18.2.2菱形性质与判定

1、第十八章平行四边形1822 菱形第1课时菱形的性质核心提要1. 菱形的定义： 勺平行四边形叫做菱形.2. 菱形是特殊的平行四边形，还具有如下性质:并且每一条(1) 菱形的四条边都;(2) 菱形的两条对角线,对角线平分一组对角.典例精讲知识点：菱形的性质1. 在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,(1) 假设 AB = 7 cm,那么 AB= BC =cm,周长是cm;(2) 假设/ABC = 140 ° 贝S /BAD =° /ABD =°ZBCA=°(3) 假设AC= 12 cm, BD = 6 cm,那么该菱形的面积为cm?，周长为cm;假设

2、AB= 4 cm, /ABC= 120 °那么该菱形的周长为面积为.2：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接 AE, CF，求证：/ADE/CDF.变式训练变式1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,(1) 假设该菱形的周长为36 cm,贝H AB= BC =cm;(2) 假设 ZABC= 110 ° 贝S/BAD =/ABD =° ZBCA=°(3) 假设AC= 8 cm, BD = 6 cm,那么该菱形的面积为 cm2，周长为cm;(4) 图中直角三角形有个.变式2 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点0,

3、 ZDAC = 30°BD= 12(1) 求/ABC的度数；求菱形ABCD的面积.根底稳固1菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A .对边相等 B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直2 .如图1,菱形ABCD的周长为24 cm,对角线AC、BD相交于0点，E是AD的中点，连接0E，那么线段0E的长为.图3. 如图2,在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,假设AB=2, ZABC= 60°贝卩BD的长为.4. 如图3,菱形ABCD的对角线相交于点0,延长AB至点E, 使BE= AB,连接CE,假设ZE = 50° 求 ZBA0的大小.5. 如

4、图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点0, AC =8 cm, BD = 6 cm, DH ZAB 于 H.(1) 求菱形ABCD的面积；(2) 求DH的长.能力提升6如图4,在菱形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O, BD = 6, AC= 8,直线OE/AB交CD于点F,那么AE的长为A .4B. 4.8C. 2.44DD. 3.2图4图5图67.如图5,在周长为12的菱形ABCD中，AE= 1, AF= 2,假设P为对角线BD上一动点，那么EP+ FP的最小值为A .1B .2C.3D .48 .如图6,在菱形ABCD中，/ABC与/BAD的度数比为1/2,周 长是32

5、 cm.求两条对角线的长度.培优训练9.如图，在菱形 ABCD中，AB = 5,对角线AC = 6，假设过点A作AEZBC，垂足为E,贝卩AE的长为多少？第2课时菱形的判定核心提要1. 菱形的判定方法：(1) 有勺平行四边形是菱形；(2) 对角线勺平行四边形是菱形；(3) '勺四边形是菱形.2. 掌握判定一个四边形是菱形的思路.典例精讲知识点：菱形的判定1.如图，四边形ABCD是平行四边形，DEZAB, DF/BC, 垂足分别是E, F，并且DE = DF.求证：四边形 ABCD是菱形.2 .如图，在平行四边形 ABCD中，BD的垂 直平分线EF与AD交于点E,与BC交于点F，与BD交

6、于点O.(1)证明：0E = OF;证明：四边形BEDF是菱形.Aad变式训练变式1 如图，在/ABC中，AD平分/BAC,过点D分别 作DE/AC、DF /AB,分别交AB、AC 于点E、F.求证：四边 形AEDF是菱形.变式2 如图，在?ABCD中,对角线AC, BD相交于点O, AB = 5, AC = 6, BD = 8.(1)求证：四边形ABCD是菱形；过点A作AH ZBC于点H，求AH的长.根底稳固1.以下说法正确的选项是A 对角线互相垂直的四边形是菱形 边形是菱形C菱形的对角线相等且互相平分D菱形的对角线互相垂直且平分2如图，在平行四边形ABCD 中，AC 平分 /DAB, AB

7、 = 2 cm,那么平行四边形ABCD的周长为cm.B 对角线互相平分的四3.女口图在矩形 ABCD 中,对角线AC、BD相交于点O,且DE /AC, CE/BD, 试判断四边形OCED的形状.4.如图，E, F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE= CF.求证：四边形BEDF 是菱形；能力提升5如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2, 对角线AC = 24 cm,贝U四边形ABCD的周长为()A . 52 cm B. 40 cm C. 39 cm D. 26 cm6如图，在?ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E,交AD于F.求证：四边形AECF为菱形；(2)假设 AC/CD

8、，AB = 6，BC= 10,求四边形 AECF 的面积.培优训练7.如图，在四边形ABCD中，AB/CD，点E、F在对角线AC 上, 且ZABF = ZCDE, AE= CF.(1)求证：ZABFZzCDE;当四边形ABCD满足什么条件时，四边形 BFDE是菱形？为什 么？第1课时菱形的性质-答案【核心提要】1. 有一组邻边相等；2.(1)相等，互相垂直平分；【典例精讲】_. 1. (1)CD, AD, 7, 28; (2)40, 70, 20; (3)36, 12.5(4) 16 cm, 8 '3 cm2;2 .证明：T四边形ABCD是菱形，二AD = CD ,点E、F分别为边CD

9、、AD的中点，二AD = 2DF ,CD = 2DE，二 DE = DF ,在厶ADE和厶CDF中，AD = CD,/ ADE = Z CDF ,ADE CDF(SAS).DE = DF,【变式训练】1. 解:(1)CD, AD, 9; (2)70, 55, 35; (3)24, 20; (4)42. 解:(1) T菱形ABCD的两条对角线相交于点 O,/DAC = 30°,/ BAD= 2/DAC = 60°,v AD / BC,:丄 ABC= 180° 60°= 120°(2) T菱形ABCD的两条对角线相交于点 O, BD = 12,1

10、AC丄BD, DO = 2BD = 6,又T/ DAC = 30°,二 AD = 2DO = 12, _ RtAAOD 中，AO=- 122 62 = 6 3,二 AC= 2AO= 12 3,1i菱形 ABCD 的面积=2X ACX BD = f 12X 12 3 = 72 3.【根底稳固】1 .解析：T菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平 分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直.应选D.2. 解析：t菱形 ABCD 的周长为 24 cm,. AB = 24-4 6 cm,T对角

11、线AC、BD相交于0点， OB= OD,t E是AD的中点，二OE是厶ABD的中位线，1 1 0E= 2AB= qX 6 = 3 cm.故答案为：3 cm.3. 解析：t四边形 ABCD为菱形， AC丄BD, BD = 2BO,t/ ABC= 60°, AB= BC,aABC 是正三角形，/ BAO =60 °，/ ABO = 30° AO = 2AB = 1. BO = a/AB2OA2 = 2= 3,a BD= 2 3.故答案为：2 3.4. 解：菱形 ABCD 中，AB= BC,t BE= AB,. BC= BE, / BCE=Z E= 50°,

12、/ CBE= 180° 50°X 2= 80°,t AD / BC，/ BAD = / CBE= 80°,1 / BAO= 2X 80°= 40° .5 .解：1 t 四边形 ABCD 是菱形，AC= 8 cm, BD = 6 cm,1 1 S菱形 ABCD =8= 24卅.12 t 四边形 ABCD 是菱形， AC丄 BD, OA= OC=AC = 4 cm, OB= OD = 3 cm,在直角三角形 AOB 中，AB= OB2 + OA2 = 32 + 42= 5 cm, _S菱形 ABCDDH = AB= 4.8 cm.【能力提

13、升】6. D7. 解析：，作F点关于BD的对称点F；贝S PF= PF；连接EF 交BD于点P. EP+ FP = EP+ F'P.由两点之间线段最短可知：当 E、P、F在一条直线上时，EP + FP的值最小，此时EP+ FP = EP+ F；P= EF'T四边形ABCD为菱形，周长为12, AB= BC= CD = DA = 3, AB/ CD，丁 AF= 2, AE= 1,DF ' =DF = AE= 1,四边形 AEFD是平行四边形，二EF；= AD= 3.二EP+ FP的 最小值为3.应选：C.8 .解：菱形ABCD的周长为32 cm，菱形的边长为32宁4 8

14、cmvZ ABC:/ BAD = 1 : 2,Z ABC +/ BAD = 180° 菱形的邻角 互补, Z ABC= 60°,二厶 ABC 是等边三角形，二 AC = AB= 8 cm,v菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, AO=CO, BO=DO 且AC丄BD, BO=4 3 cm, BD = 8 3 cm;【培优训练】9.解：连接BD，交AC于O点，v四边形ABCD是菱形， AB =BC= CD = AD = 5,1AC丄BD, AO = AC, BD = 2BO,Z AOB= 90°,v AC = 6, AO= 3, BO= , 25- 9= 4,

15、二 DB = 8, 菱形 ABCD 的面积是AC -DB1=6 X 8= 24,24 BC - AE= 24,二 AE = .答：AE长为眷第2课时菱形的判定-答案【核心提要】1. (1)一组邻边相等(2)互相垂直(3) 四边相等【典例精讲】1.证明：T四边形ABCD是平行四边形，/A=Z C,v DE 丄 AB, DF 丄AED =Z CFD = 90°又 DE= DF，：. ADE刍乂 CDF(AAS) , DA = DC ,平行四 边形ABCD是菱形.2 .证明：(1)丁四边形ABCD是平行四边形，二OD = OB, AD / BC,./ EDB=Z FBD,在厶ODE与厶OB

16、F中，/ EOD=Z FOB,OD = OB, ODE OBF，二 OE= OF;/ EDB=Z FBD,(2) t四边形 ABCD是平行四边形，二OD = OB,又t OE= OF, 四边形EBFD是平行四边形，t EF丄BD，四边形EBFD是 菱形.【变式训练】1. 证明：t DE / AC, DF / AB,四边形AEDF是平行四边形.t AD 平分/ BAC,AZ bad =z cad.t DE / AC./EDA =Z CAD，/EDA=Z BAD.AE= DE, 四边形AEDF是菱形.2. (1)证明：t在?ABCD中，对角线AC, BD相交于点O, AB =1 15, AC =

17、6, BD = 8,. AO =严=3, BO= qBD = 4,t AB= 5, 且 32 + 42= 52,. AO2 + BO2 = AB2, AOB是直角三角形，且/ AOB= 90°,. AC丄BD，四边 形ABCD是菱形.(2)解：t四边形ABCD是菱形，二BC=AB= 5,11 11t ®abc= 2AC BO = 2BC AH , qx 6X 4=2 5X AH,解得：AH =245.A, B错【根底稳固】1.解析：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故 误；菱形的对角线互相垂直平分，C错误，D正确.故 选：D.2 .解析：如图.t四边形 ABCD为平行四边

18、形， / 1 = / 4,/ 2=/ 3,t AC平分/ DAB, / 1 = / 2, / 1=/ 3,. AD = DC,四边形ABCD为菱形，二四边形ABCD的周长=4X 2= 8答案是8.3. 解：四边形 OCED 是菱形.J DE II AC, CEII BD,二四边形OCED是平行四边形，又J在矩形ABCD中，0C= OD, 二四边形OCED是菱形.4. 证明：连接BD,交AC于O.J四边形ABCD是菱形， OA= OC, OB= OD, AC丄BD,J AE= CF, OE= OF，四边形BEDF是平行四边形， J EF丄BD，四边形BEDF是菱形；【能力提升】5 .解析：连接AC、BD相交于点O,J四边形ABCD的四边相等，四边形 ABCD为菱形，二AC丄BD,S 四边形 abcd = iAC BD, 1 24BD = 120,解得 BD = 10, OA= 12 cm, OB= 5 cm,在Rt AOB中，由勾股定理可得 AB=；122 + 52= 13(cm), 四边形ABCD的周长=4X 13= 52(cm),应选A.6. (1)证明：如图.J EF垂直平分AC, AO= OC.1 = Z 2,Z 3=Z 4.又J四边