圆板块五圆的规划问题学生版

1、板块五 .圆的规划问题典例分析【例 1】 如果实数 x 、 y 满足22，则 y 的最大值为（）(x 2)y 3xA 13C3D3B223【考点】圆的规划问题【难度】 3 星【题型】选择【关键字】无【解读】等式 (x2) 2y23有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，圆心为(2 ，0) ，半径 r3，（如图），而yx0 则表示圆上的点 ( x ，y) 与坐标原xx0点 (0 ，0) 的连线的斜率如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以 (2 ，0) 为圆心，以3 为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值，由图可见，当A 在第一象限，且与圆相切时，OA 的斜率最大，经简单计算，得

2、最大值为 tan 603yAOMx【答案】 D；【例2】 若集合 Mx3cos，集合 N( x， y) | yx 且b( x ，y)(0)y3sinM N ，则 b 的取值范围为 _【考点】圆的规划问题【难度】 3 星【题型】填空【关键字】无【解读】 M( x ，y) | x2y 29 ，0 y 1 ，显然， M 表示以 (0 ，0) 为圆心，以3 为半径的圆在 x 轴上方的部分，（如图），而N 则表示一条直线，其斜率k 1 ，0/19纵截距为 b ，由图形易知，欲使MN ，即是使直线yxb 与半圆有公共点，显然 b 的最小逼近值为3 ，最大值为 3 2 ，即3b 3 2y32Ox【答案】3b

3、 32【例 3】 试求圆x2cos , （为参数）上的点到点A(3 , 4) 距离的最大（小）值y2sin【考点】圆的规划问题【难度】 3 星【题型】解答【关键字】无【解读】 分析 利用两点间距离公式求解或数形结合求解y AP1OxP2解法一设 P是圆x2cos , 上任一点，则 P(2cos , 2sin ) 所以y2sinPA(32cos)2(42sin)225412cos16sin2920sin()(arctan3) 4因为R ，所以R ，因此当 sin()1 时， PA 最大值29207当 sin()1 时， PA 最小值29203解法二 将圆x2cos, 代入普通方程得x2y24y2

4、sin如图所示可得，P1 A 、 P2 A 分别是圆上的点到A(3 , 4) 的距离的最小值和最大值易知： P1 A3， P2A7 xarco s,说明 在圆的参数方程brsi n（ 为 参 数 ） 中 ， A( a , b ) 为 圆 心 ，yr (r 0)为半径，参数的几何意义是：圆的半径从x 轴正向绕圆心按逆时针方向旋转到P 所得圆心角的大1/19小若原点为圆心，常常用(r cos, r sin) 来表示半径为r 的圆上的任一点 圆的参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具【答案】最大值为7 ，最小值为4 【例 4】 已知 A(2,0) ， B(2, 0) ，点P 在圆 ( x3)2(

5、 y4) 24 上运动，则22PAPB的最小值是【考点】圆的规划问题【难度】 3 星【题型】填空【关键字】无【解读】设 P( x, y) ，则 PA2222( x22PB( x2)y2)y228 2OP2C (3,4) ，则 OP minOC r5 23，2( xy )8 设圆心为 PA2PB2 的最小值为2328 26【答案】 26 【例 5】 已知圆 C : ( x2)2y21， P( x , y) 为圆上任一点，求y2 的最大、最小值，x1求 x2 y 的最大、最小值【考点】圆的规划问题【难度】 3 星【题型】解答【关键字】无【解读】 方法一 由 ( x221知，可设 P 的坐标为 (2

6、 cos , sin ) ，是参数2)y则 y2sin2 ，令 sin2t ，x1cos3cos3得 sint cos23t， 1t 2 sin()23t23tsin() 133 t332441t所以 t max3333， tmin44即 y2的最大值为 33 ，最小值为 343 x14此时 x2 y2 cos2sin25 cos() 所以 x2 y 的最大值为25 ，最小值为25 方法二 y2 表示点 P(x , y) 与点 (1, 2)连线的斜率，其中P 点为圆上的动点，x12/19yx -2y=m(1,2)Ox结合图象知，要求斜率的最值，只须求出过(1, 2) 点的圆的切线的斜率即可，设

7、过 (1,2)点的直线方程为：kxy k 20由 d2kk 233 ，11 ，得 kk24所以 y2 的最大值为 33，最小值为 343 x14令 x 2 ym ，同理两条切线在x 轴上的截距分别是x 2 y 的最大、最小值由 d2m2551 ，得 m所以 x2 y 的最大值为25 ，最小值为25【答案】最大值为25 ，最小值为25 【例 6】 求函数 ysin x1 的值域2cos x4【考点】圆的规划问题【难度】 3 星【题型】填空【关键字】无【解读】 ysin x11sin x1 ，于是 2 ysin x1 ，2cos x42cos x2cos x2其几何意义为单位圆上的任一点(cos

8、x , sin x) 与点 ( 2,1) 的连线的斜率结合图象知：过点( 2, 1) 与单位圆相切的直线的斜率为k10 ， k24 ，423连线的斜率的取值范围为, 0 ，从而此函数的值域为3, 0 3【答案】2 , 03【例 7】 设 | a | 1 ， a , bR ，求 (ab)2( 1a 22b5) 2 的最小值【考点】圆的规划问题【难度】 3 星【题型】填空【关键字】无【解读】分析式子的几何意义，它表示两点( a ,1a 2 ) 与 ( b , 2b5) 的距离的平方，前者在半圆x2y21( y 0) 上，后者在直线y2x5 上，3/19结合简图知：半圆上的点到该直线的距离的最小值为

9、| 5 |1 51，41从而所求的最小值为 ( 5 1)2625【答案】625【例 8】 实数 x, y 满足 x2y21，求 uxy2 的最大值与最小值xy2【考点】圆的规划问题【难度】 3 星【题型】解答【关键字】无【解读】 方法一变形得： (1u ) x(1u )y2(1u )0(yx2)，此方程表示一条直线又 x , y 满足 x2y21，故直线与圆x2y21 有公共点故| 2(1u ) |1，解得 23 u 23 xcosu )2(1(1 u )2由于直线 yx2 与圆 x2y21 无公共点，因此，23 u 23为所求即 uxy2 的最大值为 23 ，最小值为 23 xy2方法二 设

10、， ysin，2 sin2sin2xy2cossin244则 u，xy2cossin22 cos2cos244 几何意义为单位圆22cos，与点(2 ,2)xy1 上的点4sin4连线的斜率，求过点 ( 2,2) 的单位圆切线的斜率：k123 ， k2 23 ，从而 uxy2 的最大值为 23 ，最小值为 23 xy2 由此式得 u cossin22u1 u 2cos，444从而 |22u | 1 ，解得 23 u 23 ，1u2因此 uxy2 的最大值为 23 ，最小值为 23 xy2【答案】最大值为23 ，最小值为 23 【例 9】 已知圆 C：( x2( y21 ， P( x , y)

11、为圆 C 上的动点，求d22的最3)4)xy大、最小值【考点】圆的规划问题【难度】 3 星【题型】解答4/19【关键字】无【解读】 方法一 由圆的标准方程 ( x 3)2( y4) 21可设点 P 的坐标为 (3 cos, 4sin )（是参数）则 dx2y296coscos2168sinsin 2266cos8sin2610cos() （其中 tan4 ）3所以 dmax261036 ， dmin261016 yCPOx方法二 d 是圆上点到原点距离的平方， 要求 d 的最值，即求圆上距离原点距离最远和最近的点结合图象知：距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，距离的最小值等于圆心到原点

12、的距离减去半径1 所以 dmax(22222234 1)36， dmin ( 341) 16【答案】最大值为36，最小值为16 【例 10】 若 x2 y20 ，求函数 ux2y22 x 4 y 的最小值【考点】圆的规划问题【难度】 2 星【题型】解答【关键字】无【解读】 ux2y22 x4 y( x1)2( y2)25 ，先求点 (1,2) 与直线 x2 y21427，0 的距离为 d1455umind 2549524 5524【答案】【例 11】 设点 P( x , y) 是圆 x2y21 是任一点，求 uy2 的取值范围x 1【考点】圆的规划问题【难度】 2 星【题型】解答【关键字】无【

13、解读】 方法一 设 P(cos, sin) ，则有 xcos ， ysin，0 , 2) usin2 ， u cosu sin2cos1 u cossin(u2) 即u 21sin() u2 （ tanu ）5/19 sin()(u2) 又 sin() 1u21u2 1解之得： u 3 u 214方法二根据几何意义求解uy2的几何意义是过圆 x2y21 上一动点和定点( 1, 2) 的连线的斜率，x1利用此直线与圆x2y21 有公共点，可确定出u 的取值范围由 uy2 得： y2u( x1) ，此直线与圆 x2y21 有公共点，x1故点 (0 , 0) 到直线的距离 d 1 u2 1 ，解得：

14、 u 3 u 2 14另外，直线 y2u (x22的公共点还可以这样来处理：1) 与圆 xy 1由y2u( x1)消去22224u 3) 0 ，x2y21y 后得： (u1)x(2u4u )x (u此方程有实根，故(2u 24u )24(u 21)(u24u3) 0，解之得： u 3 4【答案】 u 3 4【例 12】 已知对于圆22上任一点 P( x , y) ，不等式 xy m 0 恒成立，求x( y 1) 1实数 m 的取值范围【考点】圆的规划问题【难度】 3 星【题型】解答【关键字】无【解读】yx+y+m= 0Ox方法一 xym0 右上方面的点满足：xy m0 ，结合图象知，要圆上的任

15、一点的坐标都满足x ym 0 ，只需直线在如图所示的切线的左下方，图中切线的纵截距m21 ，故只需 m 21 ，即 m21 即可方法二 分析 设圆上一点 P(cos,1sin) ，问题转化为利用三角函数求范围解 设圆 x2( y1)21 上任一点 P(cos,1sin) ，0 , 2 ) x cos， y1sin，6/19 x y即 m 只须m 0 恒成立， cos1sinm 0 恒成立，(1cossin) 恒成立m 不小于(1cossin) 的最大值设 u(sincos ) 1，2 sin() 14 umax21 即 m 21 【答案】 m 21【例 13】 实数 x 、 y 满足 x2y2

16、8x6y210，求 y 的取值范围x【考点】圆的规划问题【难度】 2 星【题型】解答【关键字】无【解读】 方法一 设 yk ，方程 x2y28 x6y21 0 可化为x( k21)x2(8 6k )x 21 0 ，由 0 得： 12k224k5 0621 k 62166方法二 方程 x2y28x6 y210 表示圆心为 A(4,3) 、半径为 4的圆，y 表示原点 O 与该圆上的点 P 连线的斜率x设 OP 方程为 ykx ，由点 A到 OP 距离4k3 2k21得： 12k 224k5 0621 k 66216 所求 y 的取值范围是621 y 621 x6x6yPAOx【答案】 621 y

17、 6216x6【例 14】 已知点 P( x, y) 在圆 x2( y 1)21 上运动 求 y1 的最大值与最小值；x 2 求 2x y 的最大值与最小值7/19【考点】圆的规划问题【难度】 3 星【题型】解答【关键字】无【解读】 设 y1k ，则 k 表示点 P( x, y) 与点 (2,1) 连线的斜率当该直线与圆相切x2时，k 取得最大值与最小值由2k1 ，解得 k3， y1 的最大值为3，最小值为k213x233 3m ，则 m 表示直线 2xm 在 y 轴上的截距 当该直线与圆相切 设 2xyy时， m 取得最1m15 ， 2x y 的最大值为1 5，最大值与最小值由1 ，解得 m

18、5小值为 15 【答案】 y1 的最大值为3，最小值为3x233 2xy 的最大值为 15 ，最小值为 15 x3 cos【例 15】 若集合 M( x, y) , 0 ，集合 N ( x, y) | x y b 0 ，且 y 3 sinM N，则 b 的取值范围是【考点】圆的规划问题【难度】 2 星【题型】填空【关键字】无【解读】 M 是一个圆心在原点，半径为 3 的半圆（不包括端点）， N 代表斜率为 1，截距为 b 的直线原问题对应的几何问题为：若直线与圆有交点，则直线的截距范围是多少 ?yQOxP如图，容易得到P , Q 是截距的极限位置，经过计算求出P( 3,0)，Q(3 2,0)于

19、是 b 的取值范围是3 b 3 2 【答案】3b 32 8/19【例 16】x24x 3x 1 a 的解集为 4, 0 ，求 a 的取值范围4【考点】圆的规划问题【难度】 3 星【题型】解答【关键字】无【解读】函数 y2224 ，所以 y2表示圆心为x 4 x 可化为 ( x 2)yx 4xC(2, 0)，半径为 2 的圆在 x 轴上方的部分，于是4 x 0 y3x1 a 表示斜率为3 ，截距为 1a 的直线44l1- aCO如图， l 为极限位置，此时1a4，所以 a 的取值需要满足为1a 4 ，解之得a 的取值范围是a 3 【答案】 a - 3 【例 17】 求函数 yxx23x 2的值域

20、【考点】圆的规划问题【难度】 3 星【题型】解答【关键字】无【解读】 解法 1 f (x)xx22的定义域为 (,12,) 配方，有3x321 ，设 t3 ，即 x g (t )3 ，有f (x) xxxt24223(,12,) ，即 t,11于是t2,22f (x)f ( g(t)t3t 2124当 t1 ,时， f(g (t ) 为增函数，所以f ( x)fg 1,2,) ；22当 t,1时，2tt 21tt 211f (x)f ( g( t)t3t2144343，24t 21212tt 2t449/19为减函数，所以 f ( x)fg1,31,3222综上， f ( x) 的值域为32,

21、1,2解法 2 同解法 1，将函数f ( x) 化为 f ( x)f (g (t ) t3t 21以原点为圆24心， 1 为半径作圆，设P(t , 0) 在 x 轴上运动，则21t 时，如图中A 位置，过 A 作圆的切线，切点为C ，显然OAt ， ACt 21 ，分析AOC ，当 A 位于1 , 0时42OAAC 最小，为1，于是 t3t 212,) ；224t 1 时，如图中 B 位置，过 B 作圆的切线，切点为D ，显然2yDCB1O1At-22OA t ， BDt 21，分析DOB ，有 0 BDOB 1 （当42B 位于1, 0时， BDOB 最大，为1 ，于是 t3t 211,3；

22、22242综上， f ( x) 的值域为 1, 32,) 2解 法3f ( x)x23 x2的定义域为(, 12,) 设x2f: xy( x,y)y xx 3 x 2 ， 则 可 以转化为满足涉及的实数对2222xy22( y x)x3x 2 的解 ( x, y) ，由 ( y x)x3 x 2 得2 y 3 由 x 的y xy xy x范围 (, 12,) ，可以求得f (x) 的值域为1,32,) 2解法 4 yx23x2 的定义域为 x 1或 x 2x2 x32x23x22x3 求导，有y12 x23 x 22 x23x 2当 x 2 时， y0 ，所以原函数为增函数，取值范围为2,；当

23、 x 1时 ，2 x23x2x23 2x 4x 1 2 28x4，x1 2910/19 y 0 ，原函数为减函数，取值范围为1, 32从而，原函数值域为1,32,2解法 5 设 y1x23x 2 ， y2x ，则 y y1y2 l1yl2PO12xQ22y1x31 ，于是x3y121 （ y1 0），其几何意义是中心在24243, 0的双曲线在 x 轴上方的部分2y2x 是过原点，斜率为1 的一条直线如图， l1为双曲线的一条渐近线，方程为yx3 ， l 2 : y2x ，显然 l1 l 2 当 x 1 时， y12y2PQ ，随着 x 越来越小，P 到 l1的距离越来越小，于是P 到l2 的

24、距离越来越大（l1 , l2之间的距离为定值），从而PQ 越来越大，取值范围为1,3；2当 x 2 时，随着x 越来越大，PQ 也越来越大，取值范围为2,；3综上，原函数的值域为1,2,23【答案】1,2,2【例 18】 设XOY90 ， P 为XOY 内一点，且OP1 ，XOP30 ，过 P 任意作一条直线分别交射线OX 、OY于点 M 、N，求 OMONMN 的最大值【考点】圆的规划问题【难度】 5 星【题型】填空【关键字】无【解读】11/19yNP30OMx如图1，作OMN 的内切圆，设其半径为r ，则 OMONMN2r ，问题转化为 OMN 的内切圆半径的最大值yNyNPPr CCOMxOMx图1图2ylPOx图 3分析图形可得当P 在 C 上时， OMN 内切圆的半径最大，设此时C 半径为r0 ，如图 2若不然，设在某情形下C 半径大于 r0，那么 P 点将会在 C 内，这与C是OMN 的内切圆矛盾（如图3 ，圆心 C 只能在射线l 上运动）显然，此时 P 点为切点设 C (r0 , r0 ) ，而 P cos30, sin30 ，于是CPr0r02r02r0 2，即cos30sin30，化简有22(sin30cos30 )r010r0 r02(sin 30cos30 )4(sin 30cos30 ) 24cos30sin 602sin 3