第九章 导体和电介质

1、 前一章我们讨论了真空中的静电场，引入了描述静电前一章我们讨论了真空中的静电场，引入了描述静电场特性的两个基本物理量场特性的两个基本物理量电场强度和电势。实际工作电场强度和电势。实际工作中常遇到电场中存在中常遇到电场中存在导体导体和和电介质电介质的问题，研究导体和电的问题，研究导体和电介质存在时静电场的分布，在电工、无线电等具体问题中介质存在时静电场的分布，在电工、无线电等具体问题中有重要意义。有重要意义。第九章第九章 导体和电介质导体和电介质电荷电荷决定决定电场电场影响影响导体导体：导体中存在大量自由电子，在电场作用下，导体中能：导体中存在大量自由电子，在电场作用下，导体中能形成电流，使电荷

2、分布发生变化，进而使电场也发生改变。形成电流，使电荷分布发生变化，进而使电场也发生改变。电介质电介质：电介子中几乎没有自由电子，但在外场作用下，介：电介子中几乎没有自由电子，但在外场作用下，介质分子内的电荷也能在很小的范围内重新分布，使电场发生质分子内的电荷也能在很小的范围内重新分布，使电场发生改变。改变。 金属导体：自由电子金属导体：自由电子自由电子自由电子91 静电场中的导体静电场中的导体一、静电感应一、静电感应导体导体不带电或无外场时：不带电或无外场时： 导体中的自由电子都与金属离子的正电荷精确导体中的自由电子都与金属离子的正电荷精确中和，金属不显电性。中和，金属不显电性。把导体放入把导

3、体放入外静电场时：外静电场时：自由电子受电场作用做定向运动，形成自由电子受电场作用做定向运动，形成电流电流。在电场作用下，导体上的电荷重新分布的过程，在电场作用下，导体上的电荷重新分布的过程，称为称为静电感应静电感应。静电感应所产生的电荷称为静电感应所产生的电荷称为感应电荷感应电荷。按照电荷守恒，按照电荷守恒，感应电荷的总电荷量为零。感应电荷的总电荷量为零。0Ev 二、静电平衡二、静电平衡0EvE v0E00EEEvvv当：导体达到导体达到静电平衡静电平衡静电感应的时间极短，若非特别说明，把导体当做已静电感应的时间极短，若非特别说明，把导体当做已经处于静电平衡的状态来讨论。经处于静电平衡的状态

4、来讨论。导体达到静电平衡，导体达到静电平衡，自由电荷停止了定向流动自由电荷停止了定向流动。 三、导体静电平衡条件三、导体静电平衡条件 1 1、场强条件、场强条件 静电平衡导体中的电场强度为零，导体表面的场强静电平衡导体中的电场强度为零，导体表面的场强与表面垂直。与表面垂直。1)1)这里的电场强度指总的场强这里的电场强度指总的场强 2 2、电势条件、电势条件 静电平衡导体是一个等势体，表面是一个等势面。静电平衡导体是一个等势体，表面是一个等势面。0内Ev()Egrad V 2)导体表面的场强必须与表面垂直导体表面的场强必须与表面垂直,否则，其切向分量会使表面电荷移动否则，其切向分量会使表面电荷移

5、动 推论二推论二 静电平衡导体附近的电场强度的大小与表面电荷密静电平衡导体附近的电场强度的大小与表面电荷密度的关系：度的关系：0E0qE ds内由高斯定理：P0内内EvSE 0SE S0E导体表面附近电场可导体表面附近电场可看做看做局部匀强电场局部匀强电场。 推论一推论一 静电平衡导体内的净电荷为零，电荷（自身带电或静电平衡导体内的净电荷为零，电荷（自身带电或感应电荷）只分布于导体表面。感应电荷）只分布于导体表面。0SqE dS内若没有其它电场的影响，导体表面曲若没有其它电场的影响，导体表面曲率越大的地方电荷面密度也越大。率越大的地方电荷面密度也越大。 推论三推论三避雷针工作原理避雷针工作原理

6、尖端放电现象尖端放电现象例题例题1 1、如图：、如图：两个平行导体板（可近似看成无限大平两个平行导体板（可近似看成无限大平板）面积均为板）面积均为S，分别带电，分别带电Q1、 Q2 ，1).试求两个导体试求两个导体板的四个表面上电荷分布的面密度。板的四个表面上电荷分布的面密度。123412340:102A E EEEEvvvvv123412340:102B EEEEEvvvvv1 2 3 4 BA 1Ev2Ev4Ev3Ev112:QS解：12342:QS12121423:,22QQQQSS 解之可得Q1Q212141230,QS 得：1 2 3 4 BA 1Ev2Ev4Ev3Ev1212142

7、3,22QQQQSS Q1Q212IIIIII2). 求求I,II,III区的场强：区的场强：11234012E1234012IIE1234012IIIE3). 两导体板间的电势差：两导体板间的电势差：12IIUE d4). 按图接地后，各面的电荷密度：按图接地后，各面的电荷密度：1412123123000,11() 0,() 022QS此时，空腔外的电荷此时，空腔外的电荷 q 在空腔内激发的电场与空腔在空腔内激发的电场与空腔外表面上的感应电荷产生的电场叠加后，使空腔和外表面上的感应电荷产生的电场叠加后，使空腔和导体内的合场强为零。导体内的合场强为零。 二二 导体空腔和静电屏蔽导体空腔和静电屏

8、蔽 空腔和导体内场强为零空腔和导体内场强为零1、第一类导体空腔、第一类导体空腔 空腔内无带电体空腔内无带电体 B A空腔内表面也不能有电荷分布空腔内表面也不能有电荷分布电荷只能分布在导体电荷只能分布在导体外外表面表面 q静电屏蔽静电屏蔽：达到静电平衡的导体空腔内的电场不受空：达到静电平衡的导体空腔内的电场不受空腔外电荷的影响；接地的导体空腔外部的电场不受内腔外电荷的影响；接地的导体空腔外部的电场不受内部电荷影响。部电荷影响。这种静电屏蔽也叫这种静电屏蔽也叫外屏蔽外屏蔽。2 2、第二类导体空腔、第二类导体空腔腔内有带电体腔内有带电体q q当达到静电平衡，导体内的场强为零，必须是导当达到静电平衡，

9、导体内的场强为零，必须是导体空腔内表面上的感应电荷为体空腔内表面上的感应电荷为-q，外表面上的感，外表面上的感应电荷为应电荷为+q。当导体空腔接地时，导体空腔外表面上的感应电当导体空腔接地时，导体空腔外表面上的感应电荷被中和，荷被中和，空腔外没有电场空腔外没有电场，导体的电势为零。，导体的电势为零。这种静电屏蔽也叫这种静电屏蔽也叫内屏蔽内屏蔽q qq 导体空腔的静电屏蔽作用导体空腔的静电屏蔽作用： 导体空腔（不论接地与否）内部电场不受腔外导体空腔（不论接地与否）内部电场不受腔外电荷的影响；接地导体空腔外部的电场不受内部电荷电荷的影响；接地导体空腔外部的电场不受内部电荷的影响。导体空腔屏蔽了空腔

10、内、外电荷的相互影响的影响。导体空腔屏蔽了空腔内、外电荷的相互影响 应用：应用：精密测量上的仪器屏蔽罩、屏蔽室、高压带电精密测量上的仪器屏蔽罩、屏蔽室、高压带电作业人员的屏蔽服（均压服）等。作业人员的屏蔽服（均压服）等。 例题例题 2 半径为半径为 R1 的导体球，带电为的导体球，带电为q，球外有一内、外半径，球外有一内、外半径分别为分别为 R2 和和 R3 的同心导体球壳，壳上带电的同心导体球壳，壳上带电 Q，（，（1）求导体球、）求导体球、球壳的电势？（球壳的电势？（2）若用导线连接球和球壳，它们的电势为多少？）若用导线连接球和球壳，它们的电势为多少？（3）若外球接地，求它们的电势？）若外

11、球接地，求它们的电势？ 解：解：（1）当静电平衡时，球壳内外表面的电荷分别为）当静电平衡时，球壳内外表面的电荷分别为-q和和Q+q3Rqo1R2RqQ q01231()4qqQqVRRR导体球的电势：导体球的电势：球壳的电势：球壳的电势：031()4qqQqVrrR 0314QqR（2）导体球和球壳接线后，球上电荷）导体球和球壳接线后，球上电荷q和球壳内表面电荷和球壳内表面电荷-q中和，中和，且电势相同。且电势相同。0314QqVR（3）球壳接地后，球壳外表面电荷）球壳接地后，球壳外表面电荷Q+q被中和，且其电势为零。被中和，且其电势为零。0121()4qqVRR例题例题3、在一个半径为、在一

12、个半径为R，均匀带电，均匀带电q的球面内有一的球面内有一个半径为个半径为r的不带电的导体球，求导体球接地后其上的不带电的导体球，求导体球接地后其上的感应电荷大小。的感应电荷大小。rRq解：导体球没有接地时，解：导体球没有接地时，带电球面带电球面内的电势不为零内的电势不为零。因此，接地后有。因此，接地后有电流产生，从而使导体球带电。静电流产生，从而使导体球带电。静电平衡后，导体球上的电势应该为电平衡后，导体球上的电势应该为零。设导体球带电为零。设导体球带电为q，则有总电，则有总电势计算公式：势计算公式：04400rqRqqRrq电介质中没有自由电荷，分子中的电荷在外场的作用电介质中没有自由电荷，

13、分子中的电荷在外场的作用下在很小的范围内重新分布，新的电荷分布会下在很小的范围内重新分布，新的电荷分布会削弱削弱电电介质中的原电场，并不会完全减弱为零。介质中的原电场，并不会完全减弱为零。92 电介质电介质 电介质中的高斯定理电介质中的高斯定理 一一 电介质的极化电介质的极化等效电荷等效电荷：把分子中的正负电荷作为两个点电荷处理。：把分子中的正负电荷作为两个点电荷处理。有极分子有极分子：分子的正负电荷中心不重合，等效电荷形：分子的正负电荷中心不重合，等效电荷形成一个电偶极子，其电矩称为分子的成一个电偶极子，其电矩称为分子的固有电矩固有电矩。如。如HClHCl分子。分子。无极分子无极分子：分子的

14、正负电荷中心重合，其电矩为零。：分子的正负电荷中心重合，其电矩为零。如如H H2 2,O,O2 2,N,N2 2,CO,CO2 2等。等。1.1.有极分子和无极分子有极分子和无极分子2.2.有极分子的有极分子的取向取向极化极化 有极分子电介质处在电场中时，分子的电偶极矩有极分子电介质处在电场中时，分子的电偶极矩会转动到沿电场方向的有序排列，电介质表面会出会转动到沿电场方向的有序排列，电介质表面会出现现极化电荷极化电荷，极化电荷产生附加电场，使介质中场，极化电荷产生附加电场，使介质中场强减小。强减小。3.3.无极分子的无极分子的位移位移极化极化 无极分子电介质处在电场中时，分子的正负电荷无极分子

15、电介质处在电场中时，分子的正负电荷中心发生位移从而形成分子电偶极矩，称为中心发生位移从而形成分子电偶极矩，称为感生电感生电矩。矩。电介质表面同样会出现极化电荷，极化电荷产电介质表面同样会出现极化电荷，极化电荷产生附加电场，使介质中场强减小。生附加电场，使介质中场强减小。- + - +- +- + - +- +二二 电介质中的电场电介质中的电场0rEEvv 当电介质均匀充满电场后，电介质中任意一点的当电介质均匀充满电场后，电介质中任意一点的合场强合场强为原来真空中的场强的为原来真空中的场强的1r1r称为电介质的称为电介质的相对介电常量相对介电常量真空中的点电荷真空中的点电荷在某点在某点P P激发

16、的场强为：激发的场强为：00304q rErvv电介质中的极化电荷电介质中的极化电荷( (看成点电荷看成点电荷) )在在P P点激发的场强为：点激发的场强为：304q rEr vv00330044q rq rEEErrvvvvv 电介质中的电介质中的合场强合场强为：为：00304rrEq rEr vvv又由于：又由于：00rqqq所以：所以：即：即：01rrqq 00033044rrEq rq rErr vvvv定义：定义：0r 为电介质的介电常量为电介质的介电常量则电介质中点电荷产生的场强为：则电介质中点电荷产生的场强为：1,0rq三三 介质中的高斯定理介质中的高斯定理0SqE dSvv内

17、真空中真空中的高斯定理：的高斯定理：介质中介质中的高斯定理：的高斯定理：000SqqqE dSvv内由于：由于： 所以所以00rqqq0000SrqqqE dS vv0q0SE dSqvv0SD dSqvv这就是这就是介质中介质中的高斯定理，也称的高斯定理，也称D高斯定理高斯定理其中其中: : 称为称为电位移矢量电位移矢量DEvv电位移矢量：电位移矢量：DEvvD通量表示通过曲面通量表示通过曲面S S的的D线条数：线条数：DSD dSvv通过闭合曲面的通过闭合曲面的D通量：通量：0DSD dSqvvD线发于线发于正的自由电荷正的自由电荷，终止于，终止于负的自由电荷负的自由电荷；而而E线发于线发

18、于正电荷正电荷，终止于，终止于负电荷负电荷。电介质中的高斯定理电介质中的高斯定理可以表述为：在静电场中，通可以表述为：在静电场中，通过任意闭合曲面（高斯面）的电位移通量等于该闭过任意闭合曲面（高斯面）的电位移通量等于该闭合曲面内所包围的合曲面内所包围的自由电荷的代数和自由电荷的代数和。电位移通量。电位移通量与极化电荷无关。与极化电荷无关。000ESqqqE dS 内与高斯面内的电场强度通量比较：与高斯面内的电场强度通量比较：四四 介质中的高斯定理的应用介质中的高斯定理的应用例例: : 半径为半径为R R1 1的导体球外有一个同心放置的内半径为的导体球外有一个同心放置的内半径为R R2 2，外半

19、，外半径为径为R R3 3的介质球壳，若导体球带电荷量为的介质球壳，若导体球带电荷量为Q，而介质的相对介，而介质的相对介电常数为电常数为 ，求导体球的电势。，求导体球的电势。rR1R2R3Qr解：作高斯面，利用解：作高斯面，利用D高斯定理：高斯定理：SD dSQvv24QDr1S2S3S导体球与介质之间的场强为：导体球与介质之间的场强为：1204QEr介质内的场强：介质内的场强：222044rQQErr 介质以外空间的场强：介质以外空间的场强：3204QEr导体球的电势：导体球的电势：1RVE drvv23123123RRRRREdrEdrEdrvvvvvv+-电容器电容器电容电容的定义：的定

20、义：UQC 单位：法拉单位：法拉 F = C / V ) ) 常用单位：微法常用单位：微法 m mF =10-6 F 皮法皮法 pF = 10-12F)性质：性质：C 只与导体本身形状、大小、相对位置及导体只与导体本身形状、大小、相对位置及导体周围电介质的性质有关，是导体本身的周围电介质的性质有关，是导体本身的固有属性固有属性。而。而与其是否带电及带电与其是否带电及带电 Q 多少无关。多少无关。升高单位电压所需的电量为该导体的电容。升高单位电压所需的电量为该导体的电容。93 电容器电容器1 1 平板电容器平板电容器( (充介质充介质) )（Ld )()(可视为二无穷大平行板可视为二无穷大平行板

21、) )设设A,B板带电分别为板带电分别为Q，所以电荷面密度为：所以电荷面密度为：一一 常见的电容器常见的电容器QS两板间电位移矢量大小：两板间电位移矢量大小：D两板间场强为：两板间场强为：DE两板间电压为：两板间电压为：BAUE drEdvvdQdS平板电容器的电容：平板电容器的电容：QCUSd不充介质时：不充介质时：0QCU0Sd00rCC介质的相对电容率介质的相对电容率介质的电容率介质的电容率真空的电容率真空的电容率0rQ SABdEQL2 2 圆柱形电容器圆柱形电容器( (充介质充介质) )lARBR设设A,B筒带电分别为筒带电分别为Q，且认为电荷均匀的分布在且认为电荷均匀的分布在A筒外

22、筒外表面和表面和B筒内表面，所以单位长度上的电量为：筒内表面，所以单位长度上的电量为：Ql两筒间电位移矢量大小：两筒间电位移矢量大小：2Dr两筒间场强大小：两筒间场强大小：2Er两筒间的电压：两筒间的电压：ln2BARBRARUE drRvv圆柱形电容器的电容：圆柱形电容器的电容：QCU2ln()BAlRR3 3 球形电容器球形电容器( (充介质充介质) )设设A,B球壳带电分别为球壳带电分别为Q，且电荷均匀分布在且电荷均匀分布在A球外表面球外表面和和B球内表面。球内表面。两球壳间电位移矢量大小：两球壳间电位移矢量大小：24QDr两球壳间场强大小：两球壳间场强大小：24QEr两球壳间的电压：两

23、球壳间的电压：11()4BARRABQUE drRRvv球形电容器的电容：球形电容器的电容：QCU4ABBAR RRR0ARBR推广到孤立导体球的电容：推广到孤立导体球的电容：()BR QCU4AR例例1 1 空气击穿场强为空气击穿场强为3kV/mm3kV/mm，若要求一个导体球电势达到，若要求一个导体球电势达到30kV,30kV,球半径至少为多大？球半径至少为多大？解解：假设导体球的半径为：假设导体球的半径为R，带电为，带电为Q, 则球面的场强为则球面的场强为:203/4QEkV mmR0304QUkVR解得：解得：0.01 mR R导体球到无穷远处点电压为：导体球到无穷远处点电压为：二二

24、电容器的串并联电容器的串并联1 1 电容器的并联电容器的并联( (扩容扩容) )2 2 电容器的串联（耐压）电容器的串联（耐压）12.UUU12.qqq12.qqqCUUU12.CC12.UUU12.qqq121.UUUCqqq1211.CC1q2q例例2 2 一平板电容器面积为一平板电容器面积为S,S,两板间距两板间距d d(1)(1)在两板间加一块导体板，面积也为在两板间加一块导体板，面积也为S S，厚度为，厚度为d/2,d/2,且与两极且与两极板平行，求此时电容器的电容。板平行，求此时电容器的电容。(2)(2)若用相对电容率若用相对电容率 的的介质板代替导体板，求此时的电容。介质板代替导

25、体板，求此时的电容。2r解解:(1)加入导体板后，由于静电感应，产生感应电荷，如图，加入导体板后，由于静电感应，产生感应电荷，如图，导体内部场强为零。电容器内其它区域场强为：导体内部场强为零。电容器内其它区域场强为：0QES电容器两板间的电压为：电容器两板间的电压为：022dQdUES电容为：电容为：02SQCUdQ SABdQ(2)可看成是两个真空电容器和一个介质电容器的串联可看成是两个真空电容器和一个介质电容器的串联00()2rQQdUSS 002413rrSSQCUdd例例3 3 两个相同的电容器串联后用电压为两个相同的电容器串联后用电压为U U的电源充电，若不断的电源充电，若不断电源，

26、在第一个电容器中充入相对电容率为电源，在第一个电容器中充入相对电容率为 的电介质，的电介质，那么第二个电容器的电压为原来的多少倍？那么第二个电容器的电压为原来的多少倍？解解：假设两个电容器原来的电容为：假设两个电容器原来的电容为C0,加入电介质后，电容为加入电介质后，电容为C00011187rCCCC第二个电容器的电压为：第二个电容器的电压为：078QVUC 加入电介质后电容器上的带电量：加入电介质后电容器上的带电量：7rU078QCUCU充入电介质之前的电压为：充入电介质之前的电压为：2UV 一个电量为一个电量为Q，电压为，电压为U的电容器储存的电能为：的电容器储存的电能为：2211222eQWQUCUC94 静电场的能量静电场的能量在电容器充电过程中，电荷量由在电容器充电过程中，电荷量由0变化到变化到Q，外力做功为：，外力做功为：20002QQQqQAdAUdqdqCC平板电容器的电能：平板电容器的电能：22221111()2222eSWCUEdE