满分14分)如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，PD BC , G为PA上一点.(1)求证：平面P

4、CD 平面ABCD ;(2)若PC /平面PCD ,求证：G为PA的中点.17 .(本题满分14分)如图，在宽为14 m的路边安装路灯，灯柱 OA高为8 m ,灯卞f PA是半径为r m的圆C的一段劣弧.路灯采用锥形灯罩， 灯罩顶P到路面的距离为10 m ,到灯柱所在直线的距离为 2 m .设Q为灯罩轴线与路面的交点，圆心C在线段PQ上.(1)当r为何值时，点 Q恰好在路面中线上？(2)记圆心C在路面上的射影为 H ,且H在线段OQ上，求HQ的最大值.18.(本题满分16分)22如图，椭圆C1：与 2r 1 (a b 0)和圆C2： x2 y2 b2,已知圆C2将椭圆C1 a b的长轴三等分，

5、椭圆C1右焦点到右准线的距离为_24,椭圆C1的下顶点为E ,过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B.(1)求椭圆Ci的方程；(2)若直线EA、EB分别与椭圆Ci相交于另一个交点为点P、M . 求证：直线 MP经过一定点；试问：是否存在以(m,0)为圆心，3叵为半径的圆G ,使得直线PM和直线AB都与圆G5相交？若存在，请求出实数m的范围；若不存在，请说明理由.19.(本题满分16分)已知函数f x1x332ax bx 1 (a, b R).(1)若b 0,且f x在0,内有且只有一个零点，求 a的值；(2)若a2 b 0,且f x有三个不同零点，问是否存在实数a使得这

6、三个零点成等差数列？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；1 . 113若a 1, b 0,试讨论是否存在 X00, U ,1 ,使得f x0 f -.22220.(本题满分16分)设数列an (任意项都不为零)的前 n项和为Sn ,首项为1,对于任意n N，满足an an 12(1)数列an的通项公式;(2)是否存在k,m,n N k m n使得ak,am,an成等比数列，且16ak,W ,a2成等差数歹U ?若存在，试求k m n的值；若不存在，请说明理由;(3)设数列 b , bnan,n 2k 1,k Nn 1,若由bn的前r项依次构成的数列是qn1,n 2k,k N q 0单调递

7、增数列，求正整数 r的最大值.高三数学模拟试题附加题43 ur 721A.已知矩阵M,向量215(1)求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量;(2)求 M 321B.已知曲线C的极坐标方程是4cos .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为a x m t的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是2(t是参数)、2 1y vt1若直线l与曲线C相交于A、B两点，且AB JT4,试求实数m值.2设M x,y为曲线C上任意一点，求x y的取值范围21C 已知 a>2, xCR.求证:|x1 + a|+|x a|>3.22 .如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是平行

8、四边形， PG 平面ABCD ,垂足1_ _ _为 G, G 在 AD 上，且 PG 4, AG GD,BG GC,GB GC 2, E 是 BC 的中点. 3(1)求异面直线GE与PC所成角的余弦值;八，一，PF ,一(2)若F点是棱PC上一点，且DF GC ,求的值.FC23 .棋盘上标有第0、1、2、L、100站，棋子开始位于第 0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n站的概率为 R.(1)当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋手所走步数之和 X的分布列与数学期望;1 _(2)

9、证明：PPn Pn Pn 11n 98 ；2(3)求 P)9、P00 的值.1.4;2.1;3.略 4.7; 5. 0,10 ;10.80；11. k2;15.解:(1)因为f x 2cos2 x所以 f (x) cos2xcos 2x 13cos2x cos2xcos一 3sin 2xsin 一 3参考答案6. 1 ； 7.413. 5,7 ;cos 2x 一 3,314(o 148;9,e).9.m 。或 m 4；1一 cos2x2旦in2x2cos2x - 3x cos 2xQx0,22xcos 2x1,2所以f(x)的值域为0,2(2)由 f(B C) cos 2(B C)3 ,得 c

10、os 2A2(0,),在 VABC中，由余弦定理，得b22bccos3代入得：4 b2 c2 bc- - 2bcbc bc ,当且仅当b c时取等号,1VABC 的面积 S bcsin 则VABC面积的最大值为J316. (1) Q底面ABCD为矩形,BC CD ,又Q PD BC ,CD,PD 平面 PCD, PD CD D,BC 平面PCD,又Q BC 平面ABCD, 平面ABCD 平面PCD ;(2)连接AC ,交BD于O,连接GO ,Q PC/平面 bdg ,平面PCA平面BDG GO ,PC/GO, PG CO GA OA 'Q底面ABCD为矩形，O是AC的中点，即CO OA

11、,PG GA,G为PA的中点.17. (1)以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A (0, 8), P (2, 10),Q (7, 0),(a 2)2 (b 10)2 r2，直线PQ的方程为2x+y-14 = 0.设C (a, b),则 222，a (b 8) r两式相减得：a+b- 10=0,又 2a+b-14=0,解得 a=4, b=6,r 次(6犷 2yZ5 当r 2J5时，点Q恰好在路面中线上.(2)由(1)知 a+b - 10=0,当a = 2时，灯罩轴线所在直线方程为x= 2,此时HQ= 0.a当aw2时，灯卓轴线所在万程为：y- 10= (x-2),a 2令 y

12、=0 可得 x= 12- 20 ,即 Q (12 20 , 0), aa20H 在线段 OQ上，12->4 解得 2waw.l0a . |HQ| = 12- 20 - a=12-（史 +a） aa& 12 2而=12- 4娓,，|HQ|的最大值为(12-4/5).20 一 _ .一 . 一当且仅当'=a即a= 2、/5时取等号.a【点睛】本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系,考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题.1八 18. I ）依题意，2b - 2a ,则 a 3b , 3c 4ab2 2亚b，又三 c , b 1,贝U a 3,c c 42，椭圆方程为y21

13、 .9(2)由题意知直线PE, ME的斜率存在且不为 0,设直线PE的斜率为k ,则PE ：y由9kx1,18k18kP（9k2 1x得1,9 k2），9 k2 1ra 1t , 口用一去代k,得M （k'k9k9k,x或y0,1,9k218k2 9k2-），k 9方法1: kPM9k2 1 9 k29k2 1 k2 978k18k-k2 1510k PM : y9k21k2 910k18k、)，即y k2 9k2 1x10k直线PM经过定点4 T(0,-) .5方法2：作直线1关于y轴的对称直线1',此时得到的点 P'、m '关于y轴对称，则pm与p'

14、M 相交于y轴，可知定点在y轴上,9 4当 k 1 时，P(-,-) , M (5 544-),此时直线PM经过y轴上的点T(0,-),55kPT9k2 1 429k2 1 518k9k2 1J k, kMT10k9 k2 4k2 9 518kk2 9k2 110k综上所述,直线P、M、T二点共线,即直线PM经过点T , 4PM经过定点T (0,).5y由 2 xkx2 yx1,1得y2k1 k2 ,2 或k 1k2 1,0,1,则直线AB :k2 12k设 t一110k，则t R ,直线PM ：tx4 一一,直线AB ：5假设存在圆心为(m,0),半径为 W2的圆G ,使得直线PM5和直线A

15、B都与圆G相交,5tm(i)则4mt 53、2,2218由(i)得 25t (m -)2518 ,一又t R恒成立，则25218m 一,25(ii),m 218由(ii )得，(ml)t258一 mt5250对t R恒成立,220 ,得m ,25218当m218时，不合题意；当252 18 g/8 、2 A, 2 18、/ 2、m二时，(二m)4(m-)( -)2552525，存在圆心为（m,0）,半径为3J2的圆G ,使得直线PM和直线AB都与圆G相交，所有m5的取值集合为（显当.5544918PM过定点(0, ),故m(-)一；又直线AB5525(亚与55一 一o 018斛法一：圆G :

16、（x m） y ，由上知2522 18过原点，故G:m2 02 18 ,从而得m25考点：1.直线与圆锥曲线的关系；2.椭圆的标准方程.-15 -1 319. (1)右 b 0,则 f x -x 3若a 0,则在0, ，则f x又f 01 0,故f x在0,22ax 1, f x x 2ax,0,则f x在0,上单调递增,上无零点，舍；f x x 2ax 0,得 f x 0, x1 0 , x2在 0, 2a 上，f x0 , f x在上单调递减,在 0, 2a 上，f x0, f x在上单调递增,34 34a3 1 -a3 1 ,34 3右a 1 0,则f 2a 0, f x在0,上无零点，

17、舍;3a4 3.一 一一一一一上恰有一零点，此时右一a1 0,则 f2a0,fx 在 0,34 3若一a3 1 0,贝u f 2a 0, f 01 0, f 3a 3a3则f x在0, 2a和2a, 3a上有各有一个零点，舍;故a的值为(2)因为a22 axf X有三个不同零点，且成等差数列,可设3mx23m2 dm3 md2 ,0,1,此时,故存在三个不同的零点故符合题意的a的值为(3)若0,bx1 33x02x0bx011214x°12b若存在八1x 0,T22,1使得fxOf2必须4x214x0 7112b 0在 0,214216 7 12b4 21 48b0方程的两根为:14

18、2.21 48b721 48b Qx,Q x00,%只能是21 48b4-17 -依题意07 721 48b 11 ,49 21 48b 121即空12又由21 48b1，得b25 ,故欲使满足题意的 存在，则4当 b2512,54,712时，存在唯一的X0°，U2,1满足25125时，不存在X0 40,iU?1使f Xo本题考查了函数的零点问题，解方程,意在考查学生的计算能力和综合应用能力20.(1)Q数列an是非零数列,an0.a22;时,anSnSn1anan 12an同2an 1 an 12 ,a2n 1是首项为1 ,公差为2的等差数列,a2n是首项为2 ,公差为2的等差数列

19、,a2n 1& 2 n 12n1,a2 na2an n n N(2)设存在k,m,n,满足题意,Q ak, am,an成等比数列,kn42 Q16ak,am,an成等差数列,2m416k n2,消去m可得：2k2n2 16k16k22k2 1-21 -Qk16kn , n 3 ,-22k2- 8,解得：01Qkk 1, n 4,7.(3)bn是单调递增数列，则n为偶数时,n 1恒成立,两边取自然对数化简可得:ln nln qln n1 ln x2- xln x,贝U f xx0,e 时，f x0;当xe,时，f0,在0,e上单调递增，在 e,上单调递减,e处取得极大值,4时,ln n

20、1 =是递减数列,ln11ln33ln 3 ln n 1 .是的取大值,In qln3T；In x 2In1 2ln x 2x 20'In n1 ，是递减数列，当n 6时,ln75竽，当n 8时,3ln97ln3T5当2 n 6时，存在° q133 ,使得n1n 1恒成立;当n 8时，qn 1 n 1不成立,至多前8项是递增数列，即正整数 r的最大值是8.根据等差数列本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题，涉及到数列通项公式的求解、 和等比数列定义求解参数值、根据数列单调性求解参数值等问题；由数列单调性确定参数值 的关键是能够将问题转化为恒成立问题，通过构造函数的方式来确定

21、上下限，进而通过讨论 得到结果，属于难题.21A. (1)矩阵M的特征多项式为f( ) (1)(2),令f()0 ,可求得特征值为2,4-22 -1对应的一个特征向量为则由1 M ，得 3x 3y所以矩阵M的一个特征值11对应的一个特征向量为同理可得矩阵M的一个特征值22对应的一个特征向量为32g2一一. 3 r所以M349333323 2本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21B.解：1曲线C的极坐标方程是4cos化为直角坐标方程为：x2 y2直线l的直角坐标方程为：y x m圆心到直线l的距离(弦心距) d 怆2,14 22.22圆心2,0到直线y xm的距离为：0 m .21或 m 3.2曲线C的方程可化为其参数方程为：x 2 2cosy 2sin为参数)QM x,y为曲线C上任意一点,2 2x2sinx y的取值范围是 2 2J2,2 2J2 .【点睛】z轴建立空间本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题22.试题详细分析：(1)以G点为原点， 蕊、反、存 分别为x轴、y轴、直角坐标系，则B(2,0,0),C(0,2,0), P(0,0,4),故uuruurE 1,1,0 ,GE 1,1,0 ,PC (0,2, 4),二- 二- 一cos(GE=PCGE-P