1995年考研数学三真题及全面解析

1、1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分 .把答案填在题中横线上.) (1) 设1( )1xf xx, 则( )( )nfx . (2) 设()yzxyfx,( )f u可导 , 则xyxzyz . (3) 设(ln)1fxx, 则( )f x . (4) 设100220345a,a是a的伴随矩阵 , 则1()a . (5) 设12,nxxx是来自正态总体2( ,)n的简单随机样本, 其中参数和2未知 ,记22111,() ,nniiiixx qxxn则假设0:0h的t检验使用统计量t_. 二、选择题 ( 本题共 5

2、 小题 ,每小题3 分, 满分 15 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设( )f x为可导函数 , 且满足条件0(1)(1)lim12xffxx, 则曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线斜率为 ( ) (a) 2 (b) 1 (c) 12 (d) 2(2) 下列广义积分发散的是 ( ) (a) 111sindxx (b) 12111dxx (c) 20 xedx (d) 221lndxxx(3) 设矩阵m na的秩为()r amn,me为m阶单位矩阵 , 下述结论中正确的是 ( ) (a) a的任意m个行向量必线

3、性无关(b) a的任意一个m阶子式不等于零(c) 若矩阵b满足0ba, 则0b(d) a通过初等行变换, 必可以化为(,0)me的形式(4) 设随机变量x和y独立同分布 , 记,uxy vxy, 则随机变量u与v必然( ) (a) 不独立 (b) 独立 (c) 相关系数不为零 (d) 相关系数为零(5) 设随即变量x服从正态分布2( ,)n, 则随的增大 , 概率px ( ) (a) 单调增大 (b) 单调减少 (c) 保持不变 (d) 增减不定三、 ( 本题满分6 分) 设2202(1cos ),0( )1,01cos,0 xxxxf xxt dtxx, 试讨论( )f x在0 x处的连续性

4、和可导性. 四、 ( 本题满分6 分) 已知连续函数( )f x满足条件320( )3xxtf xfdte, 求( )f x. 五、 ( 本题满分6 分) 将函数2ln(12)yxx展成x的幂级数 , 并指出其收敛区间. 六、 ( 本题满分5 分) 计算22()min , xyx y edxdy. 七、 ( 本题满分6 分) 设某产品的需求函数为()qq p, 收益函数为rpq, 其中p为产品价格 ,q为需求量( 产品的产量 ),()q p为单调减函数.如果当价格为0p, 对应产量为0q时, 边际收益00q qdradq, 收益对价格的边际效应00ppdrcdp, 需求对价格的弹性1peb.求

5、0p和0q. 八、 ( 本题满分6 分) 设( )f x、( )g x在区间, a a(0a)上连续 ,( )g x为偶函数 , 且( )f x满足条件( )()f xfxa(a为常数 ). (1) 证明0( ) ( )( )aaaf x g x dxag x dx；(2) 利用 (1) 的结论计算定积分22sinarctanxxe dx. 九、 ( 本题满分9 分) 已知向量组 ( )123,；( )1234,；( )1235, 如果各向量组的秩分别为(i)(ii)3rr,(iii)4r. 证明 :向量组12354,的秩为 4. 十、 ( 本题满分10 分) 已知二次型22123231213

6、23(,)43448f x xxxxx xx xx x. (1) 写出二次型f的矩阵表达式；(2) 用正交变换把二次型f化为标准形 , 并写出相应的正交矩阵. 十一、 ( 本题满分8 分) 假设一厂家生产的每台仪器, 以概率 0.70 可以直接出厂；以概率0.30 需进一步调试 , 经调试后以概率0.80 可以出厂；以概率0.20 定为不合格品不能出厂. 现该厂新生产了(2)n n台仪器 ( 假设各台仪器的生产过程相互独立). 求： (1) 全部能出厂的概率；(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率； (3) 其中至少有两台不能出厂的概率. 十二、 ( 本题满分8 分) 已知随机变量x和y的联合概

7、率密度为4,01,01,( , )0,xyxyf x y其他 ,求x和y联合分布函数( ,)f x y. 1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分 .)(1) 【答案】12( 1)!(1)nnnx【解析】由于112( )12(1)1,11xf xxxx2( )2 ( 1)(1),fxx3( )2 ( 1)( 2)(1) ,fxx所以1( )(1)( )2 ( 1)!(2(1)1)!(1)nnnnnfxxnxn. (2) 【答案】2yxyfx【解析】根据复合函数求导法则, 22xyyyyyyzyfxyfyffxxx

8、xxx, 1yyyyyzxfxyfxfyfxxxxx. 所以222xyyyyyyyfy fxyfy fyfxxxxxxzyzxx. 【相关知识点】复合函数求导法则：( )yf x的导数为( )( )yf xfx. (3) 【答案】xxec【解析】在(ln)1fxx中令ln xt, 则( )1tfte, 从而( )1( )ttxf tedttecf xxec. (4) 【答案】100122010345【解析】由aaa e, 有aaea, 故1aaa. 而10022010345a, 所以1100122010345aaa. (5) 【答案】(1)xn nq【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题,

9、 它是根据具体情况和问题的要求, 首先提出原假设0h, 再由样本提供的信息, 通过适当的方法来判断对总体所作的假设0h是否成立. 首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值的假设检验问题. 据此类型应该选取t检验的统计量是0211()(1)niixxtsxxnn n, 经过化简得(1)xtn nq. 【相关知识点】假设检验的一般步骤：(1) 确定所要检验的基本假设0h；(2) 选择检验的统计量, 并要求知道其在一定条件下的分布；(3) 对确定的显著性水平, 查相应的概率分布, 得临界值 , 从而确定否定域；(4) 由样本计算统计量, 并判断其是否落入否定域, 从而对假设0h作出拒绝还是

10、接受的判断. 二、选择题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分 .)(1) 【答案】 (d) 【解析】因00(1)(1)(1)(1)(1)limlimxxfxffxffxxxx00(1)(1)lim(1)(1)2lim2,2xxffxxffxx所以应选 (d). (2) 【答案】 (a) 【解析】由计算知111211arcsin1dxxx, 222111lnlnln 2dxxxx, 且泊松积分202xedx, 故应选 (a). 注：对于本题选项(a), 由于当0 x时sin0 x, 故在积分区间 1,1中0 x是瑕点 , 反常积分111sindxx应分解为两个反常积分之和

11、: 101110111sinsinsindxdxdxxxx, 而且111sindxx收敛的充要条件是两个反常积分011sindxx与101sindxx都收敛 . 由于广义积分11001lntansin2xdxx, 即101sindxx发散 , 故111sindxx发散 . 在此不可误以为1sin x是奇函数 , 于是1110sindxx, 从而得出它是收敛的错误结论. (3) 【答案】 (c) 【解析】()r am表示a中有m个列向量线性无关, 有m阶子式不等于零, 并不是任意的, 因此 (a) 、(b) 均不正确 . 经初等变换可把a化成标准形 , 一般应当既有初等行变换也有初等列变换, 只

12、用一种不一定能化为标准形.例如010001, 只用初等行变换就不能化成2(,0)e的形式 , 故(d) 不正确. 关 于 (c),由0ba知()( )r br am, 又()r am, 从 而()0r b, 按 定 义 又 有()0r b, 于是()0r b, 即0b. 故应选 (c). (4) 【答案】 (d) 【解析】(,)(,)cov u vcov xy xy. (,)( ,)cov x xycov y xy(,)(,)( ,)( ,)cov x xcov x ycov y xcov y ydxdy. 由于x和y同分布 , 因此dxdy, 于是有(,)0cov u v. 由相关系数的计算

13、公式(,)cov x ydxdy, 所以u与v的相关系数也为零, 应选 (d). 【相关知识点】协方差的性质：(,)(,)cov ax byabcov x y；1212(,)(,)(,)cov xxycov x ycov xy. (5) 【答案】 (c) 【解析】由于2( ,),xn将此正态分布标准化, 故0,1xn, 1211xpxp.计算看出概率px的值与大小无关 . 所以本题应选(c). 三、 ( 本题满分6 分) 【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题. 一般要用连续性与可导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数. 222000122(1

14、cos )2lim( )limlim1xxxxxf xxx, 220000coscoslim( )limlim11xxxxt dtxf xx, 故(00)(00)(0)fff, 即( )f x在0 x处连续 . 2000422020001cos1( )(0)(0)limlim01coscos12limlimlim0,22xxxxxxxt dtfxfxfxxxt dtxxxxx2002320002(1 cos )1( )(0)(0)limlim02(1 cos )2sin22(cos1)limlimlim0.36xxxxxxf xfxfxxxxxxxxxx即(0)(0)0ff, 故( )f x在

15、0 x处可导 , 且(0)0f. 四、 ( 本题满分6 分) 【解析】首先, 在变上限定积分中引入新变量3ts, 于是3003( )3xxtfdtf s ds. 代入题设函数( )f x所满足的关系式, 得20( )3( )xxf xf s dse. 在上式中令0 x得(0)1f, 将上式两端对x求导数得2( )3 ( )2xfxf xe. 由此可见( )f x是一阶线性方程2( )3 ( )2xfxf xe满足初始条件(0)1f的特解 . 用3xe同乘方程两端, 得3( )2xxf x ee, 积分即得32( )2xxf xcee. 由(0)1f可确定常数3c, 于是 , 所求的函数是32(

16、 )32xxf xee.五、 ( 本题满分6 分) 【解析】由212(1 2 )(1)xxxx知2ln(12)ln(1 2 )ln(1)xxxx. 因为231ln(1)( 1)23nnxxxxxn, 其收敛区间为( 1,1)；又231( 2 )( 2 )( 2 )ln(12 )( 2 )( 1)23nnxxxxxn, 其收敛区间为1 1,2 2. 于是有121111( 2 )( 1)2ln(12)( 1)( 1)nnnnnnnnnxxxxxnnn, 其收敛区间为1 1,2 2. 【相关知识点】收敛区间：若幂级数0nnna x的收敛半径是正数r, 则其收敛区间是开区间(,)r r；若其收敛半径是

17、, 则收敛区间是(,). 六、 ( 本题满分5 分) 【解析】 方法一 ：本题中二重积分的积分区域d是全平面 , 设0a, ( , )|,adx yaxaaya, 则当a时, 有add. 从而2222()()min , limmin , axyxyadix y edxdyx y edxdy. 注意当xy时,min, x yx；当xy时,min, x yy. 于是222222()()()min , aayaxxyxyxyaaaadx y edxdydyxedxdxyedy, 且2222222222()()22()2211()2211.22axaxaxyxyxaxaaaaaaaaxxaadxyed

18、ydxed xyeedxeedxedx由于2xedx, 从而可得222()21lim0lim2axaxyxaaaaadxyedyedx22212lim2 22 2ataatxedt. 同理可得22()lim2 2ayxyaaadyxedx. 于是222i. 方法二 ：设0r, 则圆域222( , ) |rdx yxyr当r时也趋于全平面, 从而2222()()min , limmin , rxyxyrdix y edxdyx y edxdy. 引入极坐标系cos ,sinxryr, 则当04与524时,min, sinx yyr；当544时,min, cosx yxr. 于是22()min,

19、rxydx y edxdy22252222445000044sincossinrrrrrrdr edrdr edrdr edr22522244500044sincossin2 2rrrrr edrdddr edr. 由此可得222002 2 lim2 lim()rrrrrrir edrrd e22200022 lim22.22rrrrrrreedredr七、 ( 本题满分6 分) 【解析】本题的关键在于p和q之间存在函数关系, 因此rpq既可看作p的函数 , 也可看作q的函数 , 由此分别求出drdp及drdq, 并将它们与弹性pp dqeq dp联系起来 , 进而求得问题的解 . 由( )q

20、q p是单调减函数知0dqdp, 从而需求对价格的弹性0pp dqeq dp, 这表明题设1peb应理解为1ppeeb. 又由( )qq p是单调减函数知存在反函数()pp q且1dpdqdqdp. 由收益rpq对q求导 ,有1(1)pdrdpppqppp dqdqdqeq dp, 从而001(1)q qdrpadqb, 得01abpb. 由收益rpq对p求导 , 有(1)(1)pdrdqp dqqpqqedpdpq dp, 从而00(1)ppdrqbcdp, 于是01cqb. 八、 ( 本题满分6 分) 【解析】 (1) 由要证的结论可知, 应将左端积分化成0,a上的积分 , 即00( )

21、( )( ) ( )( ) ( )aaaaf x g x dxf x g x dxf x g x dx, 再将0( ) ( )af x g x dx作适当的变量代换化为在0,a上的定积分 . 方法一 ：由于00( ) ( )( ) ( )( ) ( )aaaaf x g x dxf x g x dxf x g x dx, 在0( ) ( )af x g x dx中令xt, 则由:0 xa, 得:0t a, 且0000( ) ( )() () ()() ( )() ( )aaaaf x g x dxft gt dtft g t dtfx g x dx, 所以00( ) ( )( )()( )(

22、)aaaaf x g x dxf xfxg x dxag x dx. 方法二 ：在( ) ( )aaf x g x dx中令xt, 则由:xaa, 得: t aa, 且0( ) ( )() () ()() ( )() ( )aaaaaaaf x g x dxft gt dtft g t dtfx g x dx. 所以1( ) ( )( ) ( )() ( )2aaaaaaf x g x dxf x g x dxfx g x dx01( )()( )( )( ).22aaaaaaf xfxg x dxg x dxag x dx(2) 令( )arctanxf xe,( )sing xx, 可以验

23、证( )f x和( )g x符合 (1) 中条件 , 从而可以用(1) 中结果计算题目中的定积分. 方法一 ：取( )arctanxf xe,( )sing xx,2a. 由于( )()arctanarctanxxf xfxee满足22arctanarctan011xxxxxxeeeeee, 故arctanarctanxxeea. 令0 x, 得2arctan12aa, 即( )()2f xfx. 于是有222002sinarctansinsin222xxe dxx dxxdx. 方法二 ：取( )arctanxf xe,( )sing xx,2a, 于是1( )()arctanarctan2

24、xxf xfxee. ( 这里利用了对任何0 x, 有1arctanarctan2xx) 以下同方法一.九、 ( 本题满分9 分) 【解析】因为(i)(ii)3rr, 所以123,线性无关 , 而1234,线性相关 , 因此4可由123,线性表出 , 设为4112233lll. 若112233454()0kkkk, 即11412242334345()()()0kl kkl kkl kk, 由于(iii)4r, 所以1235,线性无关 . 故必有11422433440,0,0,0.kl kkl kkl kk解出43210,0,0,0kkkk. 于是12354,线性无关 , 即其秩为4. 十、 (

25、 本题满分10 分) 【解析】 (1) 因为123(,)f x xx对应的矩阵为022244243a, 故123(,)f x xx的矩阵表示为112312323022(,)(,)244243txf x xxx axx xxxx. (2) 由a的特征方程22222244240243241ea24100240(1)(36)0241, 得到a的特征值为1231,6,6. 由()0ea x得基础解系1(2,0,1)tx, 即属于1的特征向量 . 由(6)0ea x得基础解系2(1,5,2)tx, 即属于6的特征向量 . 由( 6)0ea x得基础解系3(1 , 1,2)tx, 即属于6的特征向量 . 对于实对称矩阵, 特征值不同特征向量已正交, 故只须单位化 , 有3121231232111110,5 ,1 ,5306122xxxxxx那么令123211530651()03