新人教版秋季八年级数学培优讲义

1、dcbafedcbahgedcbaedcbaahfedcb图 1 图 2 图 3 图 1 图 2 图 3 第一讲三角形专题（一）【基本图形1】如图，求证： a +d =c + b【探究 1】 （1）如图 1，已知 b = 60 ，则 a +b +c +d +e = _（2）如图 2，则 a +b +c +d +e +f = _（3）如图 3，则 a +b +c +d +e = _【基本图形2】如图，求证： a+d+b =bcd【探究 2】 （1）如图 1，则 a +b +c +d +e +f = _（2）如图 2，则 a +b +c +d +e +f = _（3）如图 3，则 a +b +c

2、+d +e = _dcba图 1 图 2 图 3 【例题讲解】【例 1】已知 abc 中， cab cba，cd 平分 acb，e 为直线 ab 上一点，过 e 作 ed 垂直于 cd，垂足为 d（1）当 e 与 a 重合时，如图1，求证： bed =12(cab - cba )；（2）当 e 在 ab 延长线上时，如图2， （1）中的结论是否仍成立，请你给出证明【例 2】已知 abc 中， abc = ndbc，acb = nbce，bd 与 ce 交于点 m（1）如图 1，当 n = 2 时，求证：1902bmca；（2）如图 2，当 n = 3 时，过 m 作 mnbc 于 n，试探究：

3、 nmc -mbn 与 a 的数量关系；（3）如图 3，在（ 2）的条件下，若bec = 130 ， bcc = 110 ， bdc = _ （直接写出答案）图 1 图 2 【例 3】如图 1，abc 中 ad、ae 分别为高、角平分线，f 在 bc 的延长线上，过f 作 fgae 于 g 且交 ab 于 h（1）求证： dae =f；（2）求证： 2dae =acb - b；（3）abc 中，若 acb 为钝角，其它条件不变，如图2，请画出图形并直接写出dae、acb、b 之间的数量关系【例 4】如图 1，一个直角 abc 的木框和一个端点为o 且可任意调整角度的角尺，其中acb = 90

4、，a = （1）如图 2，调整角尺，使角尺的一边od 垂直于 ab，另一边 oe 经过直角顶点c，与 ab 交于 e 点，若 doe = 45 ，= 30 ，求 bce 的度数；（2）如图 3，使角尺的一边od边 ab，另一边 oe 搭在直角边ac 上，调整此时的角度，使doe =a，延长 bc 交oe 于 f，作 fg 平分 cfe 交 ac 于 g，请判断此时fg 与 ab 的位置关系，并证明你的结论；（3）如图 4，使角尺的两边分别与abc 的两边垂直，即odac 于 d，oeab 交 ba 的延长线于e， doe 与 acb的平分线交于点p，是否存在一个 ，使 p = ？若存在，请求出

5、的值，若不存在，请说明理由dahfbcegcba图 1ocba图 2abcoed图 3abcodefabco图 4dep【家庭作业】1已知 d、e 分别为 abc 的边 ab、ac 上的点， debc，dn、cn 分别为 ade 和 acf 的平分线，bm、em 分别为 gbc 和 dec 的平分线（1）判断 bm 与 dn 的位置关系并证明；（2）求证： m +n = 90 2平面内，四条线段ab、bc、cd、da 首尾顺次相接，abc =24 ， adc = 42 （1） bad 和 bcd 的角平分线交于点m（如图 1） ，求 amc 的大小；（2）点 e 在 ba 的延长线上， dae

6、 的平分线和 bcd 的平分线交于点n（如图 2） ，则 anc = _mdcba图1ndcba图2enmcagdbef图 1 图 2 3如图， abc 中， ac bc,cd 是高， abc 的角平分线ae 交 cd 于 f（1）请比较 cef 与 cfe 的大小 ,并证明你的结论；（2）若“ abc 的角平分线ae 改为 abc 的外角平分线ae ”，其它条件不变， cef 与 cfe 的大小关系如何？请画出图形并予以判断（不要求证明过程）fedcbadcba图 1 xynamdocb图 2 xynemdofqrpoxy图 2 mqrpoxy图 3 m第二讲三角形专题（二）【例题讲解】【例

7、 1】已知在平面直角坐标系中，m、n 分别为x轴、y轴上的两个动点，m 在原点的左侧，n 在原点的上方（1）如图 1，射线 mo、no 平分 bmc、 dnc， bmc 与 dnc 的各边分别交于a、b、c、d，试判断 bad、 c之间有何确定的数量关系？证明你的结论；（2）如图 2，nd 平分 mno，nd 交x轴于 e，11,3feoneffmonmfn，且 mfe = 1125 ，求 n的值【例 2】已知 p 为第四象限一动点，q 为 x 轴负半轴上一动点，r 在 pq 下方且为 y 轴负半轴上一动点（1）如图 1，若 p（2， 1） ，q（ 3，0） ，r（0， 5） ，求 spqr；

8、（2）如图 2，若 rm、qm 分别平分 pro， pqo，p、q、r 在运动过程中，p、m 是否存在确定的数量关系，若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；（3）若将 r 点改为 y 轴正半轴上一动点，且在 p、q 及（2）中的条件不变的前提下，如图 3，p、m 又有何数量关系？（写出结论，不证明）qrpoxy图 1 图 1 图 2 【例 3】已知平面直角坐标系中，直线mn 交 x 轴于点 a（a，0） ，交 y 轴于点 b（0b） （1）若2(231)10abab，求 a、b 两点的坐标；（2）如图 1，过 g 点作 ge ae，gh 平分 oge，求证： 1=2；（3）如图 2，b

9、cx 轴，且 bac =bca，d 为 ca 延长线上一点， 且 doy =12aby，当 a 点在 x 轴正半轴上运动时，d 的度数是否发生变化？若不变求其值；若变化，说明理由【例 4】已知 a（0，m） ，点 c 在 x 轴负半轴上，且有(- 2m -5n + 3)2 +n- 3= 0(1)若227abcs，求点 c 的坐标：（2）如图 1，将 c 点向上平移，使co 平分 acb，点 p 是 y 轴 b 点上方的一动点，pqoc 于点 q，当 abc =bac + 54 时，求 apq 的度数（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段ac 平移，使其经过p 点得线段 ef，作 ape 的角

10、平分线交oc 的延长线与点m，当 p 在 y 轴上运动时，m -21bac 的值是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围【例 5】如图，已知：在平面直角坐标系中，a)0 ,(a，b)0 ,(b，a0，b0图 1 图 2 图 3 （1）如图 1，若点c在y轴上，且有0)2(42ba，abc的面积为 18，求点c的坐标；（2） 如图2，若c点在第一象限运动，交y轴g点，cb的延长线交y轴于d点，e点为b点关于y轴的对称点，de的延长线交ac于f点当dfc=c+70 时，求bag的度数；如图 3，将线段dc平移，使其经过a点得线段nk，过a的直线am交y轴于m，交cd延长线于h点，当满足

11、cah=cha时，求dfcamo的值【家庭作业】1在平面直角坐标系中，a（0，1） ，b（4，1） ，c 为 x 轴正半轴上一点且ac 平分 oabxyoabmyxbchdkafgneoyabcfgeoxyacboxypaceoxyecapo图 1 图 2 图 3 图 1 图 2 图 3 （1）求证： oac=oca；（2）若分别作 aoc 的三等分线及oca 的外角的三等分线交于p，即满足 poc=31aoc，pce=31ace，求 p 的大小；（3）在（ 2）中，若射线op、cp 满足 poc =n1aoc，pce =n1ace，猜想 opc 的大小，并证明你的结论（用含n 的式子表示）2

12、如图，在平面直角坐标系中，aob 是直角三角形，aob=90 ，斜边 ab 与 y 轴交于点 c（1）若 a=aoc，求证： b=boc；（2）延长 ab 交 x 轴于点 e，过 o 作 odab，且 dob=eob， oae=oea，求 a 的度数；（3）如图， of 平分 aom， bco 的平分线交fo 的延长线于点p当 abo 绕 o 点旋转时（斜边ab 与 y 轴正半轴始终相交于点c） ，在（ 2）的条件下，试问p 的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由第三讲等腰直角三角形专题xyoedcbaxyocbapmfxyocbaedcbaedcba图 1 图 2 【例题

13、讲解】【例 1】如图， abc 中， a = 90 ，ab = ac，过 a 在 abc 外任作直线l，bel于 e，cf l于 f（1）求证： ef = be + cf；（2）若l为经过 abc 内部的一条直线，其它条件不变，中的结论是否成立？【例 2】已知：如图， de 为过等腰rtabc 锐角顶点 a 的任意直线， cdde 于 d，be de 于 e（1）若点 d 在 abc 内部（如图1） ，求证： cd + be = ad；（2）若点d在abc外部（如图2） ，其它条件不变， （1）的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由【练】 如图， abc 中， acb = 9

14、0 ，ac = bc，若直线 l 过顶点 a，bml 于 m，cnl 于 n求证： bm + cn = an错误！未找到引用源。【例 3】如图 1，在平面角直角坐标系中，a（ 2，0） ，b（0，3） ，c（3，0） ，d（0，2） （1）求证： ab = cd 且 abcd；图 1 图 2 图 3 （2）如图 2，以 a 为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形abe，过点 e 作 efx轴于点 f，求点 f 的坐标；（3）如图 3，若点 p 为y轴正半轴上一动点，以ap 为直角边作等腰直角三角形apq，apq = 90o ，qrx轴于点 r，当点 p 运动时， opqr 的值是否发生变化？若

15、不变，求出其值；若变化，请说明理由【练】1如图 1，oa = 2，ob = 4，以 a 点为顶点， ab 为腰在第三象限内作等腰rtabc，（1）求 c 点坐标（2）如图 2，p 为 y 轴负半轴上的一个动点，当p 点沿 y 轴负半轴向下运动时，以p 为顶点， pa 为腰作 rtapd，过 d作 dex 轴于 e 点，求 opae 的值（3）如图 3， 点 f 坐标为（ 2，2） ，点 g（0，m） （m0）为 y 轴上一动点， h（n， 0） （n0）为 x 轴上一点， hfg=90 ，当 g 点在 y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：mn 为定值； mn 为定值，其中只有一个结论

16、是正确的，请找出正确的结论，并求出其值2 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点a与 点b的 坐 标 分 别 是), 0(),0,(bbaa， 且ba,满 足yxodcbayxofedcbarqpoaxyfyxodcbae2232(322)0abab点 e 的坐标是(0, )(2)tt，以 ae 为边作如图所示正方形aedcdb 交x轴于点 f（1）求点 a、点 b 的坐标；（2）试用含t的式子表示点d 和点 c 的坐标；（3）当t(2)t变化时，线段of 的长度是否发生变化？为什么？【例 4】如图 abc 中，90c，beab且beab，且bdbc，cb的延长线交de于f，求

17、证：f点是de的中点【练】1如图，已知等腰直角 abe 和已知等腰直角acd，90baecad，amde于m，交bc于n，求证：an为abc的中线2如图， a（ 2，0） ，b（0，3） ，c（3，3） ，abd 是等腰直角三角形，abd = 90o，cd 交y轴于点 e，过点 f 作 cd的垂线，交cd 于点 f，交 oa 于点 gdebanmcfedcba（1）求点 e 的坐标；（2）求证： ag = og【家庭作业】1如图，在平面角直角坐标系中，点a 的坐标是（,0a） 、d 的坐标是（0,b） ，且,a b满足22(4)0ab（1）求点 a 和点 d 的坐标；（2）以 ad 为直角边作

18、等腰直角三角形amd，求点 m 的坐标；2如图，已知点a（2，0）和点 b（0，4） ，以 b 为直角顶点在第一象限作等腰rtabc（1）在 y 轴上存在一点m，使得 ma + mc 最小，请画出点m； （保留画图痕迹）（2）求点 c 的坐标；（3）若 p 点为 y 轴正半轴上一个动点，分别以ap、op 为直角腰在第一象限、第二象限作等腰rtape 和等腰 rtopd ，连接 ed 交 y 轴于 n 点，当点p在 y 轴正半轴上移动时，求pn 的长度3已知： c 点的坐标为（ 4，4） ，a 为 y 轴负半轴上一动点，连ca，cbca 交 x轴于 b（1） 求证： ca = cb；yxgfeo

19、dcbaoadyxdnyxocpayxocba（2）问 oboa 是否为定值，是定值并求其定值4已知 a（ 4，0） ，b（0，4） ，c（0，4） ，过 o 作 omon 分别交 ab、ac 于 m、n 两点（1）求证： om = on；（2）连 mn，mn 交 x 轴于 q，若 m 点的纵坐标为3，求 m 与 n 的坐标第四讲角平分线专题一、角平分线的常用辅助线abcoabcoxymnq21decab【例 1】 如图，已知abc的周长是21，ob，oc分别平分abc和acb，odbc于d， 且3od， 求abc的面积【练】 如图，在 abc 中， c = 90 ，ad 平分bac，若 ab

20、 = 20，bc = 16，bd：cd = 5：3，求abd的面积【例 2】 如图， 在abc中，60b，ad、ce分别平分bac、bca， 且ad与ce的交点为f 求证：【练】 在abc中，abac，ad是bac的平分线p是ad上任意一点求证：abacpbpc【例 3】如图所示，在abc 中， abc = 3c，ad 是 bac 的平分线， bead 于 f求证：1()2beacab【练】 已知：如图， ab = ac， bac = 90 ， 1 = 2，cebe，求证： bd = 2cefbedcacdbpaedcabqpcbadcba二、角平分线基本图形的应用【例 4】已知：如图，在ab

21、c 中， c = 2b， 1 =2，求证： ab = ac + cd【练】1在 abc 中， a = 90 ，ab = ac，bp 是角平分线，过p 作 bpc 的平分线 pq 交 bc 于 q，试探究 pc、cq、pb 之间存在何种数量关系，并证明你的结论2 abc 中， bac = 60 ， c = 40 ，ap 平分 bac 交 bc 于 p，bq 平分 abc 交 ac 于 q求证： ab + bp = bq + aq3如图，在 abc 中 a = 100 ，ab = ac， abc 的平分线交ac 于 d，求证： ad + bd = bc三、角平分线综合【例 5】如图， abc 中，

22、 bac、 abc 的角平分线相交于点p，连接 cp，求证： cp 一定平分 acb【练】 在 abc 中， abc=100 ， acb=20 ，ce 平分 acb 交 ab 于 e，d 在 ac 上且 cbd = 20 ，求 ced 的度数【例 6】如图，在平面直角坐标系中，点b 的坐标是（ - 1，0） ，点 c 的坐标是（ 1，0） ，点 d 为 y 轴上一点，点a 为第二象限内一点，且bac = 2bdo，过 d 作 dmac 于 m（1）求证： abd =acd；（2）若点 e 在 ba 延长线上，求证：ad 平分 cae；（3）当点 a 运动时，acabam错误！未找到引用源。的值

23、是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由【练】 如图，点 m(2，2)，将一个 90 的角尺的直角顶点放在点m 处，角尺的两边分别交x 轴， y轴正半轴于a，b，ap 平分 oab 交 om 于 p，pnx 轴于 n，把角尺绕点m 旋转时：pacbedcab（1）求证： om 平分 aob；（2）求 oa+ob 的值；（3）on+12ab 的值是否发生变化？试证明你的结论【家庭作业】1 （1）如图，在四边形abcd中，ad = dc，bd平分abc，求证：a +c = 180 （2）如图，在四边形abcd 中， a +c = 180 ，bd 平分 abc，求证： ad = dc（3）如

24、图，在四边形abcd中，debc于e，bd平分abc，若a +c = 180，求证：be =12（ab + bc） （4）如图，在四边形abcd 中， debc 于 e，若 a +c = 180 ，be=12（ab + bc）求证： bd 平分 abc2已知：如图，等腰三角形abc 中， ab = ac， a = 108 ，bd 平分 abc 求证： bc = ab + dcd c b a 3如图， abc 中， acb = 90 ，ac = bc，若直线 l 过顶点 a，bml 于 m，cnl 于 n（1）求证： bm + cn = an；（2）若 l 平分 bac，求cndnbm错误！未找

25、到引用源。的值第五讲等腰和等边三角形专题fedcbafedcba类型一：作平行线构造等腰三角形【基本图形】 若 ab = ac，deac，求证： bde 为等腰三角形【例 1】如图，在 abc 中， ab = ac，点 d 在 ab 上，点 f 在 ac 的延长线上， df 交 bc 于点 e，且 de = ef，求证： bd = cf 【例 2】已知：如图，等边abc 中， d 是线段 ab 上的任意一点， e 是 ab 延长线上一点， cf 平分 ace，adf = 60 （1）求证： ad = df ；（2） 若将上述条件中的“ d 是线段 ab 上的任意一点 ” 改为 “ d 是 ab

26、 延长线上的任意一点” ， 其余条件不变， 则结论 “ ad = df ”还成立吗 ?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由【例 3】已知正方形abcd 中， m 是线段 ab 上的任意一点，e 是 ab 延长线上一点，mndm 且交 cbz 的平分线于n（1）证明： md = mn；adcbeadcbe（2） 若将上述条件中的“ m 是线段 ab 上的任意一点 ” 改为 “ m 是 ab 延长线上的任意一点” ， 其余条件不变，则结论 “ md = mn”还成立吗 ?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由【例 4】已知 abc 是等边三角形，点p 是 ac 上一点， pebc 于点 e，

27、交 ab 于点 f，在 cb 的延长线上截取bd = pa，pd 交 ab 于点 i，panpc. （1）如图 1，若1n，则ebbd= _，fied= _；（2）如图 2，若 epd = 60o ，试求n和fied的值；（3）如图 3，若点 p 在 ac 边的延长线上，且3n，其他条件不变，则ebbd= _【练】 已知等边三角形abc，点 p 在射线 ba 上，(1)ban nap（1）当 n = 2 时，过点 p 作 pfbc 于 f 点，交 ac 于点 e 点，求证： ae = ec；ipfedcba图 2 ipfedcba图 1 ipfedcba图 3 pcafbepcadbcadb（

28、2）点 d 在 bc 的延长线上， bc = cd，pc = pd，求 n 的值；（3）若点 p 在射线 ba 上， d 在直线 bc 上， pc = pd，那么accd_（用 n 的式子来表示）类型二、共顶点的等腰三角形【例 5】已知 abc 和ade 均为等边三角形，点a，e 都在 bc 的同侧（1）当点 d 在 bc 上，写出线段ac、cd、ce 之间的数量关系；（2）若点 d 在 bc 的延长线上，其他条件不变，写出线段ac、cd、ce 之间的数量关系adcbeadcbe【变式】 已知 abc 为等边三角形，d 为 bc 任意一点， cd + ce = ac，边 de 与 acb 的外

29、角平分线交于点e，求证：ade 为等边三角形【练】 如图， abc 中， ab = ac，d 为abc 外一点， abd = 60（1）若1902adbbdc，求证：abbdcd；adcbe图 1 图 2 图 3 （2）若60acd，求证：abbdcd【例 6】如图所示， abc 是等边三角形，d 为abc 外的一点，且 bda = adc = 60 ，求证： bd + cd = ad（两种方法）【练】 已知：如图， abc 是等边三角形，bdc=120 ，求证： ad=bd+cd【家庭作业】1已知等腰 abc 和等腰 ade 的顶点公共， b、a、e 在同一条直线上，bac = dae，pb

30、 = pd，pc = pe.（1）如图 1，若 bac = 90 ，则 bpc +dpe= _；（2）如图 2，若 bac = ，则 bpc +dpe = _；（3）在图 1 的基础上将等腰rtabc 绕点 a 旋转一个角度， 得到图 3，则 bpc+dpe= _；并证明你的结论2已知： ab = bc，bd = be， abc =dbe = ，m、n 分别是 ad、ce 的中点（1）如图 1，若 =60 ， bmn= _；请证明 . （2）如图 2，若 =90 ， bmn= _；adcbdcbaabcdeppedcbapedbca图 1 图 2 图 3 （3）将图 2 中的 bde 绕 b

31、点逆时针旋转一锐角，在图3 中完成作图，则bmn = _第六讲共顶点半角专题【基本题】正方形 abcd 中， e 为 bc 上的一点， f 为 cd 上的一点， be + df = ef，求 eaf 的度数nmedcbanmedcbabcdeafdabcdnma【变式 1】正方形 abcd 中，e 为 bc 上的一点， f 为 cd 上的一点， af 平分 dfe，求 eaf 的度数【练】 正方形 abcd 中， e 为 bc 上的一点， f 为 cd 上的一点， eaf = 45 ，求证： be + df = ef【变式 2】如图， abc 是边长为 3 的等边三角形，bdc 是等腰三角形，

32、且bdc = 120 ，以 d 为顶点作一个60 角，使其两边分别交ab 于点 m，交 ac 于点 n，连接 mn，则 amn 的周长为_【归纳总结】图形 1 图形 2 图形 3 条件正方形 abcdeaf =45be+df=efaf 平分 dfefedcbafedcbaay图 1 图 2 图 3 结论be+df =efeaf =45 ae 平分 befaf 平分 dfeae 平分 befaf 平分 dfeae 平分 befeaf =45be+df=ef辅助线做法图形hfedcba图形特征1：2：【例题讲解】【例 1】如图 1，acb为等腰直角三角形，abc = 90 ，点 p 在线段 bc

33、上（不与 b，c 重合） ，以 ap 为腰长作等腰直角paq，qeab 于 e（1）求证：pabaqe；（2）如图 2，连接 cq 交 ab 于 m，若 pc = 2pb，求mbpc的值；（3）如图 3，过 q 作 qfaq 交 ab 延长线于 f，过 p 作 dpap 交 ac 于 d，连接 df，问：当点p在线段 bc 上运动时（不与 b，c 重合），dfdpqf的值会变化吗？若不变，求出该值，并证明；若变化，请说明理由【例 2】 如图， 在平面直角坐标系中， 点 a 的坐标为（0， a） ， 点 b 的坐标为（b， 0） ， 且 a、 b 满足4220abab（1）求证： oab =ob

34、a；（2）点 c 为 ob 的延长线上一点，连结ac，过 b 作 bdac，连结 od求证： od 平分 adb；（3）点 e 是点 a 关于 x 轴的对称点，点f 是点 b 关于 y 轴的对称点， p 为 af 的延长线上一动点，g 为 ba 的延长线上一hfedcbahfedcbaxdcobaygpyxofeba图 1 图 2 图 3 图 1 图 2 图 3 点，连接 pg，且满足 bg = pg + pf，当 p 在 af 的延长线上运动的过程中，peg 的度数是否会发生变化，若不变，请求出它的度数；若改变，请说明理由【例 3】如图 1，在平面直角坐标系中， 点 a 的坐标为（a，0）

35、，点 b 的坐标为 （0， b） ，且 a、 b 满足2144012abaa（1）求证： oab = oba；（2）如图 2，oab 沿直线 ab 翻折得到 abm，将 oa 绕点 a 旋转到 af 处，连接 of，作 an 平分 maf 交 of 与点 n，连接 bn，求 anb 的度数；（3）如图 3，若 d（0，4） ，ebob 于 b，且满足 ead = 45 ，试求线段eb 的长度【家庭作业】1已知，如图四边形abcd 中， ab cd ， b = 90 ， bad = 60 ，pa 平分 bad，pd 平分 adc（1）求证： pb = pc；（2）点 m、n 为线段 ab、ad

36、上两点，当 mpn = 60 ，pd = 2 时，求 amn 的周长nda图 1 图 2 2 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， abo是 等 腰 直 角 三 角 形 ， oab = 90o， 点a 的 坐 标 是 （,n n） ， 其 中2244122mmnm（1）求点 a 的坐标；（2） 如图 1，分别以 ab 和 ob 为边作等边三角形abc 和 obd，则线段 bc 和 dc 有怎样的数量关系和位置关系？为什么？（3）如图 2，过点 a 作 amy轴于点 m，点 e 为x轴负半轴上一点，k 在 me 的延长线上，以mk 为直角边作等腰直角三角形mkj， mkj = 90

37、o，过点 a 作x轴的垂线交mj 于点 n，连接en给出两个结论：anenoe的值不变；anenoe的值不变，其中有且只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值第七讲中线倍长【例题讲解】【例 1】1如图，已知在abc 中， ad 为中线，求证： ab + ac2adekjnmyxoayxcdobadcba2如图，在 abc 中， d 为 bc 的中点， dedf 交 ab、ac 于 e、f，求证： be + cfef【例 2】如图，在 abc 中， ad 是 bac 的平分线， m 是 bc 的中点，过 m 作 mead 交 ba 延长线于 e，交 ac 于 f，求证： be

38、 = cf =12（ab + ac） 【例 3】如图，两个正方形abde和acgf，点p为bc的中点，连接pa交ef于点q探究ap与ef的关系【例 4】已知：如图1，正方形abcd和正方形ebgf，点m是线段df的中点（1）试说明线段me与mc的关系；（2）如图 2，若将上题中正方形ebgf绕点b顺时针旋转度数（90） ，其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由fedcbamfedcba图 1 图 2 图 1 图 2 【例 5】 （1）如图 1，操作：把正方形cgef的对角线ce放在正方形abcd的边bc的延长线上 （bccg）取线段ae的中点p探究：线段pd、p

39、f的关系，并加以证明（2）如图 2，将正方形cgef绕点c旋转任意角度后，其他条件不变探究：线段pd、pf的关系，并加以证明【例 6】如图，在等腰 abc 中， ab = ac，abc = ，在四边形 bdec 中，db = de，bde = 2 ，m 为 ce 的中点，连接 am、dm （1）求证： amdm ；（2）当 = _，am = dmmedcba【家庭作业】1如图， ad 是abc 的中线， adb 与 adc 的平分线分别交ab、ac 于点 e、f，求证： be + cfef2如图，已知在abc 中， ad 是 bc 边上的中线， e 是 ad 上一点，且af=ef，延长 be

40、交 ac 于 f，求证： be=ac3两个全等的含30 、60 角的三角板ade 和三角板 abc，如图所示， e、a、c 三点在一条直线上，连结bd，取 bd 的中点 m，连结 me、mc ，试判断 emc 的形状，并说明理由fedcbafedcbamfdcba4如图，在 abc 中， ad 是 bac 的平分线， m 是 bc 的中点，过m 作 mfad，ab=7，ac=11，求 fc 的长为5如图，等腰直角abc与等腰直角bde，p为ce中点，连接pa、pd探究pa、pd的关系第八讲期中复习类型一：选填题（多结论的问题）1如图 ，过边长为1 的等边 abc 的边 ab 上一点 p，作 p

41、eac于 e，q 为 bc 延长线上一点，当pa = cq 时，连 pq 交 ac 边于 d，则 de 的长为（）f g e a c b d 第 4 题图第 3 题图第 2 题图第 1 题图第 5 题图a13b12c23d不能确定2如图，在abc中， abac，a36 ，ab 的垂直平分线 de 交 ac 于 d，交 ab 于 e，下列结论：bd 平分 abc；adbdbc； bdc 的周长等于abbc； d 是 ac 中点其中正确结论的个数有（）a1 个b2 个c3 个d4 个3如图， abc 中，高 ad = bc，以 ab 为斜边向内作等腰rtabe，efad 交 ac 于 f，则下列结

42、论：ade bce； cede；bd=2ef； abc 一定是等腰三角形其中正确的有（）abcd4如图，在rtabc 中， acb = 90 ，cdab，作 abc 的平分线交 ac、cd 于点 e、f，过点 f 作 fgab 交 ac 于点 g，则下列结论 ce = cf； ag = cf； eg = cf； cd = gf 其中一定正确的是（）ab cd 5如图，在等腰rtabc 中， acb = 90 ，ac = bc，ad 平分 bac，交 bc 于点 d，cead 交 ab 于 e 点，垂足为f 点下列结论： bd = be； cf = ef； ab - bc = cd； ad =

43、2df + ce其中正确结论的序号是（）abcd6已知：如图，等腰abc，ab = ac， bac = 120 ，adbc 于点 d，点 p 是 ba 延长线上一点，点o 是线段 ad 上一点， op = oc，下面的结论：apo+dco = 30 ； opc 是等边三角形； ac = ao + ap； sabc = s四边形 aocp其中正确的有（）第 6 题图abcd类型二：几何综合1如图 1，bd 是等腰abcrt的角平分线，90=bac（1）求证： bc = ab + ad；（2）如图 2，bdaf于 f，bdce交延长线于e，求证： bd = 2ce；（3）试探究线段ec、af、fd

44、 之间的数量关系，并证明你的结论2已知cd是经过bca顶点c的一条直线，cacbef，分别是直线cd上两点，且beccfa（1） 若直线cd经过bca的内部，且ef，在射线cd上， 请解决下列问题： 如图 1， 若90bca，90，则be_cf；ef_beaf（填 “ ” ，“ ” 或“ ” ） ；并证明你的结论；（2）如图 2，若0180bca，请添加一个关于与bca关系的条件_，使（ 1）中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立；（ 3）如图3，若直线cd经过bca的外部，bca，请写出efbeaf，三条线段之间的数量关系_（不必证明结论） 3如图，已知等边abc 中， d 为 ac 上一

45、动点 cd = nad，连接 bd，m 为线段 bd 上一点， amd = 60 ，am 交 bc于 e（1）若 n = 1，如图 1，则bece= _，bmdm_；（2）若 n = 2，如图 2，求证： 2ab = 3be；a b c d 图 1 a b c d f e 图 2 a b c e f d d a b c e f a d f c e b 图 1 图 2 图 3 a c b d o x y 图 1 a c b d o x y 图 2 e （3）当79beab时，则n 的值为_4如图 1，在平面直角坐标系中，a（0，a） ，c（- a，a） ，a b d是等边三角形，直线cb 交 x

46、 轴于点 d（1）求bdo的度数；（2）求证： cb=bd；（3）如图 2，作 becd 交 oa 于 e，试探究线段do、ae、bo 之间的数量关系，并给出证明5已知：如图1，平面直角坐标系中，点a（- 3，0） ，点 b（0，3） ，点 c 为 x轴正半轴上一动点，过点a 作 adbc 交 y轴于点 e（1）若点 c 的坐标为（ 2，0） ，试求点 e 的坐标（2）若点 c 在 x 轴正半轴上运动，且oc3，其他条件不变，连od，求证： bdo 的度数不变（3）如图 2，若在点 a 处有一等腰直角三角形amn 绕点 a 旋转，且 am = mn，amn = 90 ，连 bn，点 p 为 b

47、n 的中点，b y 图 1 图 2 试猜想 op 与 mp 的数量和位置关系并证明你的结论第九讲整式乘法【例题讲解】【例 1】计算a b c d e o x y （1）3222ababa（2）23332221zxyxy（3）nmmnnm322312（4）232471235yxyxxy【例 2】计算222xyyx；bacacbcba。【练】 计算：3222xyyx22226 .02343babababbaaab32432125217423452323abbaababa【例 3】计算：（1）babababa22（2）5321252xxxxx【练】 解方程：425157xxxx【练】 解不等式(34

48、)(34)9(2)(3)xxxx【例 4】魏明家新购一套结构如图的住房，正准备装修。（1）试用代数式表示这套住房的总面积。（2）若mymx3,5.2，装修客厅和卧室（3）至少需要准备多少面积的木地板？【例 5】已知n为正整数，且73nx，求nnxx323243的值。【练】 已知12ab，求babbaab352的值。【练】 已知,65ba求baba3052的值。【例 6】已知qxxpxx3822展开后不含2x与3x项，求qp,。【练】 已知2282yxyxnyxmyx，求22mnnm的值。【例 7】已知012xx，求3223xx的值。【练】 如果0132xxx，求8765432xxxxxxxx的

49、值。【例 8】 （1）计算下列各式：（a-1） （a+1） ；（a-1） （a2+a+1） ；（a-1） （a3+a2+a+1） ；（a-1） （a4+a3+a2+a+1） （2）根据（ 1）中的计算，请你发现的规律直接写出下题的结果（a-1） （a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1）= ；若（a-1）?m=a15-1，则 m= ；（a-b） （a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5）= ；（2x-1） （16x4+8x3+4x2+2x+1）= ；【家庭作业】一、 选择题1、下列计算正确的是（）a.632623aaa b.2221243xxx c.1553842aaa

50、 d.5321553aaa2、32345. 2mm的计算结果是（）a.9100m b.9100m c.9400m d.9400m3、计算13242aaa的结果是（）a.aaa412823b.112823aac.aaa412823d.aaa4128234、一个三角形的底为m2，高为nm2，它的面积是（）a.mnm422b.mnm22c.mnm42d.mnm2225、计算2323xxxx得（）a.1222x b.1222x c.1222xx d.1222xx6、当0a时，2210nnaa成立，则n为（）a. 奇数b.偶数c.自然数d.以上都不对二、填空题1. 计算： (1)3323abba； （2

51、）yxxyyx223397；（3）x3（）xyxx251223； （4）43 xx= 。2. 若381,39,mn则mn；3. 若354mmaaa，则m；4. 若66xy，则2636xxyy；5. 若2153xkxxxb，则k。三、解答题1. 计算：（1）332337235aaaaa（2）3242126a bab（3）233315253a bbcac（4）2a ababb（5）2222ababaabb（6）234232xxxx2. 化简求值：3245115xyxyxyxyxy，其中113,222xy。3. 解方程：32914xxxx4. 已知2830,xx求1357xxxx的值。第十讲乘法公式

52、【例题讲解】【例 1】会说话的图形我们已经知道利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，如图一，我们可以得到两数差的完全平方公式：（a-b）2=a2-2ab+b2（1）请你在图二中标上相应的字母，使其能得到两数和的完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，（2）图三是边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，剩下部分拼成图四的形状，利用这两幅图形中面积的等量关系，能验证公式；（3）除了拼成图四的图形外还能拼成其他的图形能验证公式成立，请试画出一个这样的图形，并标上相应的字母【练】 大家已经知道，完全平方公式和平方差公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可

53、以用这种形式表示，例如：2x（x+y）=2x2+2xy 就可以用图的面积表示（1）请写出图（ 2）所表示的代数恒等式：；（2）请写出图（ 3）所表示的代数恒等式：；（3）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y） （x+3y）=x2+4xy+3y2【例 2】运用平方差公式计算：（1）33abab（2）22xyxy（3）1122abab（4）59.8 60.2（5）23324334xyyxyxxy24816322121212121211【例 3】运用完全平方公式计算：（1）25xy（2）2xy（3）2201（4）299.8（5）2339xxx（6）223434abab【例 4】若24xkx是完全平方式，则_k。若218xxym是完全平方式，则_m。若2214xxm是完全平方式，则_m。若296xxym是完全平方式，则_m。【例 5】已知5ab，3ab，求下列