1998-2010年数学一考研真题

1、2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题 (1-8 小题 ,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)极限= (a)1 (b)(c)(d)(2) 设 函 数由 方 程确 定 ,其 中为 可 微 函 数 ,且则= (a)(b)(c)(d)(3)设为正整数 ,则反常积分的收敛性(a) 仅与取值有关(b)仅与取值有关(c)与取值都有关(d)与取值都无关(4)= (a)(b)(c)(d)(5)设为型矩阵为型矩阵 ,若则(a) 秩秩(b)秩秩(c)秩秩(d)秩秩(6)设为 4 阶对称矩阵 ,且若的秩为

2、 3,则相似于2lim()()xxxxaxbeeabeba(,)zz xy(,)0yzfxxf20,fzzxyxyxzxz,mn210ln(1)mnxdxxmn,mn,mn2211lim()()nnxijnninj12001(1)(1)xdxdyxy1001(1)(1)xdxd yxy11001(1)(1)dxdyxy112001(1)(1)d xdyxyamn,bnm,a be(),ma()mb(),ma()nb(),na()mb(),na()nba20,aaaa(a)(b)(c)(d)(7)设随机变量的分布函数则= (a)0 (b)1 (c)(d)(8)设为标准正态分布的概率密度为上均匀分

3、布的概率密度, ()fx为概率密度 ,则应满足(a)(b)(c)(d)二、填空题 (9-14 小题 ,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)设求= . (10)= . (11)已知曲线的方程为起点是终点是则曲线积分= . (12)设则的形心的竖坐标= . (13) 设若由形成的向量空间的维数是2,则= . 1110111011101110x()fx00101,21e2xxxx1px11e211e1()fx2,()fx1, 312()()a fxb fx00 xx(0,0)ab,a b234ab324ab1ab2ab20e,ln (1),ttxyud u220td

4、ydx20co sxx d yl11,1,yxx(1, 0 ),(1, 0 ),2lxyd xx d y22 (,) |1 ,xyzxyzz123(1, 2 ,1, 0 ),(1,1, 0, 2 ),(2 ,1,1,),ttt123, (14) 设 随 机 变 量概 率 分 布 为则= . 三、 解答题 (15 23 小题 ,共 94 分 .请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10 分) 求微分方程的通解 . (16)(本题满分10 分) 求函数的单调区间与极值. (17)(本题满分10 分) (1)比较与的大小 ,说明理由 . (2)

5、记求极限(18)(本题满分10 分) 求幂级数的收敛域及和函数. (19)(本题满分10 分) 设为椭球面上的动点 ,若在点的切平面与面垂直 ,求点的轨迹并计算曲面积分其中是椭球面位于曲线上方的部分 . (20)(本题满分11 分) 设已知线性方程组存在两个不同的解. (1)求(2)求方程组的通解 . (21)(本题满分11 分) 设二次型在正交变换下的标准形为且的第三列为(1)求(2)证明为正定矩阵 ,其中为 3 阶单位矩阵 . x(0 ,1, 2 ,),!cpxkkk2e x322exyyyx221()() extfxxtd t10lnln (1)nttd t10ln(1, 2,)ntt

6、d t n10lnln (1)(1, 2,),nnuttd t nlim.nxu121(1)21nnnxnp222:1sxyzyzspxoyp,c22(3 )2,44xyzidsyzyzsc11010,1,111aaba xb,.aa xb123(,)tfxxxaxxxyq2212,yyq22(, 0,).22t.aaee(22)(本题满分11 分) 设二维随机变量的概率密度为求常数及条件概率密度(23)(本题满分11 分) 设总体的概率分布为1 2 3 其中未知 ,以来表示来自总体的简单随机样本(样本容量为)中等于的个数试求常数使为的无偏估计量,并求的方差 . ()xy2222(,)e,xx

7、yyfxyaxya|(|).yxfyxxxp122(0 ,1)inxni(1, 2, 3),i123,aaa31iiita nt2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题（ 18 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）当0 x时，sinfxxa x与2ln1gxxb x等价无穷小，则（）a11,6ab. b11,6ab. c11,6ab. d11,6ab. （2）如图，正方形,1,1xyxy被其对角线划分为四个区域1, 2, 3, 4kdk，co skkdiyxd xd y，则14m axk

8、ki（）a1i. b2i. c3i. d4i. （3）设函数yfx在区间1, 3上的图形为：则函数0 xfxftd t的图形为（）a. b. ( )f x0 2 3 x1 -2 -1 1 ( )f x0 2 3 x1 -2 -1 1 1 ( )f x-2 0 2 3 x-1 o -1 -1 1 1 xy1d2d3d4dc.d.（4）设有两个数列,nnab，若lim0nna，则（）a当1nnb收敛时，1nnna b收敛 . b当1nnb发散时，1nnna b发散 . c当1nnb收敛时，221nnna b收敛 . d当1nnb发散时，221nnna b发散 . （5）设123,是 3 维向量空间

9、3r的一组基，则由基12311,23到基122331,的过渡矩阵为（）a101220033. b120023103. c111246111246111246. d111222111444111666. （6）设,ab均为2 阶矩阵，*,ab分别为,ab的伴随矩阵，若2,3ab，则分块矩阵oabo的伴随矩阵为（）a*32obao. b*23obao. c*32oabo. d*23oabo. ( )f x0 2 3 x1 -2 -1 1 ( )f x0 2 3 x1 -1 1 （7）设随机变量x的分布函数为10.30.72xfxx，其中x为标准正态分布函数，则e x（）a0. b0.3. c0.7

10、. d1. （8）设随机变量x与y相互独立，且x服从标准正态分布0 ,1n，y的概率分布为1012pypy， 记zfz为随机变量zx y的分布函数， 则函数zfz的间断点个数为（）a0. b1. c2. d3. 二、填空题（9-14 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.）（9）设函数,fuv具有二阶连续偏导数，,zfxxy，则2zxy。（10）若二阶常系数线性齐次微分方程0ya yb y的通解为12xyccxe，则非齐次方程ya yb yx满足条件02,00yy的解为y。（11）已知曲线2:02lyxx，则lxd s。（12）设222,1xyzxyz，则2z d x

11、d ydz。（13）若 3 维列向量,满足2t，其中t为的转置，则矩阵t的非零特征值为。(14)设12,mxxx为来自二项分布总体,bnp的简单随机样本，x和2s分别为样本均值和样本方差。若2xks为2n p的无偏估计量，则k。三、解答题（15 23 小题，共94 分 .请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15） （本题满分9 分）求二元函数22(,)2lnfxyxyyy的极值。（16） （本题满分9 分）设na为曲线nyx与11, 2,.nyxn所围成区域的面积，记122111,nnnnsasa，求1s与2s的值。（17） （本题满分11 分）椭球面1

12、s是椭圆22143xy绕x轴旋转而成，圆锥面2s是过点4 ,0且与椭圆22143xy相切的直线绕x轴旋转而成。（）求1s及2s的方程（）求1s与2s之间的立体体积。（18） （本题满分11 分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数fx在,ab上连续，在(,)ab可导，则存在,a b，使得fbfafba（）证明：若函数fx在0 x处连续，在0,0内可导，且0limxfxa，则0f存在，且0fa。（19） （本题满分10 分）计算曲面积分32222xd yd zydzdxzdxd yixyz，其中是曲面222224xyz的外侧。（20） （本题满分11 分）设111111042a1112（）求满足21

13、a的2. 231a的所有向量2,3. （）对中的任意向量2,3证明1,2,3无关。（21） （本题满分11 分）设二次型2221231231323,122fxxxa xa xaxx xx x（）求二次型f的矩阵的所有特征值；（）若二次型f的规范形为2212yy，求a的值。（22） （本题满分11 分）袋中有 1 个红色球， 2 个黑色球与3 个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,xyz分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（）求10pxz；（）求二维随机变量,xy概率分布。（23） （本题满分11 分）设总体x的概率密度为2,0()0 ,xxexfx其 他，其中参数(0)未

14、知，1x，2x, nx是来自总体x的简单随机样本( ) 求参数的矩估计量；（）求参数的最大似然估计量2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数20()ln (2)xfxt dt则()fx的零点个数（）a0. b1. c2. d3. （2）函数(,)arc ta nxfxyy在点(0 ,1)处的梯度等于（）ai. bi. cj. dj. （3） 在下列微分方程中，从123co s 2sin 2xyc ecxcx（123,ccc为任意常数）为通

15、解的是（）a440yyyy. b440yyyy. c440yyyy. d440yyyy. （4） 设函数()fx在(,)内单调有界，nx为数列，下列命题正确的是（）a若nx收敛，则()nfx收敛. b若nx单 调 ， 则()nfx收敛. c若()nfx收敛，则nx收敛. d若()nfx单调，则nx收敛. （5）设a为n阶非零矩阵e为n阶单位矩阵若30a，则（）aea不可逆，ea不可逆 . bea不可逆，ea可逆. cea可逆，ea可逆 . dea可逆，ea不可逆. （6）设a为 3 阶非零矩阵，如果二次曲面方程(,)1xxyzayz在正交变换下的标准方程的图形如图，则a的正特征值个数（）a0.

16、 b1. c2. d3. （7）随机变量,xy独立同分布且x分布函数为fx，则m ax,zxy分布函数为（）a2fx. bfxfy. c211fx. d11fxfy. （8）随机变量0,1xn，1, 4yn且相关系数1xy，则（）a211pyx. b211pyx. c211pyx. d211pyx. 二、填空题： 9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）微分方程0 xyy满足条件11y的解是y. （10）曲线sinlnxyyxx在点0,1处的切线方程为. （11） 已知幂级数02nnnax在0 x处收敛，在4x处发散，则幂级数03nnnax的收敛域为

17、. （12）设曲面是224zxy的上侧，则2xyd yd zxd zd xx dxd y. （13）设a为 2 阶矩阵，12,aa为线性无关的 2 维列向量，12120 ,2a aa aaa，则a的非零特征值为. （14）设随机变量x服从参数为 1 的泊松分布，则2pxe x.三、解答题： 1523小题，共 94 分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分 10 分）求极限40sinsinsinsinlimxxxxx. (16) （本题满分 12 分）计算曲线积分2sin 221lx d xxy dy，其中l是曲线sinyx上从点0,

18、 0到点,0的一段 . (17) （本题满分 12 分）已知曲线22220:35xyzcxyz，求c点距离x o y面最远点和最近的点 . (18) （本题满分 12 分）函数fx连续，0 xfxftd t，证明fx可导，且fxfx. (19) （本题满分 12 分）21fxx，用余弦级数展开，并求1211nnn的和(20) （本题满分 9 分）tta，t为的转置，t为的转置（1）证()2r a； （2）若,线性相关，则()2ra. （21） （本题满分 9 分）设矩阵2221212nnaaaaaa，现矩阵a满足方程a xb，其中1,tnxxx，1, 0, 0b，（1）求证1nana（2）a为

19、何值，方程组有唯一解，求1x（3）a为何值，方程组有无穷多解，求通解（22） （本题满分 9 分）设随机变量x与y相互独立，x概率分布为11, 0 ,13pxii，概率密度为1010yyfy其 它，记zxy（1）求102pzx（2）求z的概率密度（23） （本题满分 9 分）12,nxxx是总体为2(,)n的简单随机样本 . 记11niixxn，2211()1niisxxn，221txsn（1）证t是2的无偏估计量 . （2）当0,1时 ，求d t. 2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题 （本题共10 小题，每小题4 分，满分 40 分 . 每小题给出的四个选项中，只

20、有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）当x0时，与x等价的无穷小量是（）(a)xe1. (b) xx11ln(c) 11x. (d) xcos1. （2）曲线)1ln(1xexy渐进线的条数为（）(a) . (b) .(c) . (d) . （3）如图，连续函数)( xfy在区间 3, 2，2，3上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周，在区间 2， 0 ， 0 ， 2 的图形分别是直径为2的上、 下半圆周。设xdttfxf0)()(，则下列结论正确的是（）（a）)2(43)3(ff(b) ).2(45)3(ff(c) ).2(43)3(ff(d) )2(45)3(ff（4

21、）设函数)( xf在 x=0 处连续，下列命题错误的是（）(a)若xxfx)(lim0存在，则0)0(f(b) 若xxfxfx)()(lim0存在，则0)0(f(c)若xxfx)(lim0存在，则0)0(f存在(d) 若xxfxfx)()(lim0存在，则0)0(f存. （5）设函数)( xf在（0，+）上具有二阶的导数，且0)0(f令)2,1)(nnfun，则下列结论正确的是（）(a) 若,21uu则nu必收敛。(b) 若,21uu则nu必发散。(c) 若,21uu则nu必收敛。(d) 若,21uu则nu必发散。（6）设曲线l：),(1),(yxfyxf具有一阶的连续偏导数），过第象限内的点

22、m 和象限内的点n，为 l 上从点 m 到点 n 的一段弧，则下列积分小于零的是（）(a).),(dxyxf(b) .),(dyyxf(c) .),(dsyxf. (d) .),(),(dyyxfdxyxfyx（） 设向量组321,aaa线性无关，则下列向量组线性相关的是（）(a),133221aaaaaa(b) ,133221aaaaaa(c) ,2,2,2133221aaaaaa. (d) ,2,2,2133221aaaaaa. （） 设矩阵，000010001211121112ba则与（）(a) 合同，且相似(b)合同但不相似(c)不和同，但相似. (d)既不合同，也不相似（） 某人向同

23、一目标独立的重复射击，每次射击命中目标的概率为p（)10(p，则此人第次射击恰好第次命中的概率为（）(a)2)1(3pp(b) 2)1(6pp(c) 22)1(3pp. (d) 22)1(6pp（） 设随机变量（，）服从二维正态分布，且与不相关，)(),(yfxfyx分别表示，的概率密度，则在y 的条件下，的条件概率密度)|(|yxfyx为（）(a) )( xfx(b) )( yfy(c) )()(yfxfyx. (d).)()(yfxfyx二、填空题 （本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分. 把答案填在题中横线上）（11）1231xed xx（12） 设(,)fu v为二元可微函数，(

24、,)yxzfxy，则zx（13） 二阶常系数非齐次线性方程2432xyyye的通解为y（14） 设曲面:1,xyz则()xyd s（15） 设矩阵0100001000010000a，则3a的秩为（16） 在区间（，）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为三 、解答题： 1724 小题，共86 分。请将解答写在答题纸指定的位置，解答应写出文字说明、证明的过程或演算的步骤。（17） （本题满分11分）求函数2222(,)2fxyxyxy在区域22(,)4,0dxyxyy上的最大值和最小值 . (18) （本题满分10 分）计算曲面积分23ixzd yd zzy d zd xxyd

25、xd y其中为曲面221( 01)4yzxz的上侧 . (19) （本题满分11分）设函数(),()fxgx在,ab上连续 ,在,a b内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()fagafbg b,证明：存在(,)a b，使得()()fg. (20) （本题满分10 分）设幂级数0nnna x在(,)内收敛 ,其和函数()yx满足240,(0 )0,(0 )1yxyyyy( )证明22,1, 2,;1nnaann( )求()yx的表达式(21) （本题满分11分）设线性方程组123123212302040 xxxxxa xxxax与方程12321xxxa有公共的解 ,求a的值及所有的

26、公共解. (22) （本题满分11分）.设三阶实对称矩阵a 的特征值12311,2,2 ,(1,1,1)ta是 a 的属于1的一个特征向量 .记534baae,其中 e 为 3 阶单位矩阵 . ( ) 验证1a是矩阵 b 的特征向量 ,并求 b 的全部特征值的特征向量; ( ) 求矩阵 b. (23) （本题满分11分）设二维随机变量(x,y) 的概率密度为2,01, 01,(,)0 xyxyfxy其 他( ) 求px2y; ( ) 求zxy的概率密度()zfz(24)（本题满分11分）设总体 x 的概率密度为1,0,21(;)1 ,2 (1),0 xfxx其 他 ,其中参数(01)未知 .1

27、2,nxxx是来自总体x 的简单随机样本,x是样本均值 . ( ) 求参数的矩估计量?( ) 判断24 x是否为2的无偏估计量，并说明理由。2006 年全国硕士研究生入学考试（数学一）试题一、填空题（1）0ln (1)lim1co sxxxx. （2）微分方程(1)yxyx的通解是. （3） 设是锥面22zxy（01z） 的下侧，则23(1)xdydzydzd xzd xd y. （4）点(2, 1, 0 )到平面3450 xyz的距离z= . （5）设矩阵2112a，e为2 阶单位矩阵，矩阵b满足2b abe，则b= . （6） 设随机变量x与y相互独立， 且均服从区间 0, 3 上的均匀分

28、布， 则m ax ,1pxy= .二、选择题（7）设函数()yfx具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在0 x处的增量，y与d y分别为()fx在点0 x处对应的增量与微分，若0 x，则（a）0.d xy（b）0.ydy（c）0.yd y（d）0.d yy【】（8）设(,)fxy为连续函数，则1400(co s,sin)dfrrr d r等于（a）22120(,).xxdxfxy dy（b）221200(,).xdxfxy d y（c）22120(,).yyd yfxy dx（c）221200(,).ydyfxy d x【】（9）若级数1nna收敛，则级数（a）1nna收敛 .

29、 （b）1(1)nnna收敛 . （c）11nnna a收敛 . （d）112nnnaa收敛 . 【】（10）设(,)fxy与(,)xy均为可微函数，且1(,)0yxy. 已知00(,)xy是(,)fxy在约束条件(,)0 xy下的一个极值点，下列选项正确的是（a）若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy. （b）若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy. （c）若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy. （d）若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy. 【】（11）设12,aaa均为n维列向量，a是mn矩阵，下列选项正确的是（a）若12,aaa线性相关，则12

30、,aaa aaa线性相关 . （b）若12,aaa线性相关，则12,aaa aa a线性无关 . （c）若12,aaa线性无关，则12,aaa aa a线性相关 . （d）若12,aaa线性无关，则12,aaa aaa线性无关 . 【】（12）设a为 3 阶矩阵，将a的第 2 行加到第1 行得b，再将b的第 1 列的 -1 倍加到第2列得c，记110010001p，则（a）1.cpa p（b）1.cp ap（c）.tcpap（d）.tcp a p【】（13）设,ab为随机事件，且()0,(|)1pbpab，则必有（a）()().pabpa（b）()().pabp b（c）()().pabpa（

31、d）()().pabpb【】（14）设随机变量x服从正态分布211(,)n，y服从正态分布222(,)n，且12 |1 |1 ,pxpy（a）12.（b）12.（c）12.（d）12.【】三 解答题15 设区域 d=22,1,0 xyxyx,计算二重积分2211dxyidxdyxy. 16 设数列nx满足110,sin1, 2,.nxxxn. 求: ( )证明limnxx存在 ,并求之. ( )计算211limnxnxnxx. 17 将函数22xfxxx展开成 x 的幂级数 . 18 设函数0,fu在内 具 有 二 阶 导 数且22zfxy满足等式22220zzxy. ()验证0fufuu.

32、( )若10,11,fffu求 函 数的 表 达 式. 19 设在上半平面d=,0 xyy内 ,数,fxy是有连续偏导数,且对任意的t0 都有2,ftxtytfxy. 证明 : 对 l 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线l,都有0),(),(dyyxxfdxyxyfl. 20 已知非齐次线性方程组12341234123414351331xxxxxxxxa xxxb x有个 线 性 无 关 的 解证明方程组系数矩阵a的秩2ra求,a b的值及方程组的通解21 设 3 阶实对称矩阵a的各行元素之和均为3, 向量121, 2,1,0,1,1tt是线性方程组ax=0 的两个解 , ()求 a 的特征值与

33、特征向量( )求正交矩阵q 和对角矩阵a,使得tqa qa. 22 随机变量x 的概率密度为21,1021, 02,40 ,xxfxxyxfxy令其 他为二维随机变量(x,y) 的分布函数 . ()求 y 的概率密度yfy( )1, 42f23 设总体 x 的概率密度为01, 0112010 xfxx其 中是 未 知 参 数其 它, 12n,.,xxx为来自总体x 的简单随机样本,记 n 为样本值12,.,1nxxx 中 小 于的 个 数,求的最大似然估计. 2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题 （本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分. 把答案填在题中横线上）（1）

34、 曲线122xxy的斜渐近线方程为_. （2）微分方程xxyyxln2满足91)1(y的解为 . _. （ 3） 设函数181261),(222zyxzyxu，单位向量 1 ,1 ,131n，则)3,2,1(nu=._. （4） 设是由锥面22yxz与半球面222yxrz围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则zdxdyydzdxxdydz_. （5）设321,均为 3维列向量，记矩阵),(321a，)93,42,(321321321b，如果1a，那么b . （6）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为x, 再从x,2,1中任取一个数，记为y, 则2 yp=_. 二、选择题 （本题共8 小题，

35、每小题4 分，满分32 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数nnnxxf31lim)(，则 f(x) 在),(内(a) 处处可导 . (b) 恰有一个不可导点. (c) 恰有两个不可导点. (d) 至少有三个不可导点. （8）设 f(x)是连续函数f(x) 的一个原函数，nm表示“ m 的充分必要条件是n” ，则必有(a)f(x)是偶函数f(x) 是奇函数 . （b） f(x)是奇函数f(x) 是偶函数 . (c) f(x)是周期函数f(x)是周期函数 . (d) f(x)是单调函数f(x)是单调函数 . （9） 设函数yxyxd

36、ttyxyxyxu)()()(),(, 其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(a) 2222yuxu. （b）2222yuxu. (c) 222yuyxu. (d) 222xuyxu. （10） 设有三元方程1lnxzeyzxy， 根据隐函数存在定理，存在点 (0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(a)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y). (b)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z) 和 z=z(x,y). (c)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z) 和 z=z(x,y). (d)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z) 和 y=y(x,

37、z). （11）设21,是矩阵a 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,，则1，)(21a线性无关的充分必要条件是(a) 01. (b) 02. (c) 01. (d) 02. （12）设 a 为 n（2n）阶可逆矩阵，交换a 的第 1 行与第 2 行得矩阵b, *, ba分别为a,b 的伴随矩阵，则(a)交换*a的第 1 列与第 2 列得*b. (b) 交换*a的第 1行与第 2 行得*b. (c) 交换*a的第 1 列与第 2 列得*b. (d) 交换*a的第 1 行与第 2 行得*b. （13）设二维随机变量(x,y) 的概率分布为x y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1

38、已知随机事件0 x与 1yx相互独立，则(a)a=0.2, b=0.3 (b) a=0.4, b=0.1 (c) a=0.3, b=0.2 (d) a=0.1, b=0.4 （14）设)2(,21nxxxn为来自总体n(0,1)的简单随机样本，x为样本均值，2s为样本方差，则(a)1,0( nxn(b) ).(22nns(c) )1()1(ntsxn(d) ).1,1()1(2221nfxxnnii 三 、解答题（本题共9 小题，满分94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15） （本题满分11 分）设0,0,2),(22yxyxyxd，122yx表示不超过221yx的最大整数

39、. 计算二重积分ddxdyyxxy.122（16） （本题满分12 分）求幂级数121)12(11()1(nnnxnn的收敛区间与和函数f(x). （17） （本题满分11 分）如图，曲线c 的方程为y=f(x) ，点 (3,2)是它的一个拐点，直线1l与2l分别是曲线c 在点 (0,0) 与 (3,2) 处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x) 具有三阶连续导数，计算定积分302.)()(dxxfxx（18） （本题满分12 分）已知函数f(x) 在0， 1上连续，在 (0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（i）存在),1 ,0(使得1)(f；（ii）存在两个不同的点

40、)1 ,0(,，使得.1)()(ff（19） （本题满分12 分）设函数)( y具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线l 上，曲线积分lyxxydydxy4222)(的值恒为同一常数. （i） 证明：对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线c， 有022)(42cyxx y d ydxy；（ii）求函数)( y的表达式 . （20） （本题满分9 分）已知二次型21232221321)1(22)1()1(),(xxaxxaxaxxxf的秩为 2. （i） 求 a 的值；（ii） 求正交变换qyx，把),(321xxxf化成标准形；（iii ） 求方程),(321xxxf=0 的解

41、 . （21） （本题满分9 分）已知 3 阶矩阵 a 的第一行是cbacba,),(不全为零，矩阵kb63642321（k 为常数），且 ab=o, 求线性方程组ax=0 的通解 . （22） （本题满分9 分）设二维随机变量(x,y) 的概率密度为.,20,10,0,1),(其他xyxyxf求： （i） (x,y) 的边缘概率密度)(),(yfxfyx；（ii）yxz2的概率密度).( zfz（23） （本题满分9 分）设)2(,21nxxxn为来自总体n(0,1) 的简单随机样本，x为样本均值，记.,2,1,nixxyii求： （i）iy的方差nidyi,2,1,；（ii）1y与ny的协

42、方差).,(1nyycov2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、 填空题 （本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分. 把答案填在题中横线上）（1） 曲线 y=lnx 上与直线1yx垂直的切线方程为 . （2）已知xxxeef)(，且 f(1)=0, 则 f(x) =. （3）设l为正向圆周222yx在第一象限中的部分，则曲线积分lydxxdy2的值为 . （4）欧拉方程)0(024222xydxdyxdxydx的通解为. （5）设矩阵100021012a，矩阵b 满足ebaaba*2，其中*a为 a 的伴随矩阵， e 是单位矩阵，则b . （6）设随机变量x 服从参数为的指数

43、分布，则dxxp= . 二、选择题 （本题共8 小题，每小题4 分，满分32 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把0 x时的无穷小量dttdttdttxxx03002sin,tan,cos2，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(a) ,. (b) ,. (c) ,. (d) ,. （8）设函数 f(x) 连续，且,0)0(f则存在0，使得(a) f(x) 在（ 0，)内单调增加 . （b）f(x) 在)0,(内单调减少 . (c) 对任意的),0(x有f(x)f(0) . (d) 对任意的)0,(x有f(x)f(0)

44、 . （9）设1nna为正项级数，下列结论中正确的是(a) 若nnnalim=0，则级数1nna收敛 . （b） 若存在非零常数，使得nnnalim，则级数1nna发散 . (c) 若级数1nna收敛，则0lim2nnan. (d)若级数1nna发散 , 则存在非零常数，使得nnnalim. （10）设 f(x)为连续函数，ttydxxfdytf1)()(，则)2(f等于(a) 2f(2). (b) f(2). (c) f(2). (d) 0. （11）设 a 是 3 阶方阵，将a 的第 1 列与第 2 列交换得 b,再把 b 的第 2 列加到第3 列得 c, 则满足 aq=c 的可逆矩阵q

45、为(a) 101001010. (b) 100101010. (c) 110001010. (d) 100001110. （12）设 a,b 为满足 ab=o 的任意两个非零矩阵，则必有(a)a 的列向量组线性相关，b 的行向量组线性相关. (b)a 的列向量组线性相关，b 的列向量组线性相关. (c)a 的行向量组线性相关，b 的行向量组线性相关. (d) a 的行向量组线性相关，b 的列向量组线性相关. （ 13） 设随机变量x服从正态分布n(0,1) ，对给定的)10(，数u满足uxp，若xxp，则x等于(a) 2u. (b) 21u. (c) 21u. (d) 1u. （ 14） 设

46、随 机 变 量)1(,21nxxxn独 立 同 分 布 ， 且 其 方 差 为.02令niixny11，则(a) cov(.),21nyx(b) 21),(yxcov. (c) 212)(nnyxd. (d) 211)(nnyxd. （15） （本题满分12 分）设2ebae, 证明)(4lnln222abeab. （16） （本题满分11 分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试， 减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为)

47、.100.66k问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注 kg 表示千克， km/h 表示千米 /小时 . 1. （17） （本题满分12 分）计算曲面积分,)1(322233dxdyzdzdxydydzxi其中是曲面)0(122zyxz的上侧 . （18） （本题满分11 分）设有方程01nxxn，其中n 为正整数 . 证明此方程存在惟一正实根nx，并证明当1时，级数1nnx收敛 . （19） （本题满分12 分）设 z=z(x,y) 是由0182106222zyzyxyx确定的函数，求),(yxzz的极值点和极值 . （20） （本题满分9 分）设有齐次线性方程组)2(,0)(,02)

48、2(2,0)1(212121nxannxnxxxaxxxxannn试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. （21） （本题满分9 分）设矩阵51341321aa的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论a 是否可相似对角化 . (22)（本题满分9 分）设 a,b 为随机事件，且21)(,31)(,41)(bapabpap，令;,0,1不 发 生发生aax.,0,1不 发 生发 生bby求： （i）二维随机变量(x,y) 的概率分布；（ii）x 和 y 的相关系数.xy（23） （本题满分9 分）设总体 x 的分布函数为,1,1,0,11),(xxxxf其中未知参数nxxx,12

49、1为来自总体x 的简单随机样本，求：（i）的矩估计量；（ii）的最大似然估计量. 2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、 填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分. 把答案填在题中横线上）（1）)1ln(102)(coslimxxx= . （2） 曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是. （3） 设)(cos02xnxaxnn，则2a= .（4）从2r的基11,0121到基21,1121的过渡矩阵为. （ 5 ） 设 二 维 随 机 变 量 (x,y)的 概 率 密 度 为，yxxyxf其他,10,0,6),(则1yxp. （6） 已知一批零件的长度x (

50、单位：cm)服从正态分布)1 ,(n， 从中随机地抽取16 个零件，得到长度的平均值为40 (cm) ，则的置信度为0.95 的置信区间是. (注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(二、选择题（本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数 f(x) 在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(a)一个极小值点和两个极大值点. (b)两个极小值点和一个极大值点. (c)两个极小值点和两个极大值点. (d) 三个极小值点和一个极大值点. y o x （2）设,

51、nnncba均为非负数列，且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有(a) nnba对任意 n 成立 . (b) nncb对任意 n 成立 . (c) 极限nnncalim不存在 . (d) 极限nnncblim不存在 . （3）已知函数f(x,y) 在点 (0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0yxxyyxfyx，则(a) 点(0,0)不是 f(x,y) 的极值点 . (b) 点(0,0)是 f(x,y) 的极大值点 . (c) 点(0,0)是 f(x,y) 的极小值点 . (d) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为 f(x,y) 的极值点 . （4）设向

52、量组i：r,21可由向量组ii：s,21线性表示，则(a) 当sr时，向量组ii 必线性相关 . (b) 当sr时，向量组ii 必线性相关 . (c) 当sr时，向量组i 必线性相关 . (d) 当sr时，向量组i 必线性相关 . （5）设有齐次线性方程组ax=0 和 bx=0, 其中 a,b 均为nm矩阵，现有4 个命题： 若 ax=0 的解均是bx=0 的解，则秩 (a)秩(b)； 若秩 (a)秩(b) ，则 ax=0 的解均是bx=0 的解； 若 ax=0 与 bx=0 同解，则秩 (a)= 秩(b)； 若秩 (a)= 秩(b) ， 则 ax=0 与 bx=0 同解 . 以上命题中正确的

53、是(a) . (b) . (c) . (d) . （6）设随机变量21),1)(xynntx，则(a) )(2ny. (b) )1(2ny. (c) )1 ,(nfy. (d) ),1(nfy. 三、 （本题满分10 分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及 x 轴围成平面图形d. (1) 求 d 的面积 a; (2) 求 d 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积v. 四、 （本题满分12 分）将函数xxxf2121arctan)(展开成 x 的幂级数，并求级数012)1(nnn的和 . 五 、 （本题满分10 分）已知平面区域0,0),(yxyxd，l 为 d

54、的正向边界 . 试证：(1) dxyedyxedxyedyxexlyxlysinsinsinsin; (2) .22sinsindxyedyxexly六 、 （本题满分10 分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r0 时，).(2)(tgtf九 、 （本题满分10 分）设矩阵322232223a，100101010p，papb*1，求 b+2e 的特征值

55、与特征向量，其中*a为 a 的伴随矩阵，e 为 3 阶单位矩阵 . 十 、 （本题满分8 分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l032cbyax，:2l032acybx，:3l032baycx. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0cba十一、 （本题满分10 分）已知甲、 乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3 件合格品和3 件次品， 乙箱中仅装有 3 件合格品 . 从甲箱中任取3 件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二、 （本题满分8 分）设总体 x 的概率密度为,0,2)()(2xxexfx其中0是未知参数.

56、从总体x中抽取简单随机样本nxxx,21，记).,min(?21nxxx(1) 求总体 x 的分布函数f(x); (2) 求统计量?的分布函数)(?xf；(3) 如果用?作为的估计量，讨论它是否具有无偏性. 2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分) （1）exxdx2ln= _. （2）已知0162xxyey，则(0 )y=_. （3）02yyy满足初始条件21)0(,1)0(yy的特解是 _. （4）已知实二次型323121232221321444)(),(xxxxxxxxxaxxxf经正交变换可化为标准型216 yf

57、，则a=_. （5）设随机变量),(2nx，且二次方程042xyy无实根的概率为05，则 _. 二、单项选择题(本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分 ) （1）考虑二元函数),(yxf的四条性质：),(yxf在点),(00yx处连续，),(yxf在点),(00yx处的一阶偏导数连续，),(yxf在点),(00yx处可微，),(yxf在点),(00yx处的一阶偏导数存在则有：（）；（）；（）；（）（2）设0nu，且1limnnun，则级数)11()1(11nnnuu(a) 发散；(b) 绝对收敛；(c)条件收敛；(d) 收敛性不能判定（3）设函数)( xf在r上有界且可导，则(a)

58、 当0)(limxfx时，必有0)(limxfx；（）当)(limxfx存在时，必有0)(limxfx；(c) 当0)(lim0 xfx时，必有0)(lim0 xfx；(d) 当)(lim0 xfx存在时，必有0)(lim0 xfx（4）设有三张不同平面，其方程为iiiidzcybxa（3,2,1i）它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为，则这三张平面可能的位置关系为（5）设 x 和 y 是相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为)( xfx和)( yfy，分布函数分别为)( xfx和)( yfy，则（）)( xfx)( yfy必为密度函数；(b) )( xfx)( yfy必

59、为密度函数；（）)( xfx)( yfy必为某一随机变量的分布函数；(d) )( xfx)( yfy必为某一随机变量的分布函数三、 （本题满分6 分） 设函数)( xf在x的某邻域具有一阶连续导数，且0)0()0(ff，当0h时，若)()0()2()(hofhbfhaf，试求ba,的值四、 （本题满分分）已知两曲线)( xfy与xtdteyarctan02在点（，）处的切线相同求此切线的方程，并求极限)2(limnnfn五、 （本题满分分）计算二重积分dxdyedyx,max22，其中10,10|),(yxyxd六、 （本题满分分）设函数)( xf在r上具有一阶连续导数，l是上半平面（y）内的

60、有向分段光滑曲线，起点为（ba,） ，终点为（dc ,） 记dyxyfyyxdxxyfyyi1)()(11222，（）证明曲线积分i与路径l无关；（）当cdab时，求i的值七、 （本题满分7 分）验证函数03)!3()(nnnxxy（x）满足微分方程xeyyy；求幂级数03)!3()(nnnxxy的和函数八、 （本题满分分）设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy面，其底部所占的区域为75|),(22xyyxyxd，小山的高度函数为),(yxhxyyx2275（）设),(00yxm为区域d上一点，问),(yxh在该点沿平面上何方向的方向导数最大？若此方向的方向导数为),(00yxg，写出),(