高等数学课件：2-2函数的极限

1、首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 2.2 函数的极限一、当x时函数的极限二、当xx0时函数的极限三、左极限与右极限四、关于函数极限的定理首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 一、当x时函数f(x)的极限 引例 函数xy11(x0) 当|x|无限增大时 y 无限地接近于 1 和数列极限一样 “当|x|无限增大时 y无限地接近于1” 是指 “当|x|无限增大时 |y1|可以任意小” 即对于任意给定的 0 要使|1| 1)11 ( | 1|xxy 只要取1| x就可以了 亦即当x 进入区间|y1| 恒成立 这时我们就称x 趋于无穷大时就可以了 亦即当x 进入区间) ,1(

2、)1 ,(时 限 y1| 恒成立 这时我们就称x 趋于无穷大时xy11以1为极 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定义23(函数的极限) 如果对于任意给定的正数 总存在一个正数M 使得当一切|x|M时 |f(x)A| 恒成立 则称当x趋于无穷大时 函数f(x)以常数A为极限 记作Axfx)(lim或 f(x)A(x) 说明 定义中刻划f(x)与A的接近程度 M刻划|x|充分大的程度 是任意给定的正数 M是随而确定的 如果x从某一时刻起 往后总是取正值(负值)而且|x|无限增大 则称x趋于正(负)无穷大 记作x(x) 此时定义中|x|M可改写为xM(xM)首页上一页下一页结束微积

3、分 (第三版) 教学课件 Axfx)(lim 0 M0 x |x|M 有|f(x)A| 例 1 用定义证明01limxx 证 证 设xxf1)( 对于任意给定的 0 要使 |1|1| 0)(|xxxf 只要1| x就可以了 因此 对于任意给定的 0 取| 01| 0)(|xxf 恒成立 所以xxf1)( 对于任意给定的 0 要使 因此 对于任意给定的 0 取1M 当|x|M 时 1M 当|x|M 时 所以01limxx 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 Axfx)(lim 0 M0 x |x|M 有|f(x)A| 例 2 证明0)21(limxx 对于任意给定的 0 要使 证

4、xxxf)21(| 0)21( | 0)(| 只要12 x 即 xlog2 (设1)就可以了 因此 对于任意给定的 0| 0)21( | 0)(|xxf 恒成立 所以12 x 即 xlog2 (设1)就可以了 取Mlog2 则当xM时 所以0)21(limxx 22112log 2logxx2logx 注意:21log0.由得p.56 图2-5lim( )xf xA0,0,:,( )Mx xMf xA 有首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 Axfx)(lim 0 M0 x |x|M 有|f(x)A| 对于任意给定的 0 要使 证 因此 对于任意给定的 0恒成立 所以Axfx)(l

5、im 0 M0 x xM 有|f(x)A| 取Mlog2 则当xM时注意:21log0.由得例2(续) 用定义证明lim 20.xx( )020,xf x22,log,xx只要即( )020,xf xlim 20.xx所以lim( )0,0,:,( )xf xAMx xMf xA 有p.56 图2-5首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 ,0elim xx例例4解解 x时时，xxfe)( 有有无无极极限限？ ,elim xx.elim不不存存在在故故xx xyo,2arctanlim xx例例3解解 x时时，xxfarctan)( 有有无无极极限限？ .arctanlim不不存存在

6、在故故xx ,2arctanlim xxxy2 2 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 极限f(x)A(x)的几何意义 对任意给定的小正数 总可以找到M0 当x进入区间( M)(M )时 f(x)全部落入区间(A A)内首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 引例引例. . 测量正方形面积.面积为A )边长为(真值:;0 x边长面积2x直接观测值间接观测值任给精度 , 要求 Ax2确定直接观测值精度观测值精度 :0 xx0 xAx二、当xx0时函数f(x)的极限 目的:研究当自变量xx0时,函数y=f(x)的变化性态.首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定

7、义24(函数的极限) 如果对于任意给定的正数 总存在一个正数 使当0|xx0| 时 |f(x)A|恒成立 则称当x趋于x0时 函数f(x)以常数A为极限 记作 Axfxx)(lim0或 f(x)A(xx0) 说明 (1)定义中的刻划f(x)与常数A的接近程度 刻划x与x0的接近程度 是随是随 而确定的而确定的 (2)定义中的|xx0| 表示x与x0的距离小于 而0|xx0|表示xx0 因此0|xx0|表示x(x0 x0)(x0 x0) 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 Axfxx)(lim00, 0, x: 0|xx0|, 有|f(x)A| 例 3 利用定义证明4) 23 (l

8、im2xx 分析 设f(x)3x2 对于任意给定的 0 要使|f(x)4| | (3x2)4|3x6|3|x2| 只要取31| 2|x就可以了 因此 对于任意给定的 0 取恒成立 所以因此 对于任意给定的 0 取31 当 0|x2| 时 31 当 0|x2| 时 所以4) 23 (lim2xx 证明:|f(x)4| | (3x2)4|3x6|3|x2| 5首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 Axfxx)(lim00, 0, x: 0|xx0|, 有|f(x)A| 例 4 利用定义证明00limxxxx |f(x)x0|xx0|只要取就可以了 设f(x)x 证 恒成立 所以 所以0

9、0limxxxx |f(x)x0| 取 当0|xx0|时 因此 对于任意给定的 0 对于任意给定的 0 要使6首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 例5. 211lim21xxx证明证211)(2xxAxf, 0任给,只要取,10时当 x函数在点x=1处没有定义.1 x,)( Axf要使,2112xx就有. 211lim21xxxAxfxx)(lim00, 0, x: 0|xx0|, 有|f(x)A| 1122xxx,1时当 x7首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 极限f(x)A(xx0)的几何意义 f(x)全部落入区间(A A)内 当x进入(x0 x0)(x0 x0

10、)时 总可以找到 0 对任意给定的正数 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 三、左极限与右极限 观察当x从0的左侧趋于0时和当x从0的右侧趋于0时 f(x)的变化趋势 容易看出当x从0的左侧趋于0时 f(x)趋于1 而当x从0的右侧趋于0时 f(x)趋于0 我们分别称它们是函数f(x)当x趋于0时的左极限与右极限 设函数0 0 1)(xxxxf 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 三、左极限与右极限定义25(左极限 右极限) 如果当x从x0的左侧(xx0)趋于x0时 f(x)以A为极限 即对于任意给定的 0 总存在一个正数 使0 x0 x 时 |f(x)A|恒成立

11、则称A为xx0时f(x)的左极限 记作Axfxx)(lim0或 f(x00)A 如果当x从x0的右侧(xx0)趋于x0时 f(x)以A为极限即对于任意给定的 0 总存在一个正数 使0 xx0 时 |f(x)A|恒成立则称A为xx0时f(x)的右极限 记作Axfxx)(lim0或 f(x00)A 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 四、关于函数极限的定理定理21(双侧极限与单侧极限的关系) 极限Axfxx)(lim0成立的充分必要条件是 Axfxfxxxx)(lim)(lim00 例 5 设0 0 1)(xxxxf 研究)(lim0 xfx是否存在 解 当x0时 11lim)(li

12、m00 xxxf 而当x0时 0lim)(lim00 xxfxx 左、右极限都存在 但不相等 所以)(lim0 xfx不存在 8首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 .sgnlim0不存在不存在验证验证xxxxsgnlim0 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.sgnlim 0不存在xx例例9证证，1)1(lim0 x 010001sgnxxxxy当当当当当当xxsgnlim0 ，11lim0 xyx11 o四、关于函数极限的定理首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 四、关于函数极限的定理定理21(双侧极限与单侧极限的关系) 极限Axfxx)(lim0成立的充分

13、必要条件是 Axfxfxxxx)(lim)(lim00 例10.研究当x0时 f(x)|x|的极限 解 0 0 |)(xxxxxxf 因为 解0 0 |)(xxxxxxf 因为 0lim)(lim00 xxfxx 0)(lim)(lim00 xxfxx且 0)(lim)(lim00 xfxfxx 所以 0|lim)(lim00 xxfxx 0lim)(lim00 xxfxx 0)(lim)(lim00 xxfxx 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定理22 (局部保号定理) 如果f(x)A(x0 x0) 而且A0(或A0) 则总存在一个正数 使当0|xx0|时 f(x)0(或f(x)0) 四、关于函数极限的定理 设A0 取A/2 则按极限定义可知 总存在一正数 使当0|xx0|时 不等式|f(x)A|A/2恒成立 于是可得 AA/2 f(x) A/20 类似地可证A0的情形 证首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定理22 (局部保号定理) 如果f(x)