2020江苏高考数学模拟考试

1、2020 江苏高考数学模拟考试数学一、填空题：本大题共14 小题，每小题5分，共计70 分请把答案填写在答题卡相应的位置上1若函数cos()3yx(0)的最小正周期是，则 2若复数(1 2 )(1)iai是纯虚数，则实数a的值是 3已知平面向量(1, 1)a，(2,1)bx，且ab，则实数x 4一个袋中有3 个大小质地都相同的小球，其中红球1 个，白球 2 个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是 5右图是某程序的流程图，则其输出结果为 6给出下列四个命题：（ 1） 如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交（ 2）如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直

2、于平面（ 3）如果平面平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直（ 4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）7已知双曲线22221(0,0)xyabab的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为 8已知二次函数( )f x241axxc的值域是1,)，则19ac的最小值是 9设函数3( )32f xxx， 若不等式2(32sin)3fmm对任意r恒成立， 则实数m的取值范围为 10若动点(, )p m n在不等式组2400 xyxy表示的平面区域内部及其边界上运动，则1nmtm的取值范围是 11在abc中，

3、ab边上的中线2co，若动点 p 满足221sincos2apabac ()r，则()papbpc的最小值是 12设d是函数( )yf x定义域内的一个区间，若存在dx0，使00()f xx，则称0 x是( )f x的一个“次不动点” ，也称( )f x在区间d上存在次不动点若函数25( )32f xaxxa在区间开始结束1(1)ssk k2011k1kk0s是否输出s1k（第 5题）a b c d d1c1b1a11,4上存在次不动点，则实数a的取值范围是 13 将所有的奇数排列如右表，其中第 i 行第j个数表示为ija， 例如329a 若445ija，则ij 14若实数, ,a b c成等

4、差数列，点( 1,0)p在动直线0axbyc上的射影为m，点(3,3)n，则线段mn长度的最大值是 二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤15 （本小题满分14 分）已知 abc中， a， b， c 的对边分别为, ,a b c，且2 coscoscosabcbbc（1）求角b的大小；（2）设向量(cos,cos 2 )maa，(12, 5)n，求当m n取最大值时，tan()4a的值16 （本小题满分14 分）如图，直四棱柱1111abcda b c d中，底面abcd是直角梯形，90badadc，2abad，cdad（1）

5、求证：1bcb是二面角1bacb的平面角；（2）在 a1b1上是否存一点p，使得 dp 与平面 bcb1与平面 acb1都平行？证明你的结论17 （本小题满分14 分）某货轮匀速行驶在相距300 海里的甲、乙两地间，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5） ，其它费用为每小时m元，根据市场调研，得知m的波动区间是1000,1600，且该货轮的最大航行速度为50 海里 /小时（1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里 /小时）的函数；（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？18 （本小

6、题满分16 分）已知中心在原点o、焦点在x轴上的椭圆c过点(2,1)m，离心率为32如图， 平行于om的直线l交椭圆c于不同的两点,a b1 3 5 7 9 11 （第 12 题）（1）当直线l经过椭圆c的左焦点时，求直线l的方程；（2）证明：直线,ma mb与x轴总围成等腰三角形19 （本小题满分16 分）已知函数21( )(21)2ln2f xaxaxx，其中常数0a（1）求( )f x的单调区间；（2）如果函数( ),( ), ( )f x h x g x在公共定义域d 上，满足( )( )( )f xh xg x，那么就称( )h x为( )f x与( )g x的“和谐函数” 设2(

7、)4g xxx，求证：当522a时，在区间(0,2上，函数( )f x与( )g x的“和谐函数”有无穷多个20 （本小题满分16 分）已知无穷数列na的各项均为正整数，ns为数列na的前n项和（1）若数列na是等差数列，且对任意正整数n都有33nnss成立，求数列na的通项公式；（2）对任意正整数n，从集合12,na aa中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与12,na aa一起恰好是1 至ns全体正整数组成的集合（i）求12,a a的值；（ii ）求数列na的通项公式数学（附加题）21 【选做题】在a、b、c、d 四小题中只能选做两

8、题，每小题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a选修4 1：几何证明选讲如图，设ab为 o 的任一条不与直线l垂直的直径，p是 o 与l的公共点， acl，bdl，垂足分别为c、d，且pcpd，求证：pb平分 abdb选修42：矩阵与变换已知矩阵122ax的一个特征值为1，求另一个特征值及其对应的一个特征向量c选修44：坐标系与参数方程若直线22xtyt（参数rt）与圆cossinxya（参数0,2)，a为常数）相切，求a的值d选修45：不等式选讲若对于一切实数x，不等式|21|1| | |21|xxxa恒成立，求实数a的取值范围【必做题】第

9、22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分10 分）一个口袋装有5 个红球， 3 个绿球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3 个球，其中绿球的个数记为x（1）求摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率；（2）x的分布列及x的数学期望23 （本小题满分10 分）已知数列na中，112a，21112nnnaaa (*)nn（1）求证：311 3(,)82a；（2）求证：当3n时，1|2 |2nna2012 江苏高考最后一卷试题答案与评分标准数学一、填空题：本大题共14 小题，每小题5分，共计70 分1

10、【解析】本题主要考查三角函数的周期性【答案】 2 2 【解析】本题主要考查复数的概念和运算【答案】123 【解析】本题主要考查平面向量的垂直【答案】 3 4 【解析】本题主要考查古典概型【答案】495 【解析】本题主要考查流程图【答案】201120126 【解析】本题主要考查立体几何中的平行与垂直关系【答案】（ 3） （4）7 【解析】本题主要考查圆锥曲线中离心率的计算【答案】58 【解析】本题主要考查基本不等式【答案】 3 9 【解析】本题主要考查函数的性质【答案】(, 4)(1,)10 【解析】本题主要考查线性规划【答案】2,43解答如下：画出可行域（如图所示阴影部分），而1111nmnt

11、mm，其中11nm表示(, )p m n与点( 1, 1)连线的斜率k，由图可知1,53k，故21,43tk11 【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积【答案】2解答如下：因为22221sincossincos2apabacaoac且22sin,cos0,1， 所以点 p在线段oc上，故()2papbpcpopc，设|pot(0 ,t，则2()2(2)(1 )24papbpctttt，当1t时取最小值2o1142xy12 【解析】本题主要考查函数的概念和最值【答案】1(,2解答如下：由题意， 存在1,4x，使25( )( )202g xf xxa xx a当1x时，使1(1)02g；当1x

12、时， 解得2452(1)xax 设245( )2(1)xh xx， 则由222252( )0(1)xxh xx， 得2x或12x（舍去），且( )h x在(1,2)上递增，在(2,4)上递减因此当2x时，2451( )2(1)2xg xx最大，所以a的取值范围是1(, 213 【解析】本题主要考查数列的通项【答案】 34 解答如下：可以求得通项221ijaiij，所以221445iij且1ji，从而22444446iiii，解得21i，于是13j，故34ij14 【解析】本题主要考查直线与圆的方程及位置关系【答案】52解答如下：由题可知动直线0axbyc过定点(1, 2)a设点( , )m x

13、 y，由mpma可求得点m的轨迹方程为圆:q22(1)2xy，故线段mn长度的最大值为52qnr二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分15本题主要考查平面向量的数量积、边角关系的互化，考查运算求解能力解： （1）由题意，2sincossincoscossinabcbcb2 分所以2sincossin()sin()sinabbcaa. 3 分因为0ap，所以sin0a1. 所以1cos2b. 5 分因为0bp， 所以3b. 6 分（2） 因为12cos5cos2m naa8 分所以2234310cos12cos510(cos)55m naaa10 分所以当3cos5a时，m n取最大值此时4

14、sin5a（0ap） ，于是4tan3a12 分所以tan11tan()4tan17aaa14 分16本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力证明： （1） 直棱柱1111abcda bc d 中， bb1平面 abcd ，bb1ac2 分又bad adc90 ，22abadcd，45cababc， bcac5 分ac平面1b bc，ac1b c1b cb是二面角1bacb的平面角7 分（ 2）存在点p，p 为 a1b1的中点8 分由 p 为 a1b1的中点，有pb1 ab，且 pb112ab又 dc ab，dc12ab，dc pb1，且 dcpb1，dc

15、pb1为平行四边形，从而cb1dp11 分又 cb1面 acb1，dp面 acb1，dp 面 acb1 12 分同理， dp 面 bcb1 14 分17本题主要考查，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力解： （1）由题意，每小时的燃料费用为20.5(050)xx1 分从甲地到乙地所用的时间为300 x小时2 分则从甲地到乙地的运输成本23003000.5yxmxx，(050)x即2150()myxx，(050)x6 分（ 2）22150(1)myx8分令0y，得2xm（负值舍去）当(0,2)xm时，y关于x单调递减当(2,)xm时，y关于x单调递增9 分所以，当250m即1250

16、1600m时，50 x时y取最小值11分当250m即10001250m时，2xm时y取最小值13 分综上所述，若10001250m，则当货轮航行速度为2m海里 /小时时，运输成本最少；若12501600m，则当货轮航行速度为50 海里 /小时时，运输成本最少14 分18本题主要考查直线的方程及椭圆的标准方程，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力解： （1）根据32cea，可设椭圆方程为222214xybb，将(2,1)m代入可得22b，所以椭圆c的方程为22182xy4 分因此左焦点为(6,0)，斜率12lomkk所以直线l的方程为1(6)2yx，即1622yx6 分（2）设直线,ma m

17、b的斜率分别为12,k k，则11112ykx，22212ykx12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)yyyxyxkkxxxx12211211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)xmxxmxxx121212(2)()4(1)(2)(2)x xmxxmxx（*） 10 分设1:2lyxm，1122(,),(,)a x yb xy由2212182yxmxy，得222240 xmxm所以，122xxm，21224x xm13 分代入（ * ）式，得2121224(2)( 2)4(1)(2)(2)mmmmkkxx2212242444(2)(2)0mmmmxx所以直线,

18、ma mb与x轴总围成等腰三角形16 分19本题主要考查导数的运算及其在研究函数性质、不等式与方程中的运用，考查探索、分析及求证能力解： （1）22(21)2(2)(1)( )(21)axaxxaxfxaxaxxxx(0 x，常数0a）令( )0fx，则12x，21xa2 分当102a时，12a，在区间(0,2)和1(,)a上，( )0fx；在区间1(2,)a上( )0fx，故( )f x的单调递增区间是(0,2)和1(,)a，单调递减区间是1(2,)a4 分当12a时，2(2)( )2xfxx， 故( )fx的单调递增区间是(0,)5 分当12a时，102a，在区间1(0,)a和(2,)上，( )0fx；在区间1(,2)a上( )0fx，故( )f x的单调递增区间是1(0,)a和(2,)，单调递减区间是1(,2)a7 分（2）令21( )( )( )(1)(23)2ln2h xg xf